浙教版备考2022年中考数学一轮复习专题32 圆的动点问题一、单选题1.如图，点A是函数y＝1x的图象上的点，点B，C的坐标分别为B（﹣√2，﹣√2），C（√2，√2）．试利用性质：“函数y＝1x的图象上任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2 √2”求解下面问题：作∠BAC的角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数y＝1x的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为（）A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 反比例函数的曲线2.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N．连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM∶EN的值的变化情况是（）A. 变大B. 变小C. 先变大再变小D. 保持不变3.如图，在Rt △AOB中，OA＝OB＝4 √2，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（）A. 2 √3B. √3C. 1D. 24.如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A. （0，2）B. （0，3）C. （﹣2，0）D. （﹣3，0）5.如图，点A在半径为6的⊙O内，OA=2√3，P为⊙O上一动点，当∠OPA取最大值时，PA 等于（）A. 3B. 2√6C. √32D. 2√36.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作⊙M，与y轴交于点A和点B，点P是AC⌢上的一动点，Q是弦AB上的一个动点，延长PQ交⊙M于点E，运动过程中，始终保持∠AQP=∠APB，当AP+QB的结果最大时，PE长为（）A. 7√32B. 4√3 C. 6√215D. 8√2157.如图，半径为1cm的⊙P在边长为9πcm，12πcm，15πcm的三角形外沿三边滚动（没有滑动）一周，则圆P所扫过的面积为（）cm2A. 73πB. 75πC. 76πD. 77π8.如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为弧AB上的动点，PM⊥OA,PN⊥OB，垂足分别为M,N，D是ΔPMN的外心．当点P运动的过程中，点M,N分别在半径上作相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长（）π B. π C. 2 D. 2√3A. 239.如图，在ΔABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心作半圆，使BC 与半圆相切，点P,Q分别是边AC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A. 8B. 9C. 10D. 1210.已知⊙O的半径为3，A为圆内一定点，AO＝1，P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APQ，AP＝PQ，∠APQ＝120°，则OQ的最大值为（）A. 1+3√3B. 1+2√3C. 3+√3D. 3√3−1二、填空题11.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为．12.如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是．13.如图，平面直角坐标系中，分别以点A(−2,3)，B(3,4)为圆心，以1，3为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于．14.如图，⊙O的半径为1，弦AB=√2，AC⌢=BC⌢，点P为劣弧AC上一个动点，延长BP至点Q，使BP⋅BQ=AB2，当点P由点A运动到点C时，点Q的运动路径长为 .15.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，将AC绕点A逆时针旋转120°得AD，若AB＝2，则BD的最大值为 .16.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是该三角形边上一点，且OB=1，以O为圆心，1为半径作圆，点P是这个圆上的一动点，连接AP，则线段AP的最大值为________.