雅礼中学高二期中考试试卷（文数）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合2M x x ，230N x x x ，则M N ＝( )Ａ．3Ｂ．0Ｃ．0,2Ｄ．0,32．已知0a b ，则A. 2a abB. 2ab bC. 22a bD. 22a b 3．命题“?x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是()A ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x<0B ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0D ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥04．我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40,40,60,60,80,80,100，若低于60分的人数为15，则该班的人数为（）A ．40B ．50C ．60D ．705.已知数列n a 的前n 项和为n S ，且)1(2n n a S , 则2a 等于( )A ．4B ．2C ．1D ．-26．如果实数x ,y 满足约束条件10,10,10,x y y x y 则2x y 的最大值为（）A ．3B ．2C ．2D ．17．已知1sin 24，则cos 2（）A ．78B ．78C ．78或78 D ．1548．执行下边的程序框图，若输入1,1,1a b c ，则输出的结果满足（）A ．1e fB ．1e fC ．5e fD ．5e f 9．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A ．3 B ．23 C ． D ．4310．若“:p xa ”是“:13q x x 或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．1a B ．1a C ．3a D ．3a 11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱12．已知函数()f x 为定义在R 上减函数，且函数()y f x 的图象关于原点成中心对称.若,a b 满足不等式22(2)(2)f aa fb b ,则当[1,4]a 时，2ba ab 的取值范围是( ) A.1[3,)2 B. 1[3,]2 C. 1[5,)2 D. 1[5,]2二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13．已知向量,2,1,1m a n a ，且m n ，则实数a 的值为14．已知命题p:“实数a 满足30a a ”，命题q:“方程2220x ax a 无解”；若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是___________．15.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是．16．已知关于x 的一元二次不等式220ax x b 的解集为{|}x x c ，则227a b a c （其中0a c ）的取值范围为__________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设锐角△ABC 内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知b Ba 3sin 2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若7a ，2b ，求sinB ．18. （本题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a ，且123aa a .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log nn b a ，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的1{}n S 的前n 项和n T .19．（本题满分12分）随机抽取某中学高二年级甲，乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图，其中表格中甲，乙两班各有一个数据被污损．若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，（1）求表格中污损处的两个数据；（2）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于175cm 的同学，求身高为181cm 的同学被抽中的概率．20．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1A A AB ，11CB A ABB 面（1）求证：1AB 平面1A BC ；（2）若15,3,60A C B C AA B ，求三棱锥1C AA B 的体积．21.（本题满分12分）某产品在一个生产周期内的总产量为100吨，平均分成若干批生产。

设每批生产需要投入固定费用75元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量x 的平方成正比，已知每批生产10吨时，直接消耗的费用为300元（不包括固定的费用）。

