湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理（扫描版）雅礼中学2018年上学期期末考试试卷高二理科数学时量：120分钟 分值：150分命题人： 审题人：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. z 是z 的共轭复数. 若()2,2z z z z i +=+=（i 为虚数单位），则=z （ ） A.i +1 B. i --1 C. i +-1 D. i -1 【答案】D2．设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ð （ ） A.{01}x x <≤ B. {01}x x << C. {12}x x ≤< D. {02}x x << 【答案】B3．设x R ∈，则“11x -<”是38x <的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A4.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是 （ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则213a a a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C5．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线1x =对称的是 （ ） ().ln 1A y x =-().ln 2B y x =-().ln 1C y x =+().ln 2D y x =+【答案】B6．已知y x ,为正实数，则 （ ） A.lg lg lg lg 222x yx y +=+ B.lg()lg lg 222x y x y +=⋅C.lg lg lg lg 222x y x y ⋅=+D.lg()lg lg 222xy x y =⋅ 【答案】D7．已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB u u u r 在CD u u ur 方向上的投影为（ ） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-【答案】A8．设变量,x y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ． 19C ．21D ．45 【答案】C9．函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【答案】D10．在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） A ．310 B ．10 C ．10- D ．310-【答案】C 11．设1311ln,log 22a b ==，则 （ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B12．已知数列{}n a 满足()1111,,23n n na a a n N n -=-=∈≥，且21{}n a -是递减数列，2{}n a 是递增数列，则1012a = （ ） A ．10163-B ．9163-C ．101113-D ．91113- 【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量,a b r r的夹角为60°，2,1a b ==r r ，则2a b +=r r .【答案】14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为 【答案】315.已知函数31()2x xf x x x e e =-+-, 其中e 是自然对数的底数.若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .【答案】1[1,]2-16. ABC ∆中，1,2AB AB AC =⋅=u u u r u u u r，则tan ACB ∠的最大值为 .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（本小题满分12分）已知集合A ={}2,0x x a a -<>，集合B =2213x x x ⎧-⎫<⎨⎬+⎩⎭.（1）若1a =，求A B ⋂； （2）若A ⊂≠B ，求实数a 的取值范围.解析：（1）当1a =时，21x -<，解得13x <<.则A ={}13x x <<.由2213x x -<+，得35x -<<.则B ={}35x x -<<. 所以{}13A Bx x ?<<. ………………………………………6分（2）由2(0)x a a -<>，得22a x a -<<+. 若A ⊂≠B ，则2325.0a a a ì-?ïïï+?íïï>ïïî解得03a <?. 所以实数a 的取值范围是{}03a a <?. …………………………12分18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()122n n S m m R +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()()21121log n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .解析：(1)由()122n n S m m R +=+∈得()122n n S m m R -=+∈，当2n ≥时， 12222nn n n a S S -=-=，即()122n n a n -=≥，又1122m a S ==+，当2m =-时符合上式，所以通项公式为12n n a -=.……6分 (2)由（1）可知()()1212log log 2221n nn n a a n -+==-()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭12111111...1 (2223212121)n n n T b b b n n n ⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 19．（本小题满分12分）已知a , b , c 分别为△ABC 三个内角A , B , C的对边，且cos 1sin A C+=. （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=,且ABC ∆求a 的值. 解析：（1）cos 1sin A C+=∵ sin 0C ≠ ∴cos 1A A -= ，即()1sin 302A -︒=. ∵ 0180A ︒<<︒ ∴ 3030150A -︒<-︒<︒∴ 3030A -︒=︒ ∴ 60A =︒. （2）由：ABC S ∆可得1sin 2S bc A ==∴ 4bc = ∵ 5b c +=∴ 由余弦定理得： ()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=∴a =20．（本小题满分12分）某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况，从本市全体高三学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．（1）求该市高三学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a 、b 、c 的值．（2）若从该市高三学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在(]150,170..的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；（3）若变量S 满足()06826P S μσμσ-<≤+>.且()2209544P S μσμσ-<≤+>．，则称变量S 满足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布．如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．【解析】（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15． 记X 为学生的身高，结合图1可得：()()21.30 1.40 1.80 1.900.02100f X f X <≤=<≤==， ()()131.40 1.50 1.70 1.800.13100f X f X <≤=<≤==， ()()()11.50 1.60 1.60 1.70120.0220.130.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=， 又由于组距为0.1，所以02a =.，13b =.，35c =.．…………………………4分1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 身高（米）图1图2（2）以样本的频率估计总体的概率，可知从这批学生中随机选取1名，身高在[]1.50,1.70的概率为()()()1.50 1.70 1.50 1.60 1.60 1.700.7P X f X f X <≤=<≤+<≤=，因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布()3,0.7B ，故错误!未找到引用源。

的分布列为：()()33C 0.30.70,1,2,3nnn P n n ξ-⋅=⋅==，0002710189204413034321E =⨯+⨯+⨯+⨯=.....（或()30721E ξ=⨯=..） ………………8分（3）由()1.6,0.01N ，取160μ=.，01σ=.， 由（2）可知，()()<X 1501700706826P P X μσμσ-≤+=<≤=>....， 又结合（1），可得：()()22 1.40 1.80P X P X μσμσ-<≤+=<≤，()2 1.70 1.80 1.50 1.70)0.960.544f X P X =⨯<≤+<≤=>（，所以这批学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的． …………………………12分21．（本小题满分12分）已知()()()211x f x x e a x =--+，[)1,x ∈+∞． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()2ln f x a x ≥-+，求实数a 的取值范围． 解析：（1）()2xf x xe ax '=- ()2x x e a =-，当2ea ≤时，[)1,x ∈+∞，()0f x '≥．∴()f x 在[)1,+∞上单调递增； 当2ea >时，由()0f x '=，得()ln 2x a =． 当()()1,ln 2x a ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在()()1,ln 2a 单调递减；在()()ln 2,a +∞单调递增．（2）令()()()211ln x g x x e a x x =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立， ()12x g x xe ax x=--'，注意到()10g =． 当12e a ->时， ()1210g e a '=--<， ()()()()1ln 21ln 21ln 21g a a a +=+-+'， 因为21a e +>，所以()ln 211a +>， ()()ln 210g a +>'，所以存在()()01,ln 21x a ∈+，使()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，所以()()10g x g <=，不满足题意． 当12e a -≤时，()()11x g x xe e x x≥---' ()11x x e e x ⎡⎤=---⎣⎦， 因为1x >，()11x x e e ⎡⎤-->⎣⎦，101x<<， 所以()0g x '>，()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意． 综上所述： 12e a -≤． （二）选考题：共10分。