三、综合题17.如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．18.如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，AB=AC.（1）如图1，若BD是⊙O的直径，求证：∠BAC=2∠ACD；（2）如图2，若BD⊥AC，DE =3，CE=4，求BE的长；（3）如图3，若∠ABC+∠DCB=90°，AD=7，BC=24，求AB的长；（4）在（3）的条件下，保持BC不动，使AD在⊙O上滑动，（滑动中AD长度保持不变）直接写出BD+AC 的最大值．19.如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正方形ABCD的四条边与坐标轴平行，顶点A、B分别在第一象限、第二象限，对角线AC、BD的交点与坐标原点O重合，当正方形ABCD的边上存在点Q，满足PQ≤2时，称点P为正方形ABCD的伴随点．（1）点A的坐标为点，B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为．（2）当正方形ABCD的伴随点P的坐标为(3,0)时，点Q的坐标可以为（写出一个即可）．（3）在点P1(0,0)、P2(5.5,5.5)、P3(−4,2)、P4(1,−2)中，正方形ABCD的伴随点是．（4）点P在直线y=x上．若点P为正方形ABCD的伴随点，直接写出点P横坐标m的取值范围．20.提出问题：已知平面直角坐标系内，任意一点A，到另外一个点B之间的距离是度多少？（1）问题解决：遇到这种问题，我们可以先从特例入手，最后推理得出结论探究一：点A（1，﹣1）到B（﹣1，﹣1）的距离d1＝，探究二：点A（2，﹣2）到B（﹣1，﹣1）的距离d1＝，一般规律：如图1，在平面直角坐标系xoy内已知A（x1，y1）、B（x2，y2），我们可以表示连接AB，在构造直角三角形，使两条边交于M，且∠M＝90°，此时AM＝，BM＝，AB＝．（2）已知互相平行的直线y＝x﹣2与y＝x＋b之间的距离是3 √2，试求b的值．拓展延伸：拓展一：已知点M（﹣1，3）与直线y＝2x上一点N的距离是3，则△OMN的面积是．拓展二：如图2，已知直线y＝−43x−4分别交x，y轴于A，B两点，⊙C是以C（2，2）为圆心，2为半径的圆，P为⊙C上的动点，试求△PAB面积的最大值．21.对于平面直角坐标系xOy内任意一点P，过P点作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．（1）点A(2,0),B(4,4),C(−2,√2)的垂点距离分别为________，________，________；（2）点P在以Q(√3,1)为圆心，半径为3的⊙Q上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围；（3）点T为直线l:y=√3x+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．22.在平面中，对于⊙C以及它的弦PQ，若存在正方形CDEF，使点D在弦PQ上，点E在⊙C上，则称正方形CDEF是⊙C关于弦PQ的一个“联络正方形”下图中的正方形CDEF即为⊙C关于弦PQ的一个“联络正方形”在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 C 的坐标为 (4,3) ，点 P 的坐标为 (t,0) (t ≠4) ，以 C 为圆心， CP 为半径的圆与 x 轴的另一个交点为 Q ．（1）当 t =2 时，判断 ⊙C 关于弦 PQ 的“联络正方形”是否存在；（2）当 t =0 时， ⊙C 关于弦 PQ 的“联络正方形”为 CDEF ，求点 E 的坐标；（3）当 ⊙C 关于弦 PQ 的“联络正方形”为 CDEF 存在，且点 E 在抛物线 y =x 2−1 上时，直接写出此时点 F 的坐标．23.如图，BD 是半径为3的⊙O 的一条弦，BD ＝4 √2 ，点A 是⊙O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作▱ABCD.（1）如图2，若点A 是劣弧 BD⌢ 的中点. ①求证：▱ABCD 是菱形；②求▱ABCD 的面积.（2）若点A 运动到优弧 BD⌢ 上，且▱ABCD 有一边与⊙O 相切. ①求AB 的长；②直接写出▱ABCD 对角线所夹锐角的正切值.24.如图，在边长为5的菱形OABC 中，sin ∠AOC= 45，O 为坐标原点，A 点在x 轴的正半轴上，B ，C 两点都在第一象限.点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周，设运动时间为t （秒）.