1, x 0 signx 1, x 0
0
xa
y k( x asignx) x a
3 滞环特性
滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是
在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3
所示。其数学表达式为：
y
b
y
k(
x asignx) bsignx
y0 y0
-a
0a
x
（优选）自动控制原理第七章 非线性系统
7.1 典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类
描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描 述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统 进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不 受系统阶次的限制。
分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡稳态，一 般不给出时域响应的确切信息。 7.2.1 描述函数的定义
1.描述函数的应用条件
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输
出为零，其静持性关系如图7-2所示。
y
其数学表达式为
k -a
0a
x
0,| x | a
y
k(x
a),
x
a
k( x a), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性
死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
（2）可能存在自激振荡
无外界周期信号输入时产生的具有固定振幅 和频率的稳定振荡。对于线性二阶系统，也会出
现等幅振荡，但不会是稳定的振荡（Why？）。
（3）频率响应
对于线性系统，输入是正弦函数时，其稳态 输出也是同频率的正弦函数，可以用频率特性来 描述；而非线性系统输出是非正弦周期函数。
可见，非线性系统要比线性系统复杂的多，会 存在多种运动状态。已无法用线性系统理论解释或 分析，必须应用非线性理论来研究。
（a）理想继电器特性 （b）死区继电器特性（c）滞环继电器特性
特殊情况：
y
(1)若a＝0，称这种特性为理想继电
b
器特性，如图7-5 (a)所示.
-a -ma
(2)若m=1，其静特性如图7-5(b)所示， 则称为死区继电器特性.
0 ma a
x
(3)若m＝-1，则称为滞环继电器特性，
-b
如图7-5(c)所示。
-b
图7-3 滞环特性
这类特性，当输入信号小于间隙a时，输出不变。当x>a 时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变 化时的输出值上，直到变化2a后，才再线性变化。
例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。
4 继电器特性
继电器非线性特性一般可用图7-4表示，不仅包含 死区，而且还具有滞环特性，其数学表达式为：
图7-4 继电器特性
实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。
上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还 有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一 些很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非 线性。
7.1.2 非线性系统的若干特征
非线性系统与线性系统最本质的区别为：由非 线性微分方程描述，不满足叠加原理，故在非线 性系统中将出现一些线性系统见不到的现象，两 者之间有着不同的运动规律。
具体表现在：
（1）稳定性的复杂性
对于线性系统，其稳定性仅与系统的结构和参数有关，与系
统的输入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。
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考虑非线性一阶系统：
x x2 x x( x 1)
x(t)
设t = 0时,系统的初始状态为x0
dx dt x( x 1)
x(t )
1
x0e t x0 x0et
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
（1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N和 一个线性部分G(s)串联的闭环结构，如图7-8所示。
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
1．饱和特性
饱和特性的静特性曲线如图7-1所示，其数学表达式 为：
y
M k
-a 0a
-M
M,x a
y
kx , |
x |
a
x
M , x a
图7-1 饱和特性
式中，a为线性区宽度；k为线性区斜率。饱和 特性的特点是：输入信号超过某一范围后，输出不 再随输入的变化而变化，而是保持在某一常值上。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节 器就具有饱和特性。
y b
-a -ma 0 ma a -b
图7-4 继电器特性
x
0 ma x a, x 0
y
bsi0gnx
a
x ma, x x a
0
b b
ma x a, x 0 a x ma, x 0
y
y
y
b
b
b
-a
0
x
0a x
-a 0 a
x
-b
-b
-b
(a)
(b)
(c)
图7-5 三种继电器特性
1
相应的时间响应随初始条件而变。 0
当x0 >1，t <lnx0/(x0 1) 时，随t增大， x(t) 递增；t = lnx0 /(x0 1) 时，x(t)为 无穷大。当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0>1 x0<1
ln
x0 t x0 1
因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关， 而且与系统的初始条件有直接的关系。
（3）计算机求解法：用计算机直接求解非线性微分方 程，对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的。
本章以系统分析为主，而且是以稳定性分析为核心 内容，着重介绍在工程上广泛应用的描述函数法。
※7.2 描述函数法
• 描述函数的定义
• 描述函数的求法 • 组合非线性特性的描述函数 • 用描述函数法分析非线性系统