24
25
【步骤5】在系统中加入滞环非线性环节，系统框图 如图所示：
26
结论： 随着滞环宽度 的增加，系统 振荡加剧，变 得越来越不稳 定。
27
分析： 对比以上各图，可分析出非线性环节对控制系统稳定 性的影响: 当系统中存在饱和非线性环节时，响应较 慢，但超调减小；死区环节对0附近小范围的输入信号 无影响，而当输入超过这个“不灵敏区”后，输出与输 入呈现出线性；滞环环节会引起系统的振荡，使系统 变得不稳定。
31
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过 程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分 析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
32
例7-2.设系统的微分方程为：
x
x+ x+ x =0
其相平面图如右图所示 图中的箭头表示系统的状 态沿相轨迹的移动方向。 由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一 条相轨迹），系统都趋向原点 （0,0）,说明原点是系统的平衡点，
39
2、非线性系统的奇点 设非线性系统的方程为：
x + f ( x, x ) = 0
(7-7)
只要 f ( x, x ) 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。 设：奇点为 ( xi , xi ) ， f ( x, x ) 线性化为 g ( x, x) 即：
∂f ∂f g ( x, x ) = ( x − xi ) + ( x − xi ) ∂x xi ∂x xi
⎧ 0 ⎪ y=⎨ ⎪k ( x − Δsignx ) ⎩
x ≤Δ x >Δ
(7-2)
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差（尤其是测 量元件）。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或 减少振荡性。 来源： （1）测量元件的不灵敏区; （2）弹簧的预张力; （3）执行机构的静摩擦.
y 斜率k
-△
0 △ x
17
程序如下： plot(tout1,out1,tout2,out2,tout3,out3,tout4,out4); gtext('0.05'); gtext('0.1'); gtext('0.2'); gtext('0.5')
18
19
结论： 当饱和非线性环节的输出范围较窄时，系统的阶跃响应 速度较慢，上升时间长；同时，超调量较小，振荡不明 显；随着输出范围的扩大，系统的响应速度加快，上升 时间大大减少，同时伴有显著的振荡。 这是因为饱和环节会对信号起到限幅作用；限制作用越 强，系统的输出越不容易超调，响应也会越慢。
图7-10 例7-3的相平面图
x (∞) → ∞
⇒不稳定 ⇒不稳定
1 0 -1
x(t) t
(3) x(0) <-1: x ( ∞ ) → −∞
x ( ∞ ) → −∞
图7-11 例7-3的响应曲线
相平面法的适用范围: (1) 因为相平面是二维的，∴只适用于一阶和二阶系统； (2) 除要求 f ( x, x ) 为解析函数外，别无其它条件
图7-2 死区特性
9
7.2.3 间隙（滞环）特性 其输入输出关系及数学表达式如下：
y 斜率k -h
⎧k ( x − h ) y > 0 ⎪ y = ⎨k ( x + h ) y < 0 ⎪常数 y=0 ⎩
(7-3)
0
h
x
图7-3 滞环特性
造成的影响： 使系统的输出信号相位滞后，甚至引起系统的 自激振荡。所以应尽量避免或减小。 来源：传动机构的间隙
第七章 非线性系统
第七章 非线性系统
主讲教师：李瑞 hitlirui@
1
7.1 7.2 7.3 7.4
非线性控制系统概述 常见非线性特性及其对系统运动的影响 相平面法 描述函数法
2
7.1
非线性控制系统概述
3
7.1.1 研究非线性系统的方法 实际的控制系统通常分成线性和非线性两大类, 从而在基础 理论及研究分析方法上，形成了两个截然不同的分支。 分析非线性系统的主要方法有： ⑴ 描述函数法; ⑵ 相平面法; ⑶ 李雅普诺夫法 这些方法都有一定的局限性，不能成为分析非线性系统的通 用方法。
10
7.2.4 继电特性 其输入输出关系及数学表达式如下：
y M
⎧M y=⎨ ⎩− M
x ≥ 0+ x≤0
−
(7-4)
0
x
-M
图7-4 继电特性
造成的影响: (1）改善系统性能，简化系统结构。 （2）可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态 误差增大。 来源：继电器是继电特性的典型元件。
其他继电特性还有：
4
7.1.2
非线性系统的特点
1.不能应用叠加原理 2. 系统的稳定性和输出响应不仅与系统的结构和参数有关 （与线性系统相同），还与系统的初始条件及输入信号的形式和 大小有关。 3.当输入量为正弦函数时，输出的稳态分量则往往是包含有 高次谐波分量的非正弦函数。而且还可能发生一些线性系统不会 遇到的现象： ① 跳跃谐振：输入的 ω 连续变化，输出的幅值和相位在 某点发生突变。 ② 频率捕捉：在一定的条件下，自振荡频率可能会被外加 信号的频率所改变。
在系统中分别引入不同的非线性环节（饱和、死区和滞 环），观察系统的阶跃响应，并分析、比较不同的非线性 13 环节对系统性能的影响。
解 使用Matlab/ Simulink求解本题的基本步骤如下： 【步骤1】利用Matlab中的Simulink工具箱，对题设控 制系统进行建模（如上图所示）。在没任何非线性的情 况下，阶跃响应曲线如下图所示。
由于 x = 0 , 则 : x = 0 , x = const
奇点是平衡点。奇点及临近的相轨迹反映了系统的稳定性问题。 37
1、线性系统的奇点 二阶线性系统的方程为：
x + 2ξωx + ω 2 x = 0
即
d x 2 ξω = − dx
•
•
(7-6)
2
x + ω
•
•
x
x
唯一奇点： x = 0 ; x = 0 可见，原点为奇点或稳定点。
⎧线性系统 ∴ 适用于 ⎨ ⎩非线性系统
(3 ) 可 用 来 研 究 在 各 种 初 始 条 件 下 和 各 种 非 周 期
函 数 作 用 下, 系 统 的 运 动 过 程.
