专题四 三角函数与复数【考点聚焦】考点1：函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理；【自我检测】1． 同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿. 2． 诱导公式是指α的三角函数与－α，180ºα±,90ºα±,270ºα±,360º－α，k 360º+α(k ∈Z)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限.3． 两角和与差的三角函数：sin(α±β)=_______________________;cos (α±β)=________________________;tan (α±β)=_________________________. 4． 二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________ tan 2α=_____________.5． 半角公式：sin 2α=_______，cos 2α=_______,tan 2α=________=________=______.6． 万能公式sin α=_____________,cos α=_____________,tan α=_____________. 7． 三角函数的图象与性质：问题1：三角函数的图象问题关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式. 例1．（05天津理）要得到y x =的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度思路点拨：将)42sin(2π+=x y 化为)42cos(2π-=x y ，再进行变换.解答：变换1：先将)42c o s (2π-=x y 的图象向左平移8π个单位，得到x x y 2c o s 2]4)8(2c o s [2=-+=ππ的图象，再将x y 2cos 2=的图象的横坐标缩短到原来的2倍得到x y cos 2=.变换2：先将)42c o s (2π-=x y 的图象的横坐标缩短到原来的2倍，得到)4c o s (2π-=x y 的图象，再将)4c os(2π-=x y 的图象向左平移4π个单位，得到x y c os 2=.由上可得，应选C.演变1：函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10坐标代入即可.问题2：三角函数的求值问题关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号例2：已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin22sin322++-的值.思路分析：将sin x -cos x =51平方，求出sin x cos x 的值，进而求出（sin x -cos x ）2，然后由角的范围确定sin x -cos x 的符号. 解法一：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）x xx xx xxx x xxx sin cos cos sin 1sin 2sin2cot tan 2cos2cos2sin2sin3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x 解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin2sin322++-x xx xx xsin cos cos sin 1sin 2sin 22++-=125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等①②基本知识，以及推理和运算能力. 演变1：已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求.点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解. 例3：设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像.思路点拨：正弦y =sin x 的图象的对称轴为直线)(2Z k k x ∈+=ππ，其对称轴与x 轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x 值. 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<-（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得 .,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 演变3：已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.问题4：“拆项”与“添项”的问题“拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例4：（1）求8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++的值； （2）已知：41)2tan(,52)tan(=-=+πββα，求：)4tan(απ+的值.思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7º、15º、8º，发现它们之间的关系是15º＝7º＋8º，故可将7º拆成15º－8º；同理在第（2）题中απ+4可以拆成两角差，即)4()(πββα--+.解：（1）8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++＝8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(+-+-＝15cos 8cos 15sin 8cos＝tan15º=30sin 30cos 1-=32-(2) ∵απ+4=)4()(πββα--+∴tan(απ+4)=tan[)4()(πββα--+]＝)4tan()tan(1)4tan()tan(πββαπββα-++--+＝415214152⨯+-＝223点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.演变4：求20cos 20sin 10cos 2-的值.点拨与提示：10º＝30º－20º.点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解. 专题小结1．三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等．对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．2．三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点．最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断．3．解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式．要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能 【临阵磨枪】 一、选择题1．已知f (cos x )=cos3x ，则f (sin30º)的值为（ ）A 0B 1C －1 D232．（2006年辽宁卷）A B C 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q,则角C 的大小为 (A)6π(B)3π(C)2π(D)23π3．（2006年安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-4．把函数)3sin 3(cos 22x x y -=的图象适当变动，就可得到y =－sin3x 的图象，这种变动可以是（ ）A 沿x 轴向右平移4πB 沿x 轴向左平移4πC 沿x 轴向右平移12πD 沿x 轴向左平移12π5．已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别是A ，B ，O 为坐标原点，当 7．函数y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)的最大值为（ ） A211 B 213 C 7 D 88．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6π B ．4πC ．3πD ．2π9．在△ABC 中，若ba b a B A +-=-2tan ，其中a,b 分别是∠A ，∠B 的对边，则△ABC是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰或直角三角形 10．函数y =23cos32sin 212+-=x x y 的最小正周期为（ ） A 2π B π C 2πD4π二、填空题11 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=______12 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________14．