第六章 数据的分析1 平均数第1课时 算术平均数与加权平均数1．掌握算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数的算术平均数和加权平均数．2．经历数据的收集与处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理的能力；通过有关平均数问题的解决，发展学生的数学应用能力．3．通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系．重点掌握算术平均数、加权平均数的概念．难点理解加权平均数的概念，会求一组数据的加权平均数．一、情境导入1．课件出示教材第135页第六章的章前文字、章前图和一组问题，引入本章主题．2．用篮球比赛引入本节课题．师：篮球运动是大家喜欢的一种运动项目，尤其是男生更是倍爱有加．下面播放一段CBA(中国篮球协会)2005～2006赛季“广东宏远队”和“八一双鹿队”的一场比赛片段，请同学们欣赏．在学生观看了篮球比赛的片段后，请学生思考：(1)影响比赛的成绩有哪些因素？(心理、技术、配合、身高、年龄等因素)(2)如何衡量两个球队队员的身高？怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？ 要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些数据呢？(收集两个球队队员的身高，并用两个球队队员身高的平均数作出判断)在学生的议论交流中引入本节课题：平均数．二、探究新知1．算术平均数．(1)课件出示教材第136页提供的中国男子篮球职业联赛 2011～2012 赛季冠、亚军球队队员身高、年龄的表格，提出问题：“北京金隅队”和“广东东莞银行队”两支篮球队中，哪支球队队员的身高更高？哪支球队队员更为年轻？你是怎样判断的？与同伴进行交流．学生先独立思考，计算出平均数，然后在小组交流．解：北京金隅队队员的平均身高为1.98 m ，平均年龄为25.4 岁；广东东莞银行队队员的平均身高为2.00 m ，平均年龄为24.1岁．所以，广东东莞银行队队员的身高更高，更为年轻．教师小结：日常生活中我们常用平均数来描述一组数据的集中趋势．一般地，对于n 个数x 1，x 2，…，x n ，我们把1n(x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记为x.(2)课件出示教材第137页“想一想”．学生经过讨论后可知，小明的做法还是根据算术平均数的公式进行计算的，只是在求相同加数的和时用了乘法，因此这是一种求算术平均数的简便方法．2．加权平均数．课件出示教材第137页例题．引导学生思考讨论：第(1)(2)问中录用的人不一样说明了什么？从而认识由于测试的每一项的重要性不同，所以所占的比份也不同，计算出的平均数就不同，因此重要性的差异对结果的影响是很大的．在学生认识的基础上，教师结合例题给出加权平均数的概念：实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．例如，在例题中4，3，1分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权，而称72×4＋50×3＋88×14＋3＋1为A 的三项测试成绩的加权平均数． 三、练习巩固教材第138页“随堂练习”第1，2题．四、小结引导学生小结算术平均数和加权平均数的概念及运用．五、课外作业教材第138～139页习题6.1第1～5题．教学中以提问的方式导入新课，通过设置的问题引导学生进行自我探索与小组间的合作交流，让学生理解算术平均数的意义，通过例题的讲解，让学生归纳总结出加权平均数的计算方法，加深了学生对加权平均数的理解，教学过程要加强练习，提高学生的计算能力，注意算术平均数与加权平均数的类比，提高学生分析问题和解决问题的能力．第2课时 算术平均数与加权平均数的应用1．会求加权平均数，体会权的差异对平均数的影响；理解算术平均数和加权平均数的联系与区别，能利用平均数解决实际问题．2．通过探索算术平均数和加权平均数的联系与区别的过程，培养学生的思维能力；通过有关平均数的问题的解决，发展学生的数学应用能力．3．通过解决实际问题，体会数学与社会生活的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心．重点会求加权平均数，体会权的差异对平均数的影响．难点理解算术平均数和加权平均数的联系与区别，能利用平均数解决实际问题．一、复习导入师：什么是算术平均数？什么是加权平均数？请同学们各举一个有关算术平均数和加权平均数的实例，与同伴进行交流．