习题 3-11. 验证函数()f x =在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结论成立的点ξ。

解：显然函数()f x =[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有(0)(4)0f f ==所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有()0f ξ'==，83ξ=。

2. 验证函数3()1f x x =-在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使得结论成立的ξ。

解：函数3()1f x x =-在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则有2(2)(1)321f f ξ-=-，即ξ=3. 函数4()1f x x =-与2()g x x =在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件，如满足，求出满足定理的数值ξ。

解：函数4()1f x x =-与2()g x x =在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值定理，则有3(2)(1)4(2)(1)2f f g g ξξ-=-，即ξ=4. 若4次方程432012340a x a x a x a x a ++++=有4个不同的实根，证明3201234320a x a x a x a +++=的所有根皆为实根。

证明：设43201234()f x a x a x a x a x a =++++，()0f x =的四个实根分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则函数()f x 在1[,](1,2,3)i i x x i +=上满足罗尔定理的条件，则在1(,)i i x x +内至少存在一点i ξ，使得()0i f ξ'=。

这说明方程3201234320a x a x a x a +++=至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，所以结论得到证明。

5. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξξ'=-。

解：构造辅助函数()()F x xf x =，而()()F x xf x =满足罗尔定理的条件，所以有在(0,1)，至少存在一点ξ，()()0f f ξξξ'+=即()()f f ξξξ'=-。

6. 试用拉格朗日中值定理证明： （1）2121sin sin x x x x -≤-； （2）当0x >时，ln(1)1xx x x<+<+。

解：（1）设()sin f x x =，则()f x 在区间12(,)x x 上满足拉格朗日中值定理，则有121212sin sin cos ,(,)x x x x x x ξξ-=∈-，又因为cos 1ξ≤，则1212sin sin 1x x x x -≤-， 1212sin sin x x x x -≤-。

（2）设()ln(1)f x x =+，则()f x 在区间(0,)x 上满足拉格朗日中值定理，则有ln(1)11x x ξ+=+ (0,)x ξ∈，又因为11111x ξ<<++，则1ln(1)11x x x+<<+，即ln(1)1xx x x <+<+。

7. 证明等式：arctan arccot 2x x π+=。

证明：设()arctan arccot f x x x =+，则有()(arctan arccot )0f x x x ''=+=， 所以()f x c ≡，代入0x =，得到arctan arccot 2x x π+=。

8.设()f x 在[1,2]上具有二阶导数()f x ''，且(2)(1)0f f ==。

若()(1)()F x x f x =-。

证明：至少存在一点ξ(1,2)∈，使得()0F ξ''=。

证明：因为(1)(2)0F F ==，在[1,2]上应用罗尔定理，有1()0F ξ'=， 又因为(1)0F '=，所以在1[1,]ξ上应用罗尔定理，有()0F ξ''=，1[1,][1,2]ξ⊂。

9.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内存在点ξ和η，使得 ()()2a bf f ξηη+''=。

证明：构造辅助函数2()g x x =，()f x 与()g x 在(,)a b 内满足柯西中值定理，即有22()()()()()()()()f b f a f f b f a g b g a g b a ηη'--=='--，(,)a b η∈而()f x 在(,)a b 内满足拉格朗日中值定理，所以()()()()f b f a f b a ξ'-=-， 即()()2a bf f ξηη+''=。

习题 3-21. 用洛必达法则求下列极限：（1）0sin lim sin x ax bx →； （2）30sin lim x x xx→-； （3）332132lim 1x x x x x x →-+--+； （4）2tan lim tan 3x x x π→； （5）2lim x ； （6）2ln()2lim tan x x x ππ+→-； （7）2120lim x x x e→； (8) 0lim cot x x x →; （9）2lim(sec tan )x x x π→-；（10）11lim()1ln x x x x→--； （11）tan 0lim xx x +→； （12）1lim x x x →+∞； （13）1lim(1sin )xx x →+; (14) 111lim xx x-→解：（1）（型）；000sin (sin )cos limlim lim sin (sin )cos x x x ax ax a ax a bx bx b bx b →→→'==='；（2）（00型）；3320000sin (sin )1cos sin 1lim lim lim lim ()366x x x x x x x x x x x x x x →→→→'---===='； （3）（0型）；33232322111132(32)3363lim lim lim lim 1(1)321622x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→'-+-+-===='--+--+---； （4）（∞∞型）；2222tan sin cos3cos33sin 3lim lim lim lim 3tan 3cos sin 3cos sin x x x x x x x x xx x x x x ππππ→→→→-=⋅===-；（5）（∞∞型）；212ln limlim lim 4lim 01x x x x x x →+∞⋅'====；（6）（∞∞型）；2222ln()(ln())cos 22lim lim lim 0tan (tan )2x x x x x x x x x ππππππ+++→→→'--==='-；（7）（0⋅∞型）；2221113200232()lim limlim 12x x x x x x e ex x e x x→→→-===∞-； （8）（0⋅∞型）；00lim cot lim1tan x x xx x x→→==；（9）（∞-∞型）；22221sin 1sin cos lim(sec tan )lim[]lim lim 0cos cos cos sin x x x x x x xx x x x x x ππππ→→→→---=-===；（10）（∞-∞型）；1111ln (1)ln lim()lim lim11ln (1)ln ln x x x x x x x xx x x x x x x→→→---==---+11ln ln 11lim lim ln 1ln 22x x x x x x x x x →→+===+-+；（11）（00型）；2tan 0000ln sin lim ln lim tan ln limlimtan 0cot 0lim 1xx x x x xx x x xxx x x x e e eee ++++→→→→+→======；（12）（0∞型）；11ln 1limlimlim ln 0lim 1xx x x x x xx x x x e eee →+∞→+∞→+∞→+∞=====；（13）（1∞型）；11ln(1sin )cos 1sin 01lim ln(1sin )lim ln(1sin )limlim 0lim(1sin )x xxx xxx x x x x x xx x e e e e e ++→→→→++→+=====；（14）（1∞型）；1ln l111111limln lim lim 111lim xxxxx x x x xx xee e e---→→→-→====。

2.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。

（1）201sinlimsin x x x x →； （2）sin lim x x x x→∞+。

解：（1）用洛必达法则求：2220001111sin2sin cos ()11limlim lim(2sin cos )sin cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→+-==-，求不出 用一般的方法：200001sin11limlim sin lim lim sin 0sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x→→→→=⋅=⋅=； （2）用洛必达法则求：sin 1cos limlim lim(1cos )1x x x x x x x x →∞→∞→∞++==+， 求不出用一般的方法：sin sin limlim(1)101x x x x xx x→∞→∞+=+=+=。

3.设()f x 在0x =处二阶可导，且(0)0f =，试确定a 的值使()g x 在0x =处可 导，并求(0)g '，其中()()f x g x x a ⎧⎪=⎨⎪⎩00x x ≠=解：因为函数()f x 在0x =处二阶可导，则函数在0x =处一定连续，即有lim ()(0)0x f x f →==，又因为函数()g x 在0x =处可导，所以函数在0x =处也一定连续，即有 000()()lim ()(0),limlim lim ()1x x x x f x f x g x g f x a x →→→→''==== 根据导数的定义以及洛必达法则，有2000()()(0)()(0)lim lim lim x x x f x ag x g f x ax x g x x x →→→---'=== 00()()(0)lim lim 222x x f x a f x f x →→'''''-===。