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin （nx ）在[0，nπ]上的面积为n2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .三、解答题15 不查表求值：.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒16 （2006年安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=-（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形A B C ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅= .（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan B .19 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1．C 提示：1180cos )60(cos )30(sin -=︒=︒=︒f f2 B 提示：222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B.3．C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=.4．D 提示：)]12(3sin[)43sin(ππ--=--=x x y 5．B 提示∠AOB ＝60º，｜z 2|=2|z 1|=4，3260sin ||||2121=︒⋅=∆z z S AOB6．B 提示：)]23sin()23[cos(2sin 2πθπθθ-+--=i z ，∵02sin ,2223<-<<θπθπ，).3(21arg ,2230πθππθ-=∴<-<Z7．C 提示：y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)＝3sin(x +20º)+5sin[(x +20º)＋60º] ＝7)20sin(7)20cos(235)20sin(211≤+︒+=︒++︒+ϕx x x 8．D 提示：θθθθθθc os sin 2121)sin 1)(cos 1(21cos 21sin 211-=-----=∆OAB S11sin 224θ=-， 当2θπ=即2πθ=时，面积最大.9．D 提示：由正弦定理得：2cos2sin22cos 2sin 2sin sin sin sin 2tanB A B A B A B A Ba B A ba b a B A -++-=+-=+-=-＝2cot2tanB A B A +-，∴02tan =-B A 或12cot =+B A ∴02=-B A 或22π=+B A∴A ＝B 或A ＋B ＝90º 10．D 提示：)22sin(23232cos 232sin 21π-=+--=x x x y ，则π=T11．247 提示 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯-126556 提示 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π3 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=+=⨯+-⨯-=+⋅-++⋅--=++--=-++-=+∴-=+∴=+∈+∴∈=-∴βαβππαβππαβππαπβππαβαβπβπππβππβπα即 13．1-32i 提示：设z =a +b i,由(3+2i)(a +b i)=3(a +b i)+3+2i,得3a -2b =3a +3,2a +3b =3b +2,∴a =1,b =32-.14．π+32,34 提示：由题意得：，，x y 34232]320[3sin =⨯=上的面积为在π 上的图象在]343[1)3sin(πππ，x y +-=为一个半周期结合图象分析其面积为π+32.15 答案 216．解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求.（Ⅱ）225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==6-17．解：原方程化简为i i z z z-=++1)(2,设z =x +y i(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2x i=1－i ，∴ x 2+y 2=1且2x =－1,解得x =－21且y =±23, ∴原方程的解是z =-21±23i .18． 解：（Ⅰ）∵1m n ⋅=∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=12sin cos 122A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-=∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--=-811+=19 解 设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t=32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤tx =32-t2m ax 0.5m in 0.50.50.514410248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M x t t tt t M ty M M y t x ∴===≤=+++====>∴======-当且仅当即在时是减函数时此时【挑战自我】设a,b ,c 为△ABC 的三边，a ≤b ≤c ，R 是△ABC 的外接圆半径，令f =a+b －2R-8R 2sin2sin2sinC B A ，试用C 的大小来判定f 的符号.解：f =2R （sinA+sinB －1－42sin2sin2sin C B A ）＝2R[2sin )2cos2(cos212cos2sin 2C AB A B AB AB --++--+]＝4R 2sin 2cos 42)2sin 2(sin 2cos C C R R C A B A B -+--+-π＝4R 2sin 42)2sin2(sin 2cos 2C R R CCA B +----π＝2R )2sin2cos2cos2)(2sin2(cosC C A B C C ----由a ≤b ≤c ，得A ≤B ≤C ，所以0＜B －A ＜B ＋A ，因此2cos 2cosC A B >-，2sin 2cos2cosC A B A B =+>-，所以2sin 2cos 2cos2C C A B +>-故当f >0时，2sin 2cos C C >，则0＜C ＜2π当f ＝0时，2sin2cos C C =，则C ＝2π当f ＜0时，2sin2cosC C <，则C ＞2π【答案及点拨】演变1：由图得2,84T T =∴=,由T=2πω,得4πω=,在y =sin(4x πϕ+)中令x =1,y =1,得242k ππϕπ+=+,24k πϕπ=+,得4πϕ=,选(C)演变2：（解法一）由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α=，即57cos sin =α-α ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sincos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin212cos 257解得53sin ,259sin2±=α=α即由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且，故α在第二象限，于是53sin =α.从而5457sin cos -=-α=α，以下同解法一.演变3：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(πππ--++=⋅=x x x x b a x f21t a n t a n 122)222221tan 1tan 222sincos2cos1222x x x x x x x x x x +-=++⋅-+=+-x x cos sin +==)4sin(2π+x .所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为,2π]4,0[)(π在x f 上单调增加，[,]42ππ上单调减少.演变4：∵10º＝30º－20º，∴原式＝︒︒-︒︒+︒︒=︒︒-︒-︒20cos 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 220cos 20sin )2030cos(2＝2cos30º=3.演变5：原方程可化为022)5()2(2=-++-+i x i x i△＝[]i i i i i i 188241024)22)(2(4)5(2=+-+=-+-+-.而18i 的平方根为)1(3i +±，所以方程的根为)2(2)1(352,1i i i x ++±+=，∴i x x 5351,221-==.演变6：提示：∵｜z 1+z 2｜=|z 1－z 2|（y 1y 20≠），∴|1||1|2121-=+z z z z .即21z z 在复平面内对应的点到（－1,0）、（1,0）的距离相等，∴21z z 对应的点在虚轴上，即21z z 为纯虚数.演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案。