雅礼中学2020年高二上学期入学考试试卷
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题(本题共12小题，每题5分，共60分)
1.已知复数4
21i z i
+=+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,,M I N 中的一个字母，第二位是
1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.
815
B.
18
C.
115
D.
130
3.P22T3函数3
2y x ax a =-+在()01，内有极小值，则实数a 的取值范围为( )
A.()03，
B.()3-∞，
C.()0+∞，
D.302⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
4.P4T3已知2:0P x x -<，那么P 的一个必要不充分条件是( )
A.01x <<
B.11x -<<
C.
1223x <<
D.
1
22
x << 5.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有( )
A.512个
B.192个
C.240个
D.108个
6.已知函数()2
2cos f x x x =＋，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.P9T8已知双曲线M 的焦点1F ，2F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=.如果抛物线2
16y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12PF PF ⋅=( )
A.21
B.14
C.7
D.0
8.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，
D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测. A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特
等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是( )号同学.
A.1
B.2
C.3
D.4，5，6号中的一个
9.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为222
4
a b c +-，则C =( )
A.
2
π B.
3
π C.
4
π D.
6
π 10.P22T4设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()f x g x '-
()()0f x g x '>，且()30g =，则不等式()()0f x g x <的解集是( )
A.()()3,03,-⋃+∞
B.()()3,00,3-⋃
C.()(),33,-∞-⋃+∞
D.()(),30,3-∞-⋃
11.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R
与年产量x 的关系是()21400,0400,2
80000,400,
x x x R R x x ⎧-≤≤⎪
=⎨⎪>⎩则总利润最大时，年产量是( ) A.100
B.150
C.200
D.300
12.P7T6.已知椭圆()2222:10x y T a b a b
+=>>的离心率为3
2，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与T
相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则k =( )
A.1
B.2
C.3
D.2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.双曲线2
2
1x y -=的离心率为___________.
14.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，
则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为___________. 15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有___________种不同的站法.
16.已知函数()()
2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =___________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(本题满分10分)
已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若数列{}n b 满足(*)21n n b n a n -+∈N =，求{}n b 的前n 项和n S .
18.(本题满分12分)
已知函数(
)()2
2
sin cos cos f x x x x x x =--∈R .
(Ⅰ)求23
f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； (Ⅱ)求()f x 的单调递增区间.
19.(本小题满分12分)
《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：
(1)请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；
(2)若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式：()()()
1
12
2
2
1
1
n n
i
i
i i i i n n
i i
i i x x y y x y nxy b x nx
x x ====----=
=--∑∑∑
∑，a y bx =-.
参考数据：5
11415i
i i x y ==∑
20.(本小题满分12分)P15T10.
如图(1)，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=，点E ，F 分别是边CD ，
CB 的中点，AC EF O =，
沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接PA ，PB ，PD ，得到如图(2)的五棱锥P ABFED -，且
10PB =.
(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求二面角B AP O --的余弦值.
21.(本小题满分12分)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
到抛物线()2
:20C y px p >=的准线的距离为
5
4
.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上. (1)求曲线C 的方程及点M 的坐标； (2)记()2
14AB d m m
=
+，求弦长AB (用m 表示)；并求d 的最大值.
22.(本小题满分12分)
已知函数()()()212ln f x a x x =---，()1x
g x xe
-=(a R ∈，e 为自然对数的底数).
(Ⅰ)若不等式()0f x >对于一切10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立，求a 的最小值； (Ⅱ)若对任意的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的()1,2i x i =，使()()0i f x g x =成立，求a 的取值范围.。