则该问题的数学模型表示为
maxZ= 2x1 +3x2 2x1+2x2 ≤12
x1 +2x2 ≤8
这是一个线性规划模型
4x1 ≤16
4x2 ≤12
x1 ≥0, x2 ≥0
但企业通常的经营目标会更实际、更多样！
企业的新目标：
力求使利润指标不低于12千元； 考虑到市场需求，Ⅰ,Ⅱ 两种产品的生产量需保持1:1的比例； C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制，设备A既要求充 分利用，又尽可能不加班。 等等
4.线性规划的最优解可以说是绝对意义下的最优 为求得这个最优解，往往要花去大量的人力、物力和才力。而
在实际问题中，却并不一定需要去找这种最优解。目标规划所求的 满意解是指尽可能地达到或接近一个或几个已给定的指标值，这种 满意解更能够满足实际的需要。
目标规划更能够确切描述和解决经济管理中的许多实际问题。目前 目标规划的理论和方法已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场分 析、财务管理等方面得到广泛的应用。
这些目标通过线性规划无法实现
【引例3】
某工厂在计划期内要生产甲、乙两种产品，现有的资源及两种产
品的技术消耗定额、单位利润如下表所示．试确定计划期内的生产计
划，使利润最大。
表4-1 产品的资源、技术消耗定额、单位利润表
甲（每件） 乙（每件）
现有资源
钢 材 （kg）
9.2
4
3600
木 材 (m3)
4
5
二、目标规划的基本概念
1.目标值和正、负偏差变量
目标规划通过引入目标值和正、负偏差变量，可将目标函数转化 为目标约束。
所谓目标值是预先给定的某个目标的一个期望值。实现值（或决 策值）是当决策变量x1、x2、…、xn选定以后目标函数的对应值。显 然，实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量 (事先无法确定的未知量)，用d＋和d－表示。
实践中，人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略， 在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方法——目标规 划．
目标规划与线性规划相比，有以下优点：
1.线性规则只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题 实际问题中，往往要考虑多个目标的决策问题，这些目标可能
互相矛盾，也可能没有统一的度量单位，很难比较。目标规划就能 够兼顾地处理多种目标的关系，求得更切合实际的解。
2.线性规划是在满足所有约束条件的可行解中求得最优解。 而在实际问题中往往存在一些相互矛盾的约束条件，如何在这
些相互矛盾的约束条件下，找到一个满意解就是目标规划所要讨论 的问题。 3.线性规划问题中的约束条件是不分主次、同等对待的
线性规划问题是一律要满足的“硬约束”。而在实际问题中， 多个目标和多个约束条件不一定是同等重要的，而是有轻重缓急和 主次之分的，如何根据实际情况确定模型和求解，使其更合实际是 目标规划的任务。
d＋——超出目标的差值，称正偏差变量； d－——未达到目标的差值，称负偏差变量； 当实际值超出目标值时，有d－＝0， d＋＞0； 当实际值未达到目标值时，有d＋＝0， d－＞0 ； 当实际值同目标值恰好一致时， d＋＝ d－ ＝ 0 。 因为在一次决策中，实现值不可能既超过目标值，同时又未达到目标 值，所以有 d＋与d－两者中必有一个为零。故恒有d＋× d－ ＝ 0
分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题． 设x1、x2分别为采
购甲级、乙级原材料的数量（单位：kg）， y1为花掉的资金， y2为
所购原料总量．则：
目标函数为： Min y1 2x1 x2
Maxy2 x1 x2
2 x1 x 2 200
约束条件为：
x1 x2
x2 50
100
注：此规划模型是一个多目标规划模型
x 1 , x 2 0
【引例2】
某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D 四各不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备为2、1、4、0小时， 生产每件产品Ⅱ 需占用各设备为2、2、0、4小时，各设备用于生产这 两种产品的能力分别为12、8、16、12小时，又知生产一件产品Ⅰ获得2 千元，生产一件产品Ⅱ 获得3千元，问如何安排生产，使总的利润最大。
2000
设备负荷（台小时）
3
10
3000
单位产品利润 (元)
70
120
同时厂领导为适应市场需求，尽可能扩大甲产品的生产，减少乙
产品的生产，同时考虑这些问题，就形成多目标规划问题．
分析:设x1、x2分别是计划期内甲、乙产品的产量．则该问题的
数学模型为
9 .2 x1 4 x2 3 6 0 0
mmaaxxyy12
§5.1 目标规划问题的提出与目标规划模型
一、问题的提出
【引例1】某生物药厂需在市场上采购某种原料，现市场上有甲、乙
两个等级，单价分别为2千元/kg和1千元/kg，要求采购的总费用不得 超过20万元，购得原料的总重量不少于100kg，而甲级原料又不得少 于50kg，问如何确定最好的采购方案（即用最少的钱、采购最多数量 的原料）。
70x1 x1
120x2
min y3 x2
s.t.
4 3
x1 x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 x2 10 x
2000 2 3000
x1 , x 2 0
分析：
对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方 案．极有可能出现：
第一个方案使第一目标的结果优于第二方案，而对于第二 目标，第二方案优于第一方案．就是说很难找到一个方案使所 有目标同时达到最优，特别当约束条件中有矛盾方程时，线性 规划方法是无法解决的。
2.绝对约束与目标约束
绝对约束又称系统约束，是指必须严格满足的等式和不等 式约束，如线性规划问题的所有约束都是绝对约束，不满足这 些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。
以例2为例，如设备C和D严格禁止超时，故有： 4x1 16
4x2 12 对那些不严格限定的约束，连同原线性规划建模时的目标 函数转化为的约束，均可通过目标约束来表达。 下面是如何形成目标约束
(1) 将目标函数转化为目标约束
在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上 负偏差变量 ，减去正偏差变量 ，并令其等于目标值，这样形成一个 新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去， 称这种新的约束条件为目标约束。