在学生的复习交流中引入课题：本节课将继续研究生活中的加权平均数，以及算术平均数和加权平均数的联系与区别．二、探究新知课件出示教材第139页学校广播操比赛题．对于第(1)问，让每一位学生动手计算，然后教师抽取几个不同层次的学生做的结果投影展示，进行评价．解：一班的广播操成绩为：9×10%＋8×20%＋9×30%＋8×40%＝8.4(分)．二班的广播操成绩为：10×10%＋9×20%＋7×30%＋8×40%＝8.1(分)．三班的广播操成绩为：8×10%＋9×20%＋8×30%＋9×40%＝8.6(分)．因此，三班的广播操成绩最高．对于第(2)问，让学生先在小组内各抒己见，然后在全班交流体会，归纳：以上四项所占的比例不同，即权有差异，得出的结果就会不同，也就是说权的差异对结果有影响．三、举例分析小颖家去年的饮食支出为3 600元，教育支出为1 200元，其他支出为7 200元，小颖家今年的这三项支出依次比去年增长9%，30%，6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？以下是小明和小亮的两种解法，谁做得对？说说你的理由．小明：13(9%＋30%＋6%)＝ 15%. 小亮：9%×3600＋30%×1 200＋6%×7 2003 600＋1 200＋7 200＝9.3%. 学生分组讨论，全班交流，说明理由：由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额3 600，1 200，7 200分别视为三项支出增长率的“权”，从而求出总支出的增长率所以小亮的解法是对的．四、练习巩固1．教材第139页“议一议”．2．教材第140页“随堂练习”第1，2题．注意事项：对学生的解题过程和结果做适当的评价，特别要关注中下等生，对他们点点滴滴的进步都要给予鼓励．五、小结师：说说算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别？教师引导学生比较、议论、交流、总结出结论：算术平均数是加权平均数各项的权都相等的一种特殊情况，即算术平均数是加权平均数，而加权平均数不一定是算术平均数．由于权的不同，导致结果不同，故权的差异对结果有影响．六、课外作业教材第140～141页习题6.2的第1～6题．数学学习不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式．本节课的几个教学环节通过想一想、议一议、做一做等数学活动来引导学生探索和交流，体会权的差异对平均数的影响，认识算术平均数和加权平均数的联系与区别．在改变学生学习方式的同时让学生增强数学的应用意识，了解数学的价值，提高思维能力，增进学好数学的信心.2 中位数与众数1．掌握中位数、众数的概念，会求出一组数据的中位数与众数；能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判．2．通过解决实际问题的过程，区分刻画“平均水平”的三个数据代表，让学生获得一定的评判能力，进一步发展其数学应用能力．3．将知识的学习放在解决问题的情境中，通过数据分析与处理，体会数学与现实生活的联系，培养学生求真的科学态度．重点理解中位数、众数的概念，会求出一组数据的中位数与众数．难点能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判．一、情境导入师：在当今信息时代，信息的重要性不言而喻，人们经常要求一些信息“用数据说话”，所以对数据作出恰当的评判是很重要的．下面请看一例：某次数学考试，小英得了78分．全班共32人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，2个62分，1个30分，1个25分．小英计算出全班的平均分为77.4分，所以小英告诉妈妈说，自己这次数学成绩在班上处于“中上水平”．小英对妈妈说的情况属实吗？你对此有何看法？引导学生展开讨论，作出评判：平均数是我们常用的一个数据代表，但是在这里，利用平均数把倒数第五的成绩说成处于班级的“中上水平”显然是不属实的．原因是全班的平均分受到了两个极端数据30分和25分的影响，利用平均数反应问题就出现了偏差．师：怎样说明这个问题呢？我们需要学习新的数据代表——中位数与众数．二、探究新知课件出示教材第142页有关某公司员工的收入的题目．学生四人小组讨论，交流自己的看法，教师对表现积极的学生予以鼓励．在学生讨论交流的基础上，教师进行点拨：上述问题中，经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司的收入情况：(1)月平均工资2 700元，指所有员工工资的平均数是2 700元，但只有正、副经理的工资比平均工资高，是他们两人的工资把平均工资“拉”高了．