2016年陕西省高三教学质量检测试题（一）
数学（理）
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1.设集合)}1lg(|{},1|1||{2
-==≤-=x y x N x x M ，则=N C M R I A.[1,2] B.[0,1]
C.(-1,0)
D.(0,2)
2.复数i
i
-12(i 是虚数单位)的虚部是 A.-1
B.2
C.-2
D.1
3.设α为锐角，若5
4)6cos(
=
+π
α，则)32sin(π
α+的值为
A.2512
B.2524
C.2524-
D.25
12- 4.在区间[0,1]上随机取两个数x ,y ，记P 为事件“3
2
≤+y x ”的概率，P=
A.32
B.21
C.94
D.9
2 5.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3432=++a a a ，则5S = A.5 B.7 C.9 D.11
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.π3
264-
B.π264-
C.π464-
D.π864-
7.执行右面的程序框图，如果输入的N =3，那么输出的S = A.1 B.23
C.
3
5 D.2
5 8.已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足c ⊥(a +b )，且b //(a -c )，则c =
A.)37,97(
B.)37,97(-
C.)3
7,97(-
D.)3
7,97(--
9.设函数⎪⎩
⎪⎨⎧->-+-≤-=1
,72
1
,)(31
x x x x x x f 则=-)]8([f f A.4
B.-4
C.2
D.-2
10.若圆)0(1)2()3(:2
2
>=-+-a y x C 与直线x y 4
3
=相交于P 、Q 两点，则||PQ = A.
65
2
B.
65
3
C.
65
4
D.6
11.设m >1，在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数z =x +my 的最大值小于2，则m 的取值范围为
A.)21,1(+
B.),21(+∞+
C.)3,1(
D.),3(+∞
12.对于函数x e x f ax
ln )(-=，（a 是实常数），下列结论正确的一个是 A.1=a 时，)(x f 有极大值，且极大值点)1,2
1
(0∈x B.2=a 时，)(x f 有极小值，且极小值点)4
1,0(0∈x C.2
1
=
a 时，)(x f 有极小值，且极小值点)2,1(0∈x D.0<a 时，)(x f 有极大值，且极大值点)0,(0-∞∈x
第II 卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若n
x x )1
3(32
-的展开式中各项系数和为128，则展开式中31
x 的系数是 . 14.已知数列1、a 、b 成等差数列，而1、b 、a 成等比数列.若b a ≠，则=-)(log 7b a a .
15.已知A ,B 是球O 的球面上两点，︒=∠90AOB ，C 为该球面上的动点.若三棱柱O-ABC 体积的最大值为3，则
球O 的体积为 .
16.已知曲线x x y ln +=在点（1,1）处的切线为l ，若l 与曲线1)2(2
+++=x a ax y 相切，则a = .
三、解答题（共5小题，每小题12分，共60分） 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且a =3,b =4,A B +=
2
π
.
（1）求tanB 的值； （2）求c 的值.
18.（本小题满分12分）
某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)等七组，其频率分布直方图如下所示.已知[35,40)这组的参加者是8人. （1）求N 和[30,35)这组的参加者人数1N ；
（2）已知[30,35)和[35,40)这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；
（3）组织者从[45,55)这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x ，求x 的分布列和均值. 19.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PCD ∆为等边三角形，AB BC 2=,点M 为BC 中点，平面PCD ⊥
平面ABCD .
（1）求证：BC PD ⊥；
（2）求二面角P-AM-D 的大小.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的一个焦点与抛物线x y 82
=的焦点重合，点)2,2(在C 上.
（1）求C 的方程；
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段A B 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 21.（本小题满分12分）
已知函数n mx x g e x f x
+==)(,)(.
（1）设)()()(x g x f x h -=.当n=0时，若函数)(x h 在),1(+∞-上没有零点，求m 的取值范围；
（2）设函数)
()()(x g nx
x f m x r +=
，且n =4m （m >0），求证：0≥x 时，1)(≥x r . 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D . （1）证明：DB =DC ;
（2）设圆的半径为1，3=BC ,延长CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线)0(sin cos :1≠⎩⎨
⎧==t t t y t x C 为参数，α
α
，其中πα<≤0，在以O 为极点，x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中，曲线θρθρcos 32:,sin 2:32==C C . （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求|AB |的最大值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设d c b a ,,,均为正数，且b d c a -=-，证明： （1）若cd ab >；则d c b a +>+；
（2）d c b a +>+是||||d c b a -<-的充要条件.。