•
1 通常估计 的值时，可参考如下： ^ n t
it 1 i t n
i
i 为利用资产的历史价格数据所求得的收益率。
•
估计 的方法：
t
1）.移动平均法：
^
t
n
1
1
t 1
(i
itn

^
t
)
2）.指数加权法：
^
t 1
^
t (1 ) ti1(i t )2
盘考虑。 随后，威瑟斯通要求每天在16：15分收到关于银行整体交易组合在未来24小时所面临的
风险，而且篇幅不得超过1页纸！ 下属开始认为这是不可能的，但在马科维茨交易组合理论基础上，建立了风险价值报告。
一、 VaR基本知识
什么是VaR－－风险价值(Value-at-Risk)，或在险价值、风险价值度：是指在
2.置信水平在一定程度上反映了金融机构对风险的不同偏好。置信水平越大则意味着对 风险厌恶程度越高，希望得到把握性较大的预测结果。
3.风险因素x，即风险因子，在计算过程中，其核心是通过风险映射将某项资产的风险分 解为一个或若干个影响变化的基本市场风险因子，用这些风险因子的变化来描述资 产组合的价格变化。

• 即组合价值低于W*的概率为1－p，设投资组合的收益率R服从正态分布， 为标准
正态分布相应的分位数，则：
W*
R*

1 p f (W )dW


fr (r)dr
( )d

•
由正态分布知识知： 即 R * ，可得R*
P(R的缺点： ① 生成的数据序列是伪随机数，可能导致错误结果；随机 数中存在群聚效应而浪费了大量的观测值，降低了模拟效率； ②依赖于特定的随机 过程和所选择的历史数据； ③计算量大、计算时间长，比解析方法和历史模拟法更 复杂； ④具有模型风险，一些模型（如几何布朗假设）不要限制市场因子的变化过 程是无套利的。
• 计算步骤：
1）.建立价格映射，即识别出基础市场因子，收集市场因子适当时期的历史数据（典型的 是3到5年的日数据），并用市场因子表示出证券组合中各个金融工具的盯市价值。
2）.根据市场因子过去N+1个时期的价格时间序列，计算市场因子过去N个时期价格水平 的实际变化。假定未来的价格变化与过去完全相似。

R* )
1
p

• 将R*值带入上式VaR，可计算出
VaR E(W ) W* W ( ) W W
注：这与前面的单项资产所不同的 ，我们还不能确切地知道该组合的标 准差 ，但我 们可以通过对各单项资产收益率方差－协方差矩阵进行一定的计算求得组合的方差， 这也是这种方法叫方差－协方差的原因。
为 W * W (1 R*)，其中 R*为相应的最低收益率（一般为负值），则：
VaR E(W ) W* W (R * )
•
VaR也可由投资组合值的概率分布推导而得，即
p

f (W )dW
W*
•
其中，f (W ) 是资产价值分布，该式等价于：
W*
1 p f (W )dW
用W(t)表示t时刻资产价值，假设资产的收益率R ~ N(, 2 ) 相对损失为L(t 1) W(t)(1 ) W(t 1) W(t)( R)
相对VaR满足：P(L(t 1) VaR) P(W (t)( R) VaR)
这样，我们只要知道分布的参数特征，即均值和方差就可以求解VaR的值 了。
N
N
N
N
NN

2 p

wi2
2 i

wi w j ij
wi2
2 i

2
wi w j ij
i 1
i1 j 1, j i
i 1
i1 ji
• 投资组合的VaR为：
VaR pW
• 当资产组合中仅有两项资产时，投资组合的方差为：