(2)职员C的工资是1 900元，恰好居于所有员工工资的“正中间”(恰有4人的工资比他高，有4人的工资比他低)，我们称1 900元是这组数据的中位数．(3)9个员工中有3个人的工资为1 800元，出现的次数最多，我们称1 800元是这组数据的众数．师：你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更合适？让学生讨论，充分发表不同的观点，然后归纳：用中位数1 900元或众数1 800元表示该公司员工收入的平均水平更合适些，因为平均数2 700元受到了极端值的影响．结合上述问题的探究，引入中位数、众数的概念：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．教师指出：平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”．让学生用中位数、众数的概念解释引例中小英的数学成绩的问题．注意事项：在问题的讨论中，学生从不同的角度理解问题会有不同的观点，只要学生说得有道理，教师就应给予肯定和鼓励，不可强求结论的一致性．三、举例分析1．对于一组数据：3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，下列说法正确的是()A. 这组数据的众数是3B. 这组数据的众数与中位数的数值不等C. 这组数据的中位数与平均数的数值相等D. 这组数据的平均数与众数的数值相等答案：A2．2011～2012 赛季北京金隅队队员身高的平均数、中位数、众数分别是多少？四、练习巩固你课前所调查的20名男同学所穿运动鞋尺码的平均数、中位数、众数分别是多少？你认为学校商店应多进哪种尺码的男式运动鞋？五、小结师：平均数、中位数和众数有哪些特征？学生讨论交流，师生共同总结特征：1．用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响.2．用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，它不能充分利用所有数据的信息，但它不受极端值的影响，当一组数据中有个别数据变动较大时，可用它来描述这组数据的“集中趋势”．3．用众数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，其大小只与这组数据中的部分数据有关，但它不受极端值的影响．当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一种统计量．要根据不同的实际需要，确定是用平均数、中位数还是众数来反映数据的平均水平．六、课外作业1．教材第144页习题6.3第1，2，3题．2．收集一组与本班同学相关的生活数据(例如每分钟心跳的次数，眼睛近视的度数、身高、体重等)，并选择恰当的数据代表来说明本组数据的特征．“学起于思，思起于疑”，思维是从问题开始的．本节课通过问题情境，启发学生思考，引起认知冲突，引导学生逐步深入地揭示新知识、应用新知识．需要注意的是：学生有自己的看法和意见，教师不可一味地否定．教师要关注学生思考问题的过程，千万不要代替学生思考，更不可强加给学生固定的思维模式．让学生在独立思考和合作交流中解决问题，发展数学应用能力．3 从统计图分析数据的集中趋势1．能正确读懂统计图，并能从统计图中获取相应的信息．2．能根据统计图中的信息分析数据的集中趋势．结合统计图分析数据的集中趋势，解决生活中的实际问题．3．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯．渗透数学来源于实践，并服务于实践的观点．重点从统计图中分析数据的集中趋势．难点熟练地根据统计图分析数据的集中趋势，并能灵活运用所学的三个数据代表解决实际问题．一、复习导入师：通过前面几节课的学习，我们已经知道了平均数、中位数和众数，同学们能说一说它们的概念吗？学生回答，教师总结．一般地，对于n 个数x 1，x 2，…，x n ，我们把1n(x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数．在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．这样求出来的平均数叫做加权平均数．一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．师：今天这节课我们接着来学习如何根据统计图分析数据的集中趋势．板书课题：从统计图分析数据的集中趋势．