有理数的概念总结
1. 有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
正整数 正整数
整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④非负数（正数和零）
1、把下列各数填在相应的大括号中
⋯⋯+--+-12112111236100000307
22
82838.,,,,.,,,.,,π
正数集合｛ …｝
负数集合｛ …｝
自然数集合｛ …｝
非负有理数集合｛ …｝
非负整数集合｛ …｝
2、数轴
（1）数轴上点的移动规律（点的移动左减右加）
【试卷p24,3题】例1、在数轴上，一点从原点开始，先向右移动2个单位，再向左移动3个单位后到达终点，这个终点表示的数是（ ）
变式1、试卷P9 9,10题
变式2、 将数轴上的点A 先向左移2个单位 ，再向右移5，此时A 点位于原点，则Ａ开始时表示的数是_______
（2）数轴上两点间的距离公式 |AB| = |a-b| （或大叔减小数）
例 2 数轴上表示数3.5与 – 1.5 的 两点之间的距离为______, 与数2的距离为3个单位的数是________,
①|x|的绝对值表示_______, | x-2 | 表示_______, | x + 2 | 表示______,
② 若 | x -2 | = 3 则 x =______
③ 满足 | x – 2 | + | x+2 | = 4 的整数 x 有__________.
④ | x – 2 | + | x -2 | 的 最小值为_______
⑤|x-3|+|x-1|+|x+2|的最小值为________
变式1、试卷p11 14（3）
3、相反数
（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是0。
性质 a ，b 互为相反数，则a+b=0 （2）.相反数的几何意义
互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，与原点的距离相等。
例3 .若某点表示的数 a = -a ， 这个点位于何处______
例4.已知a,b 互为相反数，|a-b|=6,求b-1的值
(3).相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-” 如；5a+b 的相反数是 -（5a+b ）；a-b 的相反数等于_________
5.多重符号的化简
“-”号的个数决定最后结果；即：个数是奇数，结果为负，个数是偶数时，结果为正。
例4. )2
1
3(-- )]5([--- )]}2([{+-+-
6绝对值
（1）绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 可归纳为①：|a|=a <═> a ≥0（绝对值等于本身的数是非负数。
）
② |a|=-a <═> a ≤0（绝对值等于其相反数的数是非正数。
）
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数 即 |a|≥0。
绝对值相等的两数相等或互为相反数。
即：|a|=|b|，则a=b 或a=-b ； 非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0
例5.已知︱a ︱= 5,︱b ︱= 4,且︱a+b ︱= -(a+b),试求a+b 的值 例6、若
x x -= 0 则x 必是 （ ）
A 、非正数
B 、非负数
C 、0
D 、正数 例8.
++-41-313121 (100)
1991- 例9 . 绝对值小于3的整数有_______________________比—4大的负整数有____________ 不大于2
1
5
的非负整数有_______________________不小于—5的负整数有______________ 绝对值大于3且不大于6的整数之和_______，2＜|x|≤5，整数x 有_______．
例10、若1a <<3，则化简||||a a 1-+3-的结果为________．
变式1、化简：1111
112004200320032002
10031002
-+-++
-=___________．
变式2：若2015
2
2016
x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ．
变式4．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简∣a ∣+∣b ∣+∣a +b ∣+∣ b −c ∣
例11、代数式∣3x −7∣+2的最小值是________，此时x =________。
例12、若x 、y 满足3∣x +y ∣+∣y −1
3
∣=0，则4x +3y =_________。
变式1、已知x 与−2y 互为相反数，y 与3 z 互为相反数，1632
x y z +++的值是_________。
变式2、若∣2x −y +5∣与∣3x −2y −2000∣互为相反数，则9x −5y =_________。
7.有理数大小的比较
⑴利用数轴：右边的总比左边的大；
⑵利用法则：正数>0>负数 ； 两个负数，绝对值大的反而小； 例1.
___ ) ___ )
例2 .已知a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 绝对值为2，求x n
m b
mn --++
a 的值
例3、数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，且|b |=|c |.
(1)若|b +c |+|a |=3，求a 的值；
(2)用“<”把a ，|a|，b ，c 按从小到大连接起来。
9.②|a+b|=|a|+|b|；③绝对值等于它本身的数是0和1。
④只有负数的绝对值是它的相反数；④两数的绝对值相等则这两数相等；⑤任何一个有理数一定不大于它的绝对值。
其中正确的有_______ 三． 有理数加减
7、下列说法正确的是（ ）
A.两数相减，被减数一定大于减数
B.0减去一个数仍得这个数
C.互为相反的两个数差为0
D.减去一个数，差一定小于被减数 变式．算式53--不能读作（ ）
A ．3-与5的差
B ．3-与5-的和
C ．3-与5-的差
D ．3-减去5
七．有理数的应用
1.某出租车,一天下午在东西走向的路上运送乘客,从鼓楼出发，如果规定向东为正,他的行车路程（单位：千米）如下：
+3, -2, +15, -1, +12, -3, -2, -23.
（1）将最后一名乘客送到目的地时,车距出发地多远?在什么方向?
（2）若汽车耗油量为a升/千米,送完最后一个乘客回到出发地，共耗油多少升? （3）途中哪名乘客车费最贵？
（4）途中离出发地最远多远？
2．股民李明上星期六买进春兰公司股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数）
（1）星期四收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价是每股多少元？最低价每股多少元？
（3）已知李明买进股票时付了0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.1%的手续费和0.1%的交易税，如果李明在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？。