2001年高三教学质量检测试题（一）
数学
本试卷分第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合M={(x, y)| x 2+y 2=1}, N={(x, y) | x=
2
3
, y ∈R}，则M ∩N 等于（ ） A { (0, 0)} B {0} C {∅} D ∅
2．函数x
y 2log -=的反函数的图象经过点(2, m)，则m 的值为（ ） A
4
1
B 4
C 1
D －1 3．长方体的长、宽、高的和为12，则长方体的体积的最大值是（ ） A 16 B 54 C 64 D 216 4．复数Z=(a+i)·i 的幅角主值为
π3
2
，则实数a 的值为（ ） A
3 B 3- C
3
3
D 33-
5．若)2,4
(ππ
∈θ，则使θ<θ<θtg cos sin 成立的θ取值范围是（ ） A )2,4(ππ B
ππ,43 C )23,45(ππ D )2,4
7
(ππ 6．在市场调控下，已知某商品的零售价2000年比1999年降价25%，厂家想通过提高该产品的高科技含量，
推出该产品的换代产品，欲控制2001年比1999年只降低10%，则2001年计划比2000年应涨价
A 10%
B 12%
C 20%
D 25%
7．焦点在直线01243=--y x 上的抛物线的标准方程是（ ） A y 2=16x, x 2=12y B y 2=16x, x 2=－12y C y 2=12x, x 2=－16y D y 2=－12x, x 2=16y
8．（理科做）设是圆θ=ρcos 6上一点，它的极径等于它到该圆的圆心的距离，则点M 的极坐标是（ ） A )32,3(π±
B )3,3(π±
C )32,6(π±
D )3
,6(π
± （文科做）如果直线ax+2y+2=0与直线3x －y －2=0互相垂直，那么系数a 等于（ ） A
32 B 32- C 23 D 2
3- 9．如图，在三棱柱中ABC —A 1B 1C 1中，A 1A ⊥AB ，C 1B ⊥AB ，AC=5，AB=3，则A 1C 1与AB 所成角的余弦
值是（ ）
A
53 B 54 C 43 D 5
1 10．已知各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ≠1，且a 1，a 2，a 4成等差数列，则
4
23
1a a a a ++的值为（ ）
A
21
5+ B 215- C 2
1
D 2 11．轴截面是正三角形的圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为（ ） A
34 B 43 C 32 D 2
3
12．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右顶点为A ，左焦点为F ，B 点的坐标为（0，b ），若AB ⊥BF ，
则该双曲线的离心率为（ ）
A 2 B
2 C
21
5+ D 2
1
3+ 第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．圆心为（－2，3），一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程是 。
14．设数列{a n }的前n 项和为S n =2n －1，则=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++∞
→)1
11(
lim 21n
n a a a 15．一个圆台的高是上、下底面半径的等比中项，高为2，母线长是13，这个圆台的体积是 。
(S S S S h V +'+=
(3
1
台体) 16．有四种不同颜色，用这些颜色在如图甲、乙、丙、丁四个区域分别着色，要求相邻两区域的颜色不同，则不同的着色方法有 种（数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知满足)(32+
∈+=⋅+R c ci Z i Z Z 的复数有且只有一个。
（1）求c 的值；
（2）求复数(1－2i)·Z 的三角形式。
18．（本小题满分12分） 函数0)2
3
(),10(log )()(22
1
>≠>=-f a a x f x x a
有且
（1）求a 的取值范围；
（2）求f(x)≤0时，所得不等式的解集。
19．（本小题满分12分）
已知函数m x f 32)(=n m x m x x ++-2
sin 2cos sin 的定义域为]2
,0[π
，值域为[－3, 1]，求常数m, n 的值。
20．（本小题满分12分）
如图，△ABC 是边长为a 的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=a ，M, N 分别是PB, PC 的中点，设平面AMN ∩平面ABC=l
（1）求证：l ∥BC
（2）求二面角M —l —B 的余弦值； （3）求点M 到l 的距离。
21．（本小题满分12分）
我省某市自来水厂的蓄水池中存有400吨水，水厂每小时如向蓄水池注入60吨水，同时蓄水池又向居民小区不间断地供水，t 小时向居民供水总量为120t 6吨（0≤t ≤24）。
（1）从供水开始到第几小时，蓄水池中的水量最少？最少水量有多少吨？
（2）若蓄水池中水量少于80吨，就会出现供水紧张现象，试问：在一共24小时内，有几小时出现供水紧张现象？
22．（本小题满分14分）
已知：如图△ABC 的周长为6，A （－1，0），B （1，0）
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）是否存在这样的点C ，使点C 到直线012=+-y x 的距离恰好是5，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，说明理由。
参考答案
一、选择题
1 D
2 A
3 C
4 A
5 C
6 C
7 B 8理B文A 9 A 10 A 11 D 12 C
说明：解答题的解法只给出一种参考答案，用其它方法做的可参照相关题的解答分步给分。