二、探究新知师：面包是我们在日常生活中常见到的一种食品，为了检查面包的质量是否达标，随机抽取了同种规格的面包10个，10个面包的质量如图所示：师：从这幅图中，你能看出这10个面包质量的众数是多少吗？生：从图中可以看出10个面包的质量分别为95 g ，97 g ，98 g ，99 g ，100 g ，100 g ，100 g ，101 g ，103 g ，105 g ．所以这10个面包质量的众数是100 g .师：你能估计出一个这样的面包的平均质量吗？生：能，平均质量为：110×(95＋97＋98＋99＋3×100＋101＋103＋105)＝99.8(g )．师：很好！下面我们再看一道题．课件出示教材第145页“议一议”．师：同学们能回答这些问题吗？生1：从图中很容易就可以看出三支球队队员年龄的众数，甲队队员年龄的众数是20岁，乙队队员年龄的众数是19岁，丙队队员年龄的众数是21岁．生2：甲队队员年龄的中位数是20岁，乙队队员年龄的中位数是19岁，丙队队员年龄的中位数是21岁．生3：通过观察统计图，可以估计出丙队队员的平均年龄大，其次是甲队，乙队队员的平均年龄最小．生4：甲队队员的平均年龄为：112×(18＋19×3＋20×4＋21×3＋22)＝20.25(岁)；乙队队员的平均年龄为：112×(18×3＋19×5＋20×2＋21＋22)≈19.33(岁)；丙队队员的平均年龄为：112×(18＋19×2＋20＋21×5＋22×3)≈20.58(岁)．三、举例分析1．课件出示教材第145～146页“做一做”、“想一想”．学生先独立完成，再小组讨论．2．课件出示教材第146页例题．解：(1)根据扇形统计图，35℃占的比例最大，因此日平均气温的众数是35℃；(2)这10天日最高气温的平均值是：32×10%＋33×20%＋34×20%＋35×30%＋36×20%＝34.3(℃)．四、巩固练习教材第146页“随堂练习”．五、小结师：在本节课的学习中，你通过从统计图分析数据的平均数、中位数和众数的学习有什么认识，有什么经验？六、课外作业教材第147～148页习题6.4第1～5题．本节课通过想一想、议一议、做一做等探究活动，向学生提供充分从事数学活动的机会，使他们在自主探索和合作交流的过程中进一步理解平均数、中位数、众数的实际含义；学会从条形统计图、扇形统计图等统计图中获取信息，分析相关数据的平均数、中位数、众数；从而增强统计意识和数据处理能力，培养探索精神和创新意识．教师一定要鼓励学生积极探索，体验数学活动的趣味与应用价值，让学生在相互交流中，互相启发，共同进步.4数据的离散程度第1课时极差、方差和标准差1．了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值．2．经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养学生的数学应用能力．3．通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系．重点理解方差和标准差的概念．难点应用方差和标准差分析数据，并作出决策．一、情境导入课件出示教材第149页图6－5及其题目．在学生讨论交流的基础上，教师结合实例给出极差的概念：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．它是刻画数据离散程度的一个统计量． 注意事项：当一组数据的平均数与中位数相近时，学生在原有的知识与遇到问题情境产生知识碰撞时，才能较好地理解概念．二、探究新知课件出示教材第150页“做一做”．学生独立完成，教师点评．引出方差和标准差的概念．数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画．方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即：s 2＝1n[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋...＋(x n －x)2]． 注：x 是这一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数，s 2是方差，而标准差就是方差的算术平方根．一般说来，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．说明：标准差的单位与已知数据的单位相同，使用时应当标明单位；方差的单位是已知单位的平方，使用时可以不标明单位．三、举例分析1．用计算器求下列一组数据的标准差：98 99 101 102 100 96 104 99 101 100请你使用计算器探索求一组数据的标准差的具体操作步骤．