第二章 函数 三 指数函数与对数函数【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】（一）选择题（共15题）1.（安徽卷文7）设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a【答案】A【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。

【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b ax(ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是【答案】D【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1<ba <0,矛盾，对于C 、D 两图，0<|b a |<1,在C 图中两根之和-b a <-1，即ba >1矛盾，选D 。

3.（辽宁卷文10）设525bm ==，且112a b +=，则m =（A（B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】D解析：选A.211log 2log 5log 102,10,m m m m a b +=+==∴=又0,m m >∴=4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A. a<b<cB.b<c<aC. c<a<b D .c<b<a 【答案】C【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e ,而22log 3log 1e >>,所以a<b,c=125-=,而222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.5.（全国Ⅰ卷理10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞(D)[3,)+∞【答案】A【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a =+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a +又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a =+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).6.（全国Ⅰ卷文7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【答案】C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a +≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.7.（山东卷文3）函数()()2log 31x f x =+的值域为A.()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣ 【答案】A【解析】因为311x+>，所以()()22log 31log 10x f x =+>=，故选A 。

【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等基础知识。

8.（陕西卷文7）下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 [ ] （A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数 【答案】C 【解析】因为x yx y aa a +=所以f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）。

9.（上海卷理17）若0x 是方程131()2xx =的解，则0x属于区间 【答】（ ）(A)(23,1) (B)(12,23) (C)(13,12) (D)(0,13)解析：结合图形312131312121,3121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，∴0x 属于区间(13,12)10.（上海卷文17）若x 是方程式lg 2x x +=的解，则x 属于区间 [答]（）（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75）（D ）（1.75，2）解析：04147lg )47()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数11.（四川卷理3）552log 10log 0.25+=（A ）0 （B ）1 （C ） 2 （D ）4解析：2log510＋log50.25 ＝log5100＋log50.25 ＝log525 ＝2 答案：C12.（四川卷文2）函数y=log2x 的图象大致是高^考#资*源^网(A) (B) (C) (D)解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.答案：C13.（天津卷文6）设554a log4b logc log===25，（3），，则(A)a<c<b (B) b<c<a (C) a<b<c (D) b<a<c【答案】D【解析】因为55a log4log5=1,=<2255(log3)(log5)=1,b=<544c log log41=>=，所以c最大，排除A、B；又因为a、b(0,1)∈，所以a b>，故选D。

【命题意图】本题考查对数函数的单调性，属基础题。

14.（浙江卷文2）已知函数1()log(1),f x x=+若()1,fα=α=(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析：α+1=2，故α=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题15.（重庆卷文4）函数y=（A）[0,+∞）(B) [0,4] (C) [0,4) (D) (0,4)【答案】C【解析】[)40,0164160,4x x>∴≤-<.（二）填空题（共4题）1. （福建卷理15）已知定义域为(0)+∞，的函数()f x满足：（1）对任意(0)x∈+∞，，恒有(2)2()f x f x=成立；（2）当(12]x∈，时()2f x x=-。

给出结论如下：①对任意m Z∈，有(2)0mf=；②函数()f x的值域为[0)+∞，；③存在n Z∈，使得(21)9nf+=；④“函数()f x在区间()a b，上单调递减”的充要条件是“存在k Z∈，使得1()(22)k ka b+⊆，，”。

其中所有正确结论的序号是。

【答案】①②④【解析】○1)2(2)2(2)22()2(111====⋅=---ffff mmmm，正确；○2取]2,2(1+∈mmx，则]2,1(2∈m x ；m mx x f 22)2(-=，从而 xxf x f x f m m m -====+12)2(2)2(2)( ，其中， ,2,1,0=m ，从而),0[)(+∞∈x f ，正确；○3122)12(1--=++n m n f ，假设存在n 使9)12(=+nf ，即存在..,,21t s x x 102221=-x x ，又，x 2变化如下：2,4,8,16,32，……，显然不存在，所以该命题错误；○4根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是○1○2○4.【命题意图】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大。

2.（上海卷理8）对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是 解析：f(x)=log (3)a x +的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）3.（上海卷文9）函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是。

解析：考查反函数相关概念、性质 法一：函数3()log (3)f x x =+的反函数为33-=xy ，另x=0，有y=-2 法二：函数3()log (3)f x x =+图像与x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点为（0，-2）4.（浙江卷文16）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值。

解析：20；依题意238605002[500(1%)500(1%)]7000x x +++++≥，化简得2(%)3%0.64x x +≥ ，所以20x ≥。

【命题意图】本题主要考察了用一元二次不等式解决实际问题的能力，属中档题。