（1）若每批产品数量为20吨，求此产品在一个生产周期的总费用（固定费用和直接消耗的费用之和）。

（2）设每批产品数量为x 吨，一个生产周期内的总费用y 元，求当x 为多少时，y 有最小值，并求出y 的最小值。

22．（本题满分12分）已知函数2()1f x x ，()1g x a x ．（1）若fx g x 有且仅有一个根，求a 的取值范围；（2）若xR 时，不等式()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若0a 时，求()()G x f x g x 在[2,2]上的最大值．雅礼中学高二期中考试试卷（文数）1．若集合2Mx x ，230N x x x ，则M N ＝( ) Ａ．3Ｂ．0Ｃ．0,2Ｄ．0,3【答案】B2．已知0ab ，则A. 2a ab B. 2ab b C.22a b D. 22a b 【答案】D 3．命题“?x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是()C A ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x<0B ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0D ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥04．我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40,40,60,60,80,80,100，若低于60分的人数为15，则该班的人数为（）A ．40 B．50 C ．60 D ．70【答案】B【解析】试题分析：低于60分的人数看前两个条形，易知其概率为其面积即0.3，故该班人数为50人，选项为B ．考点：频率分布直方图．5.已知数列n a 的前n 项和为n S ，且)1(2n n a S , 则2a 等于( )A ．4B ．2C ．1D ．-2 【答案】：A 6．如果实数x ,y 满足约束条件10,10,10,xy y x y 则2x y 的最大值为（）A ．3 B ．2 C．2 D ．1【答案】D 【解析】不等式组对应的可行域为直线10,10,10x y y x y 围成的三角形区域，顶点为1,0,0,1,2,1，令2z x y，则当直线z2x y过点0,1时，z取得最大值 1.考点：求线性目标函数的最值.7．已知1sin24，则cos2（）A．78B．78C．78或78D．14【答案】A8．执行下边的程序框图，若输入1,1,1a b c，则输出的结果满足（）A．1e f B．1e f C．5e f D．5e f【答案】B【解析】试题分析：模拟执行程序框图，计算e，f的取值范围即可得解．模拟执行程序框图，可得a=1，b=1，c=-1d=5满足条件d≥０，1515222e f，, 输出e，f的值．9．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A ．3B ．23C ．D ．43【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为一个球体的43，缺口部分为挖去的41．∵球的半径1R ，∴13443V ，故选：C ．考点：由三视图求面积，体积．10．若“:p xa ”是“:13q x x 或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．1a B ．1a C ．3a D ．3a 【答案】A【解析】试题分析：由题意1a ．故选A ．考点：充分必要条件．11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱【答案】B【解析】试题分析：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d ,则由题意可知,22ad a d a a d a d , 即6a d ,又2255ad a d a a d a d a , 1a ，则4422633aa d a a ，故选 B. 12．已知函数()f x 为定义在R 上减函数，且函数()y f x 的图象关于原点成中心对称.若,a b 满足不等式22(2)(2)f aa fb b ,则当[1,4]a 时，2ba ab 的取值范围是( ) A.1[3,)2 B. 1[3,]2 C. 1[5,)2 D. 1[5,]213．已知向量,2,1,1m a n a ，且m n ，则实数a 的值为A ．0 B．2 C ．2或1 D ．2【答案】B【解析】试题分析：因为m n ，所以2(1)20m na a a ，即2a ，故选 B.考点：向量的坐标运算. 14．已知命题p:“实数a 满足30a a ”，命题q:“方程2220x ax a 无解”；若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是___________．【答案】 (0,1)15.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是．【答案】194【解析】试题分析：则题意可知，前19行共有119191902，所第20行从左到右的数字依次191,192,193,194,，所以第4个数为194.考点：1.归纳推理； 2.等差数列的前n 项和公式.【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前n 项和公式，属中档题；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性.16．已知关于x 的一元二次不等式220ax x b 的解集为{|}x x c ，则227a b a c （其中0a c）的取值范围为__________.(,6][6,)试题分析：由题设0a 且044ab ,即1ab ,此时不等式变为01222ax x a ,即0)1(2ax ,所以01ax ,即a x1,即a c 1,所以227a b a ca a aa 17122,令a a t 1,则227a b a c t tt t a a aa 99171222. 故应填答案(,6][6,).17.设锐角△ABC 内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知b B a 3sin 2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若7a ，2b ，求sinB ．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为b B a 3sin 2，由正弦定理得：2sin sin 3sin A B B .所以3sin 2A .又因为A 是锐角，所以60A. （Ⅱ）由正弦定理得sin sin abA B .21sin 7B 18.已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a ，且123a a a .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log n n b a ，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的1{}n S 的前n 项和n T .【答案】（I ）5n n a ；（II ）21n n n 【解析】试题分析：（I ）利用基本元的思想，将已知条件化为1,a q ，列方程组求得15a q ，故5nn a ；（II ）化简5log nnb a n ，故(1)2nn n S ，12112()(1)1nS n n nn ，利用裂项求和法求得21nn T n .试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，由题意知0q ，∴2111211154,.a a qa q a a q a q ，解得15a q ，故5nna .（Ⅱ）由（Ⅰ），得5log n nb a n ，所以(1)2nn n S .∴12112()(1)1nS n n nn ，故数列1{}nS 的前n项和为111112[(1)()()]2231nT nn 122(1)11n n n .19．随机抽取某中学高二年级甲，乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图，其中表格中甲，乙两班各有一个数据被污损．若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，（1）求表格中污损处的两个数据；（2）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于175cm 的同学，求身高为181cm 的同学被抽中的概率．【答案】（1）9，4；（2）170.9，171.2；（3）①9；②12．【解析】试题分析：（1）根据众数和中位数的概念可知甲班污损处是9，乙班污损处是4；（2）设“身高为181cm 的同学被抽中”为事件A ，从乙班10名同学中抽取两名身高高于175cm 的同学有：176,178,176,179,176,181,178,179,178,181,179,181共6个基本事件，而事件A 含有176,181,178,181,179,181共3个基本事件，所以3162P A．20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1A A AB ，11CB A ABB 面（1）求证：1AB 平面1A BC ；（2）若15,3,60ACBCA AB，求三棱锥1CAA B 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）34．【解析】试题分析：（1）先通过AB AA 1，得到四边形11A ABB 为菱形，利用菱形的对角线相互垂直得11AB A B ，在利用线垂直于面，线将垂直于面内所有直线可得11ABB A CB得到1CBAB ，最后结合线面垂直判定定理即可得到结论；（2）由勾股定理可得：4AB，由601ABA 可得三棱锥AB A C1的底面AB A 1的面积，由（1）知BC 为棱锥的高，由体积公式可得结果．试题解析：（1）在侧面11A ABB 中，因为1A A AB ，所以四边形11A ABB 为菱形，所以11AB A B ，因为CB 平面111,A ABB AB 平面11A ABB ，所以1CBAB ，又因为11,A BBCB AB 平面1A BC ．（2）因为CB平面11,A ABB AB平面11A ABB ，AB平面11A ABB ，CB AB ，在Rt ABC 中，5,3AC BC，所以由勾股定理，得4AB，又在菱形11A ABB 中，160A AB，所以1A A B为正三角形，则111113443433322CAA BAA BV SCB三棱锥．21.某产品在一个生产周期内的总产量为100吨，平均分成若干批生产。