具体操作步骤是(以CZ 1206为例)：(1)进入统计计算状态，按2ndf STAT ； (2)输入数据然后按DATA ，显示的结果是输入数据的累计个数； (3)按σ 即可直接得出结果．2．分别计算从甲、丙两厂抽取的20只鸡腿质量的方差．根据计算结果，你认为哪家的产品更符合要求？通过用计算器能计算出甲、丙两厂抽取的20只鸡腿的方差，得出方差较小的甲厂的产品更符合要求．四、练习巩固教材第151页“随堂练习”．学生在正确计算出两队的方差后，可判断出方差较小的仪仗队更为整齐．五、小结本课主要学习了用方差与标准差表示出一组数据与其平均值的离散程度，即稳定性．方差越小，稳定性越好．注意：用先平均，再求差，然后平方，最后再平均得到方差的结果．六、课外作业教材第151～152页习题6.5第1，2，3题．方差与标准差都是用来衡量一个样本波动大小的统计量，对一组数据的变化情况起着至关重要的作用．因此，在教学中，对于如何引入这两个基本概念可采用灵活多变的方法，切忌将这些概念与公式直接教给学生．要让学生在体会仅有平均水平还难以准确地刻画一组数据时，使学生的现有知识与现实矛盾产生碰撞而产生一种急于解决问题的心情，从而探索出这两个概念，使学生在解决实际问题的过程中认识到“波动状况”的意义和影响，形成一定的统计意识和解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值．第2课时数据的离散程度的应用1．进一步了解极差、方差、标准差的求法；会用极差、方差、标准差对实际问题作出判断．2．经历对统计图中数据的读取与处理，发展学生初步的统计意识和数据处理能力．根据极差、方差、标准差的大小对实际问题作出解释，培养学生解决问题的能力．3．通过解决现实情境中的问题，提高学生数学统计的能力，用数学的眼光看世界．通过小组活动，培养学生的合作意识和交流能力．重点进一步了解极差、方差、标准差，会对实际问题作出判断．难点根据极差、方差、标准差的大小对实际问题作出解释，发展解决问题的能力．一、复习导入1．什么是极差、方差、标准差？方差的计算公式是什么？一组数据的方差与这组数据的波动有怎样的关系？2．计算下列两组数据的方差与标准差：(1)1，2，3，4，5；(2)103，102，98，101，99.二、探究新知课件出示教材第152页图6－7，提出问题：(1)不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点．(2)这一天A，B两地的平均气温分别是多少？(3)A地这一天气温的极差、方差分别是多少？B地呢？通过两地气温的变化的例子，培养学生从统计图中读取信息、分析数据的能力，更准确地理解方差及其在现实生活中的应用．三、举例分析师：我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好呢？我们通过实例来探讨．1．课件出示教材第153页“议一议”．注意事项：学生对两名运动员特点的回答呈多样性，如甲较稳定、乙有潜力等，对于第(4)题的回答则有不同的意见，经大家分析后，再统一认识．2．课件出示教材第153页“做一做”．注意事项：本次实验的安静环境和吵闹环境可以在教室里营造，让学生亲自经历这两种环境下的统计过程从而达到认识是很重要的．四、练习巩固1．教材第153页“随堂练习”．2．某校从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全市中学生田径百米比赛(100米记录为12.2秒，通常情况下成绩为12.5秒可获冠军)．该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：为什么？注意事项：在正确计算出两位选手的方差后，比较了两位选手的特点，由学生得出正确的结论，提高认识．五、小结师：在本节课的学习中，你对方差的大小有什么新的认识？(学生交流，教师点拨，达成共识)新认识：方差越小表示这组数据越稳定，但不是方差越小就表示这组数据越好，而是对具体的情况进行具体分析才能得出正确的结论．六、课外作业1．阅读教材第154页“读一读”，并利用计算机上Excel软件求平均数、中位数和众数．2．教材第155～156页习题6.6第1～4题．从传统的观念看来，方差(标准差)是越小越好，但在现实生活中往往会出现不一定是方差(标准差)越小越好的情况，在某一时段的测试中，有的会出现尽管方差很大，但数据会出现稳步上升(如某学生的考试成绩)或逐步下降(如某运动员的百米赛跑的成绩)的情况，此时，我们不能简单地将方差小的数据就认为数据好，只能认为它是稳定的．对于学生在评判某一组数据时，会有不同的看法，教师要以鼓励为主，注重定性的评价方法，及时记录学生的独特想法，然后再分析其中存在的误区，不要简单地进行肯定或否定．让学生亲自经历统计过程，通过独立思考、合作探究从而达到新认识是很重要的．。