请解答下列问题：备用图（1）当CP ⊥OA 时，求t 的值； （2）以点P 为圆心，以OP 为半径画圆，当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切,且切点不在．．菱形的边上时，求出t 的值.答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】A二、填空题11.【答案】2√10−212.【答案】65°或115°13.【答案】√74−414.【答案】√215.【答案】2√7+216.【答案】3√2+1三、综合题17.【答案】（1）解：如图（1），∵OD⊥BC，∴BD= 12BC= 12×6=3，∵∠BDO=90°，OB=5，BD=3，∴OD= √OB2−BD2=4，即线段OD的长为4．（2）解：存在，DE保持不变．理由：连接AB，如图（2），∵∠AOB=90°，OA=OB=5，∴AB= √OB2+OA2=5 √2，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE= 12AB= 5√22，∴DE保持不变．18.【答案】（1）证明：连接AO、CO ∵AO=AO,BO=CO,AB=AC∴△OAB ≌△OAC (SSS)∴∠BAO =∠CAO=∠ABO∴∠BAC=2∠ABD=2∠ACD.（2）解：连接AO并延长交BD于点H，交BC于G由（1）知，∠BAO =∠CAO ∴AG⊥BC，∵ BD⊥AC ∴∠HBC+ ∠BHG=∠HAC+∠AHE=90°∴∠HBC=∠HAC=∠HAB ∴∠DAC=∠DBC=∠HAB又∵AB=AC, ∠ABH=∠ACD∴△BAH ≌△CAD (ASA)∴BH=CD,AH=AD又∵ BD⊥AC ∴HE=ED在Rt△CED中，CE2+ED2=CD2∴CD=√32+42=5∴BE=BH+EH=5+3=8以下方法也可：（3）解：如图作直径BF，连接CF、DF、AO交BC于G,∴∠DFB+∠DBF=90°又∵∠DFB=∠DCB ∠ABC+∠DCB=90°∴∠ABC=∠DBF ∴∠ABD=∠CBF∴弧CF=弧AD∴CF=AD=7 (用弧的度数证明也可）在Rt△BCF中,BF= √72+242=25, OG= 12CF= 72 ,由AG⊥BC，得BG=12，AG = 9在Rt△ABG中, AB=√122+92=15（4）解：(BD+AC)max = 25√219.【答案】（1）(3,3)；(−3,3)；(−3,−3)；(3,−3)（2）(3,1)答案不唯一（3）P3、P4（4）解：如图符合条件的临界点P有4个，如图，过点P5作P5E⊥x轴于E，过点P6作P6F⊥x轴于F，∵点P5，点P6在y=x上，∴∠P5OE=45°，∵正方形ABCD边长为6，∴OG=AG=3，∴OA=3√2，P6F=OF=1，∴OP5=3√2+2,，∴OE=P5E=√2+2√2=3+√2，∴P5(3+√2,3+√2)，P6(1,1)，∴1≤m≤3+√2，同理可得P7(−1,−1)，P8(−3−√2,−3−√2)，∴−3−√2≤m≤−1，综上，−3−√2≤m≤−1或1≤m≤3+√2．20.【答案】（1）2；√10；x1−x2；y1−y2；√(x1−x2)2+(y1−y2)2材料补充：已知点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离d2可用公式d2＝00√1+k2计算．问题解决：（2）5+2√52；如图所示，设C 到直线AB 的距离为d ， ∴ d =|−43×2−2−4|√(−43)2+1=265 ， ∵圆C 的半径为2， ∴圆C 上任意一点到直线AB 的距离 ℎ≤d +2=365 ， ∵A 、B 分别是直线 y =−43x −4 与x 轴和y 轴的交点， ∴A （-3，0），B （0，-4）， ∴OA=3，OB=4， ∴ AB =√OA 2+OB 2=5 ， ∴三角形ABP 的面积的最大值 =12AB(d +2)=18 ． 21.【答案】 （1）ℎA =2；ℎB =4√2；ℎC =√6（2）解：如图，过点P 作 PM ⊥x 轴于点M ， PN ⊥y 轴于点N ．∵∠PMO =∠PNO =∠MON =90° ，∴ 四边形 PMON 是矩形．∴OP =MN ．∵Q 点坐标为 (√3,1) ，∴OQ =2 ．∵PQ −OQ ⩽OP ⩽PQ +OQ ，∴3−2≤OP ⩽3+2 ．∴1⩽ℎ⩽5（3）解：如图，设直线l与x轴，y轴的交点分别为A,B，过点O作OM⊥直线l于点M，以OA为半径作⊙O，交直线l于点N．∵∠BAO=60°,AO=2√3，∴AM=√3.过点M,N分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D，则AC=√32，即OC=3√32．