36
7.3.2. 相平面上的奇点 对于二阶系统 相轨迹的斜率方程
x = f (x, x)
d x / dx = f ( x , x ) / x
(7-1)
-a
0 a x
图7-1 饱和特性
(1)在大信号作用下，等效传递系数下降→跟踪误差↑， 响应时间↑，稳态误差↑。 (2)可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行。 来源：（1）放大器的饱和输出; （2）执行元件的功率限制或行程限制.
8
7.2.2 死区（不灵敏区）特性 死区非线性的输入输出关系及数学表达式如下：
D
图7-9 例7-2的时间响应曲线
34
例7-3. 非线性方 程： 相轨迹如图.系统的运动方向
x + x − x3 = 0
x
如箭头所示。可见，系统的响应与 初始条件有关,其相轨迹可分为三 个区域： 初始条件：
-1 0 1
x
(1) -1<x(0)<1 时 x ( ∞) → 0 ⇒原点。系统是稳定的。响应为单调衰 x(∞) → 0 减，且无稳态误差。如图7-11所示. (2) x(0) >1: x ( ∞ ) → ∞
38
二阶系统的特征根不同，奇点位置不同，类型也不同。 现假设 s1,s2 是二阶系统的特征根 奇点的分类： 1）s1,s2 是一对负实部共轭复根 2） s1,s2 是一对正实部共轭复根 3） s1,s2 是一对负实根 --------稳定焦点 -------不稳定焦点 --------稳定节点
4） s1,s2 是一对正实根 --------不稳定节点 5） s1,s2 是一对共轭虚根（虚轴上） ------中心点 6） s1,s2 是实根，一个位于右半平面，一个位于左半平面 ------------鞍点
在一个控制系统中,包含有一个以上的非线性元件， 就构成了非线性系统。 控制系统中的典型非线性特性有：死区、饱和、间 隙、继电和摩擦等等。
7
7.2.1 饱和特性 饱和非线性的输入输出关系及数学表达式如下：
x>a ⎧ka ⎪ y = ⎨kx x ≤a ⎪− ka x < − a ⎩
对系统的影响：
y 斜率k
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【步骤3】在系统中引入死区非线性环节，系统框图如 图所示。
21
22
结论： 对比死区范围不同时系统的阶跃响应，可看出， 随着死区范围的增加，系统开始响应阶跃输入信 号的时刻也逐渐推迟。这是因为死区环节会将死 区内的输入“忽略”，使系统响应变慢。
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【步骤4 】尝试在系统中加入死区单元和饱和单元， 系统框图如图所示
③ 倍频振荡或分频振荡：输出的频率可能是输入频率的整数 倍或反之。
4.在无外加作用的情况下，可能会产生具有一定频率和振幅 的稳定的等幅振荡，称为自激振荡或极限环（可观察到) 。 （线性系统只有在临界稳定的情况下，才产生极限环，且不稳 定，不能观察到。）
6
7.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
(7-8)
则线性化后的方程为： x + g ( x, x ) = 0 再用线性方程来讨论相轨迹的形状和奇点的性质。
例7-4
x + 0 .5 x + 2 x + x 2 = 0 非线性系统的方程如下：
试讨论系统的奇点类型。 解：式中 由