2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 参考公式：①柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． ②锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．2013-1-25 ③标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L ，其中x 为样本12,,,n x x x L 的平均数． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 A A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是 CA ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<R D ．2,11x x ∃∈+≥R3．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k = B A ．2 B ．8 C ．2- D ．8-4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为 C A ．9 B ．10C ．11D ．2325．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 D2 21 1 正视图侧视图俯视图第4题图A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛6．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为 CA ．3-B ．12C ．5D ．6 7．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b =I ,则a b += B A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是 A A ．(0,1) B ． (0,2) C ．15(,)22D ．(1,3)8．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a ∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-；函数1()(0)f x x x x =⊕>的最小值为A ．4B ．3 C． D ．18B 解析：根据条件③，对于任意的,,a b c 有()()()()2a b c c ab a c b c c ⊕⊕=⊕+⊕+⊕-，∴取0c =得()00()(0)(0)20a b ab a b ⊕⊕=⊕+⊕+⊕-⋅得①②得00a a a ⊕=⊕=对任意实数a 都成立，代入上式得：a b ab a b ⊕=++这就是运算⊕的定义,将其代入题目检验符合①②③，∴1111()113f x x x x x x x x x =⊕=⋅++=++≥=，当且仅当1x =时“=”成立，即函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为3.二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1(())4f f 的值等于 1- ．10．已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是___4±__． 11．函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最小正周期为 2π ，最大值是12．某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中，取得A 等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为____59__________. 13．观察下列不等式：1<+<+<；…则第5<(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos sin 1ρθθ=） ．15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的 中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ． 若3AD AE =，则:AF FC = 1:4 ．16.（本小题满分12分）已知函数)0,0)(4sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f 在16x π=时取得最大值2.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的解析式；（3）若,02πα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，164165f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.16．（本小题满分12分）解：（1）()f x 的最小正周期为242T ππ== （2分） （2）由()f x 的最大值是2知，2A =， （3分）第15题图F ABCD E Ml又()2sin 421616max f x f ππϕ⎛⎫⎛⎫==⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， （4分）∵0ϕπ<<，∴5444πππϕ<+<，∴42ππϕ+=，∴4πϕ= （5分）∴()2sin(4)4f x x π=+ （6分）（3）由（2）得1162sin 441641645f πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即3sin()25πα+=，∴3cos 5α=， （7分）∵,02πα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴4sin 5α===- （8分）∴4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭ （9分） 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭（10分）∴sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2472525=-+= （12分）20.（本小题满分14分）已知S n 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，)(2*1N n S na n n ∈=+.（1）求234,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）设数列{}n b 满足21111,2n n n kb b b b a +==+，求证：当n k ≤时有1n b <. 20．（本小题满分14分）解：（1）由111,2()n n a na S n N *+==∈得 2122a a == ， （1分）32123a S a a ==+=， （2分）由43123322()a S a a a ==++得44a = （3分） （2）当1>n 时，由12n n na S += ① ，得1(1)2n n n a S --= ② （4分）①－②得11(1)2()n n n n na n a S S +---=-，化简得1(1)n n na n a +=+，∴11n n a n a n++=（1>n ）. （5 分） ∴22=a ，3232a a =，……，11n n a na n -=- （6 分） 以上（1n -）个式子相乘得n n na n =-⨯⨯⨯=1232Λ（1>n ） （7 分） 又11=a ，∴()n a n n N *=∈ （8 分）（3）∵0>=n a n ，0211>=b ，n n k n b b a b +=+211， ∴{}n b 是单调递增数列，故要证：当n k ≤时，1n b <，只需证1k b <. （9分） （i ）当1k =时 ，1112b =<，显然成立； （10分） （ii ）当2k ≥时， ∵01>>+n n b b ，n n kn b b a b +=+211， ∴n n n n b b b kb +<++111，∴1111n n b b k +->-. （11分） ∴112232111111111111k k k k k k k b b b b b b b b b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 112k k k k -+>-+= （12分）∴11k kb k <<+. （13分） 综上，当n k ≤时有1n b <. （14分） 16．（本小题满分12分）已知函数)50)(3π6πsin(2)(≤≤+=x x x f ，点A 、B 分别是函数y f x =（）图像上的最高点和最低点． （1）求点A 、B 的坐标以及⋅的值；（2）设点A 、B 分别在角α、β的终边上，求)2tan(βα-的值． 解：（1）50≤≤x Θ， ππ7π3636x π∴≤+≤， …………………………………1分 ∴1ππsin()1263x -≤+≤． ……………………………………………………………2分 当πππ632x +=，即1=x 时，ππsin()163x +=，)(x f 取得最大值2；当ππ7π636x +=，即5=x 时，ππ1sin()632x +=-，)(x f 取得最小值1-． 因此，点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B -． ………………………………4分152(1)3OA OB ∴⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r． ……………………………………………………6分（2）Q 点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上，tan 2α∴=，51tan -=β， …………………………………………8分Θ212()55tan 21121()5β⨯-==---， ………………………………………………10分 ∴52()2912tan(2)5212()12αβ---==+⋅-． ………………………………………………12分 19．（本题满分14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 19．（本题满分14分）解析：（Ⅰ）由题意可得：22,06811,6k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩， -----------------2分 因为2x =时，3L =，所以322228k=⨯++-. -----------------4分 解得18k =. -----------------5分（Ⅱ）当06x <<时，18228L x x =++-，所以18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--≤（）．-----------------8分 当且仅当182(8)8x x-=-，即5x =时取得等号． -----------------10分 当6x ≥时，115L x =-≤． -----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6．所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分。