2 p
投资组合风险分析（投资组合VaR）
• 投资组合VaR为： P(L(t) VaR) 1 p
• 1.方差－协方差法(基于资产收益率正态分布的假设下发展起来的）
•
设投资组合的初始值为W，持有期末的收益率为R，R的数学期望和标准差分别为
和 ，在给定的置信度 p 下，期末投资组合能够接受的最低值
正常的市场条件和一定的置信水平 （通常是95％或99％）下，某一金融资产
或证券组合在未来特定的一段时间t内所面临的最大可能损失。
例如，某一天某交易在95％置信水平下，最大损失40万美元。这里的40万就 是该交易在当天的VaR
例：假设一个基金经理希望在接下来的10天时间内，以95％概率保证其所管理的基金价 值损失不超过1000，000美元。可以将其写为：
VaR询问的问题是：我们有 的概率（或信心）在接下来的T个交易日中损失程度不会
V
超过
图形略
• 从VaR的概念中可以发现， VaR由三个基本要素决定：持有期 t ，置信水平 ，
风险因素x。
1.持有期 t，即确定计算在哪一段时间内的持有资产的最大损失值，可以定义为一天、
一周或一个月等。持有期的选择应根据持有资产的特点来定。流动性好的金融产品， 注重其短期内的VaR值，持有期定义为一天。另外，场外交易的衍生工具应以每天 为周期计算VaR。
三、 VaR求解方法
• 通常运用正态求解法、历史模拟法、蒙特卡罗模拟法
• 1.正态求解法： （是一种参数方法）
一种传统的假设是认为资产收益率服从正态分布，从而资产的损失函数也 具有正态性质。资产损失的正态化假设具有一定的合理性，其优点在于 能大大化简VaR的计算过程。
VaR是一种预期损失的测度，相对VaR是资产价格相对于预期未来资产价 格的损失，即 VT E(VT ),绝对VaR是指资产价格相对于0的损失，即VT 。
二、 VaR模型 • 设t时刻资产的市场价格V(t)由风险因子向量 g t确定 V (t) v(gt )
其中v(.)是价格函数，假定在t时刻，若投资者持有资产并保持资产的结构和数量不变，
则到了t+1时刻，持有资产所发生的损失为： L(t) v(gt ) v(gt1 ) 在t时刻，假定损失变量L(t)所服从的概率密度为 ft (x)
投资组合标准差的计算
w • 若以N表示资产数量， Ri,t1 表示在t+1时刻资产i的收益率， i 为权重（即资产i占投资 组合总市值的比率）。则投资组合的收益率为： N
Ri,t1 wi Ri,t1
• 投资组合的预期收益率为：
i1
N
E(Rp ) p wi i
i1
• 组合收益率方差为：
i t n
2.历史模拟法
• 正态分布法求解VaR简洁易懂，使用者只需要得到正态参数，即可求解资产的风险价 值。但金融市场的数据证明，正态分布假设并不完全正确，事实上经常能观察到收益
分布的尖峰、厚尾、偏斜等非正态特征。这样用正态分布估计出的VaR会有较大偏差。
• 历史模拟法求VaR是一种简单的基于经验分布的方法，它不需要对资产收益的分布做 出假设。它假定资产组合未来收益变化与过去是一致的，因此利用收益的历史分布来 代替收益的预期分布，以此来求得资产的VaR值。
Prob(V 1000,000) 5%
V
其中 为投资组合价值的变动，用符号表示：
Pr ob(V VaR) 1
用统计学公式表示为：P(w(t, x) VaR) 1
其中x为风险因素（如利率、汇率等）， 为置信水平，t 为持有期，
w(t, x) w(t, x) w(t是0 ,t时x)刻的为预损测益值函。数，w(t0 , x) 是资产的初始价值，w(t, x)
3）利用证券定价公式，根据模拟出的市场因子的未来N种可能价格水平，求出证券组合N 种未来盯市价值，并与对应当前市场因子的证券组合价值比较，得到证券组合未来的 N种潜在收益，即损益分布
4）根据损益分布，通过分位数求出给定置信水平下的VaR.
• 历史模拟法的优点：①概念直观，计算简单、实施方便，容易被风险管理当局接受。 ②该方法是一种非参数法，不需要假定市场因子变化的统计分布，可以有效处理非对 称和厚尾问题。③无需估计波动性、相关性等各种参数，也就没有参数估计的风险； 此外，它不需要市场动态模型，因此避免了模型风险。④是全值估计方法，可以较好 地处理非线性、市场大幅波动的情况，捕捉各种风险。
• 蒙特卡罗模拟法（随机模拟法）的基本思想：为了求解科学、工程技术和经济金融等 方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通 过对模型或过程的观察计算所求参数的统计特征，最后给出所求问题的近似值，解的 精度可用估计值的标准差表示。
• 优点： ① 产生的大量情景，比历史模拟法更精确和可靠；②是一种全值估计方法， 可以处理非线性、大幅波动及厚尾问题； ③可模拟回报的不同行为（如白噪声、自 回归和双线性等）和不同分布。
则在给定置信水平下（概率），资产的风险价值VaR由下式定义：VaR
ft (x)dx
上式意味着： P(L(t) VaR)

此时，VaR是概率置信水平为 且持有期为1个时间单位的最大损失。
• 注：VaR刻画的是时间t时刻资产在一个时间单位后以置信概率估计的损失数额，不 同持有期和置信水平对应不同的VaR值。选择不同的持有期将会产生不同的资产损失 分布，不同的置信水平将会在此损失分布基础上选择不同的分位数，从而产生不同的 VaR值。
金融风险度量的VaR方法
本章主要内容： 一、VaR基本知识 二、 VaR模型 三、 VaR求解方法 四、 VaR方法同其他方法的比较
VaR的历史由来