标
在用图解法解目标规划时，首先必须
规
满足所有绝对约束。在此基础上，再 按照优先级从高到低的顺序，逐个地
划
考虑各个目标约束。一般地，若优先
的 图
因子Pj对应的解空间为Rj，则优先因子 Pj+1对应的解空间只能在Rj中考虑，即 Rj+1属于Rj。若Rj不空，而Rj+1为空集，
解
则Rj中的解为目标规划的满意解，它
问
类似这样的多目标决策问题是典型的目标规划问题。
题
的
导
出
基本概念
目
（1）偏差变量
标
d+≥0， d- ≥0，d+·d-=0
规
（2）绝对约束和目标约束 （3）优先因子和权系数
划
（4）目标规划的目标函数
的
三种基本表达式： ①要求恰好达到目标值
数
min{f(d++d-)}
学
②要求不超过目标值，但允许不足目标值
型
目标规划数学模型的一般形式：
目
标
规
划
的
数
学
模 型
gk为第k个目标约束的预期目标值，Wlk-和Wlk+为Pl优 先因子对应各目标的权系数。
目标规划问题及其数学模型
目
目标规划的图解法
标
解目标规划的单纯形法
规
目标规划的灵敏度分析
划
目标规划应用举例
对于只有两个决策变量的目标规划问
目
题，可以用图解方法来求解。
首先考虑P1，此时要求min d-1，因而解空间R1为 △OAC区域； 再考虑P2，此时要求min d2+，因而解空间R2为 △ODC区域；
最后考虑P3，此时要求min d3-，因而解空间R3为 四边形EDCF区域。 容易求得E，D，C，F四点的坐标分别为(8,0)、 (9,0)、(6,3)、(4.8,2.4)，故问题的解可表示为：
模
min{f(d+)} ③要求不低于目标值，但允许超过目标值
型
min{f(d-)}
目
例4-1的目标规划表达式为：
绝对约束
标
min{P1d1-,P2d2+,P3d3-}
规
划
的
数
目标约束
学 模
P1为两种产品产量要求的优先因子；P2为节约工 时要求的优先因子；P3为计划利润要求的优先 因子，它们应满足P1》P2》P3
4
x
2
+
d
4
-
-d
4
+
=
2
x 1 ,x 2 ,d i- ,d i + 0 (i= 1 ,2 ,3 ,4 )
图
解
法
目
所以满意解为：x1=6.5，x2=1.25
标
例4-4得到的解不能满足所有目标。这时，
规
我们要做的是寻找满意解，使它尽可能满足 高级别的目标，同时又使它对那些不能满足
划
的较低级别目标的偏离程度尽可能的小。 必须注意的是，在考虑低级别目标时，
标
体数据如下：
规
产品
Ⅰ
Ⅱ
限量
原材料（kg/件） 5
10
60
划
设备工时（h/件） 4
4
40
利润（元/件）
6
8
问
m ax z 6 x1 8 x2
题
5 x1 10 x2 60
的
s
.t
.
4 x1
4 x2
40
导
x1, x2 0
出
解得，最优解x1=8，x2=2，max z=64（元）
目
标
一般来说，一个计划问题可能要满足多方面
出
例4-2 假设计划人员被要求考虑如下意见：
(1) 由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ
目
的一半； (2) 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；
标
(3) 最好能节约4h设备工时；
规
(4) 计划利润不少于48元。 计划人员需要会同有关各方作进一步的协调，最后达成了
划
一致意见： 原材料使用限额不得突破；产品Ⅱ产量要求必 须优先考虑；设备工时问题其次考虑；最后考虑计划利润 的要求。
的
哪一个解，完全取决于决策者自
图
身的考虑。
解
法
例4-4 用图解法解下面的目P2d2+,P3(5d3-+3d4-),P4d1+}
x x
1 1
+ +
2 2
x x
2 2
+ +
d d
1
2
-d1+ =6 -d 2+ =9
s
.
t
.
x
1
-
2
x
2
+
d
3
-
-
d
3
+
=
规
得要求。 线性规划有最优解的必要条件是其可行解集
划
非空，即各约束条件彼此相容。但实际问题
问
有时不能满足这样的要求。 线性规划解得可行性和最优性具有十分明确
题
的意义，但那都是针对特定数学模型而言的。
的
实际中，决策者需要计划人员提供的不是严 格的数学上的最优解，而是可以帮助作出最
导
优决策的参考性计划，或是提供多种计划方 案，供最终决策时选择。
规
目标规划的灵敏度分析
划
目标规划应用举例
解 目
目标规划的数学模型实际上是最小 化形的线性规划，可以用单纯形法
标
求解。
规
在用单纯形法解目标规划时，检验 数是各优先因子的线性组合。因此，
划
在判别各检验数的正负及大小时，
的
必须注意P1»P2»P3» …。当所有
单
检验数都已满足最优性条件(cj-zj≥0) 时，从最终单纯形表上就可以得到
α1(8,0)+ α2(9,0)+ α3(6,3)+ α4(4.8,2.4) =(8α1+9α2+6α3+4.8α4, 3α3+2.4α4)
其中，α1，α2，α3，α4≥0， α1+ α2+ α3+ α4=1
目
例4-3最后一级目标的解空间非
标
空。这时得到的解能满足所有目
规 划
标的要求。当解不惟一时(如例 4-3，R3为四边形EDCF区域)， 决策者在作实际决策时究竟选择
法
只能保证满足P1,P2,…,Pj级目标，而不 保证满足其后的各级目标。
例4-3 用图解法解例4-2。
目 标 规 划 的 图 解 法
目 标 规 划 的 图 解 法
△OAB区域是满足绝对约束和非负条件的解空间。 对于所有目标约束，去掉偏差变量，画出相应直 线，然后标出偏差变量变化时直线平移方向，见 图所示。
第四章 目标规划
Operational Research ( OR )
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本章 内容
目标规划问题及其数学模型 目标规划的图解法 解目标规划的单纯形法 目标规划的灵敏度分析 目标规划应用举例
例4-1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设
目
备工时的限制。在单件利润等有关数据已知上网 条件下，要求制订一个获利最大的生产计划。具
的
不能破坏已经满足的高级别目标，这是目标
图
规划的基本原则。但是，也不能因此而以为， 当高级别目标不能满足时，其后的低级别目
解
标也一定不能被满足。事实上，在有些目标 规划中，当某一优先级的目标不能满足时，
法
其后的某些低级别目标仍有可能被满足。
目标规划问题及其数学模型
目
目标规划的图解法
标
解目标规划的单纯形法
纯
目标规划的解。