∵△AON是等边三角形，∴OD=12AO=√3．∴t=−3√32或−√3⩽t<0．22.【答案】（1）解：连接OE，当t=2时，点P（2，0），点C（4，3）∴CP= √(4−2)2+32=√13 ，∵点D 在PQ 上，∴3≤CD≤ √13 ，∵四边形CDEF 为正方形，∴OE= √CD 2+ED 2=√2CD ，∴OE≥ 3√2=√18>√13 ，∴点E 在 ⊙C 外，⊙C 关于弦 PQ 的“联络正方形”是不存在；（2）解：过E 、C 分别作EH ⊥x 轴于H ，CG ⊥x 轴于G ，∴∠HED+∠HDE=90°，∵四边形CDEF 为正方形，∠EDC=90°，ED=CD,∴∠HDE+∠GDC=90°，∴∠HED=∠GDC ，在△HED 和△GDC 中，{∠HED =∠GDC∠EHD =∠DGC ED =DC，∴△HED ≌△GDC （AAS ），∴EH=DG ，HD=CG ，∵t=0，点P （0，0），点C （4，3），∴OP= √42+32=5 ，∵点E 在圆上，∴OE=OP=5，∵四边形CDEF 为正方形，∴OE= √CD 2+ED 2=√2CD ，∴CD= 5√22 ， 在Rt △DCG 中，DG= √CD 2−CG 2=√(5√22)2−32=√142， 当点E 在第二象限，PG=4， HD=CG=3，EH=DG= √142 ，∴PH=HD-PD=HD-（PG-DG ）=3-（4- √142 ）= √142-1， ∴点E （1- √142 ， √142）， 当点E 在第四象限时，PH=PG-HG=PG-（HD-DG ）=4-（3- √142 ）=1+ √142，∴点E （1+ √142 ，- √142），∴综合点E 的坐标为（1- √142 ， √142 ）或（1+ √142 ，- √142）；（3）解：过点F 作FM ⊥GC 交延长线于M ，由（2）△EHD ≌△DGC∴∠MFC+∠MCF=90°，∵四边形CDEF 为正方形，∠FCD=90°，FC=CD,∴∠MCF+∠GCD=90°，∴∠MFC=∠GCD ，在△FMC 和△CGD 中，{∠MFC =∠GCD∠FMC =∠CGD CF =DC，∴△FMC ≌△CGD （AAS ），∴△EHD ≌△FMC ≌△CGD∴EH=MC=DG ， HD=FM=CG=3，设点D （m ，0），∴DG=4-m ，∴OH=HG-OG=CG+DG-OG=4-m+3-4=3-m ，∴点E （m-3，4-m ），∴4-m=（m-3）2-1，解得m=4或m=1，当m=1时，点E （-2，3）满足条件，此时DG=3=CM ，点F 的横坐标x=OG-FM=4-3=1，纵坐标y=MG=MC +CG=3+3=6，∴点F （1，6），当m=4时，点E （1，0）满足条件，此时DG=0=CM ，点F 的横坐标x=OG-FM=4-3=1，纵坐标y=MG=MC +0=3+0=3，∴点F （1，3），综合点F的坐标为（1，3）或（1，6）．⌢的中点，23.【答案】（1）解：①∵点A是劣弧BD∴AD⌢=AB⌢，∴AD=AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形；②连接AO，交BD于点E，连接OD，，∵点A是劣弧BD⌢的中点，OA为半径，∴OA⊥BD，OA平分BD，∴DE=BE=2√2，∵平行四边形ABCD是菱形，∴E为两对角线的交点，在Rt△ODE中，OE=√OD2−DE2=1,∴AE=2，∴S ABCD=1BD⋅AE×2=8√2；2（2）解：①如图，当CD与⊙O相切时，连接DO并延长，交AB于点F，∵CD与⊙O相切，∴DF⊥CD，∴AB=2BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴DF⊥AB，在Rt△BDF中，BF2=BD2−DF2=32−(OF+3)2，在Rt△BOF中，BF2=BO2−OF2=9−OF2，∴32−(OF+3)2=9−OF2，解得OF=73，∴BF=43√2，∴AB=2BF=83√2；如图，当BC与⊙O相切时，连接BO并延长，交AD于点G，同理可得AG=DG=43√2，OG=73，所以AB=√BG2+AG2=4√2,综上所述，AB的长为83√2或4√2；②过点A作AH⊥BD，，由（2）得：BD=4√2,AD=83√2,BG=3+73=163,根据等面积法可得12BD⋅AH=12AD⋅BG，解得AH=329，在在Rt△ADH中，DH=√AD2−AH2=89√2，∴HI=2√2−89√2=109√2，∴tan∠AIH=AHHI =85√2.24.【答案】（1）解：过点P作CP⊥x轴于点P,sin∠AOC=CPOC =45=CP5,∴CP=4.在Rt△OCP中∴OP=√OC2−CP2=√52−42=3.∵点P的运动速度为每秒1个单位。