第一章 函数 极限 连续1.1 数列极限的求法一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散 1. 数列极限：lim n n x a →∞=描述语言：当n 充分大时，数列一般项n x 无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数a ，则称a 就是数列{}n x 的极限．“N ε-”语言：0ε∀>，N ∃，当n N >时，有n x a ε-<． 二 基本结论1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性．2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限．3. 夹逼法则：若n n n y x z ≤≤，n N >，且lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则lim n n x a →∞=．4. 数列极限运算法则：设lim n n x A →∞=，lim n n y B →∞=，那么（1）lim()n n n x y A B →∞±=±；（2）lim n n n x y AB →∞⋅=；（3）lim(0)n n n x AB y B→∞=≠． （4）lim()ny B n n x A →∞=5. 两个重要极限：10lim(1)e xx x →+=；0sin lim1x xx→=．这两个极限公式可以推广为：当0x x →时，()0f x →，则1()lim(1())e f x x x f x →+=；0sin ()lim1()x x f x f x →=．三 基本方法数列极限的未定式（不确定型）有八种形式：00；∞∞；0⋅∞；∞±∞；1∞；0∞；00；无限个无穷小的和．1. 取大原则 （极限的形式是∞∞，分子和分母同除以n 的最大次幂） 例1 求下列极限：（1）2221lim 21n n n n n →∞+--+； （2）n2. 有理化法（当分子或分母含有根式时，n 的最大次幂有抵消，一般要考虑分子有理化或分母有理化，或分子、分母同时有理化，通过有理化，明确抵消后剩余部分）例2 求下列极限：（1）n →∞； （2）)n n →∞.3. 夹逼法则 （当数列的一般项不是关于n 代数式或为无限个无穷小的和）例3 求120lim d 1sin nn x x x→∞+⎰． 解 解此题的关键是将积分表示为关于n 的代数式，显然没办法直接积分，只能通过 对被积函数的放缩，达到可积的目的．1111200110d d 1sin 11n nn x x x x x x n n +≤≤==+++⎰⎰， 所以120lim d 01sin nn x x x→∞=+⎰． 例4 求22212lim()12n nn n n n→∞++++++L （说明将分子n 变成m 的结果） 解 无限个无穷小的和是数列极限的未定式的一种常见的形式，解决此类问题常见方法有：夹逼法则；定积分；Stolz 定理．本题应用夹逼法则：22222121212121n n nn n n n n n n ++++++≤+++≤+++++L L L 由于2212121limlim 12n n n n n n n →∞→∞++++++==++L L ，于是222121lim()122n n n n n n →∞+++=+++L4. 单调有界原理（数列一般项不是关于n 的代数式，而是有规律的给出一般项；或是一般项的递推公式）解决此类问题的具体方法：1. 证明单调；2. 证明有界；3. 通过递推公式求极限． 例5 若数列{}n a满足1a >，11()2n n naa a a +=+，证明数列极限存在，并求之． 证明单调性：因为11()2n n naa a a +=+≥ ()21102n n n na a a a a +-=-≤ 或 1n n a a +≤ 于是，数列{}n a 单调递减．有下界：显然有下界． 根据单调有界原理：极限存在．令lim n n a x →∞=，对递推公式两边取极限，有12a x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程得x =lim n n a →∞=例6L 收敛，并求其极限． 证明令1x =2x =n nx =n x =，用数学归纳法可以证明：数列{}n x 单调增加，有上界。

证明单调增加：显然21x x >，假设1n n x x ->1n n x x +>，所以数列{}n x 单调增加．证明有上界：12x <，假设12n x -<，显然2n x =<，故对所有的n ，有2n x <。

所以数列{}n x 有上界，根据单调有界原理，数列{}n x 收敛． 设lim n n x a →∞=，对n x =两端取极限，则有a =2a =注 关于数列的界，可用观察和归纳的方法得到，然后给予证明．如果没有更简便的方法证明有界性，可以使用数学归纳法．5. 验证法 （给出数列递推公式，而此数列并非是单调的）具体方法：假设极限存在，根据递推公式求出极限，并给予证明．证明是必要的．例7 设12x =，112n nx x +=+，求lim n n x →∞．解 令lim n n x a →∞=，对递推公式两边取极限12a a=+，得1a =．下面证明1a =+{}n x 的极限． 11111111112(2)44n n n n n n x a x a x a x a x a x a -------=+-+=≤-≤≤-L ， 所以lim 0n n x a →∞-=，故lim 1n n x →∞=．注1 验证是必须的！例如112,21n n x x x +==+，求lim n n x →∞．事实上，该数列的极限并不存在，但是若令lim n n x a →∞=，则可以求出1a =-．所以说证明是必须的．注2 事实上，例5和例6也可以用验证法，请同学们给出证明。

要说明的是：证明lim n n x a →∞=，只需证明lim 0n n x a →∞-=。

证明lim 0n n x a →∞-=，应用夹逼法则，即111n n n x a r x a r x a ---≤-≤≤-L （1r <）6. 公式法 （若极限的未定式是1∞型，最好利用极限公式）例8 求1(1)1lim sin n n n n n n+→∞+ 解 因为111(1)111(1)11lim sin limsin /lim(1)(1)n n n n n n n n n n e n n n n n n n+++→∞→∞→∞++=⋅=++= 7. 转换法 （将数列极限转换成函数极限，具体的说：令n x =，则x →∞或令1x n=则0x →，这是求数列极限的一个重要方法．例9 设,0a b >，试求lim nn →∞⎝⎭解 极限为不定式1∞，于是利用极限公式lim lim 1nn n →∞→∞⎛= ⎝⎭⎝⎭而02lim 2x x n x a b x→∞→+-== 所以lim nn e →∞==⎝⎭注 一般的，如果极限形式是1∞的形式，套用极限公式1()lim(1())(()0)f x f x e f x +=→，其余的工作就是求指数部分的极限了．8. 定积分法如果极限的形式表现为表现为无穷项的和或积的形式或∑和∏的形式．（积或∏的形式可以利用恒等变换公式：ln NN e=将积的形式化成和的形式）定积分法原理：1011111lim lim ()nn n n k k k k f f f x dx n n n n →∞→∞==-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰.应用定积分方法的具体步骤：1. 将无穷项的和或积的形式表示成∑的形式；2. 制作1n ∑（每项提取1n）； 3. 将∑里面表示成关于kn的函数式； 4. 将kn换成x ，此时∑里面的式子就是被积函数()f x ．于是极限就是()f x 在(0,1)上的定积分．例10 计算lim n →∞⎛⎫++L 解1100111limlim arcsin26nn n n k k xn π→∞→∞======⎰注：此题不能应用夹逼法则． 例11n 解 首先将积的形式变成和的形式1[ln ln(1)ln((1))]ln lim n n n n n nn n e +++++--→∞=L 111[ln1ln(1)ln(1)]lim n n n nn e-+++++→∞=L1110011ln(1)ln(1)d [ln(1)ln(1)]4lim nk k x x n nx x x x n ee e e=-+++-++→∞∑⎰====．9. 相减法（Stolz 定理）如果极限表示为分式的形式，分子或分母表示为无穷项的和，需要考虑相减法．这样可以使无穷项变成有限项．Stolz 定理：如果满足lim n n y →∞=∞，1n n y y +>，11limn nn n nx x y y +→∞+--存在，则有11limlim n n n n n n n nx x x y y y +→∞→∞+-=-． 例12 求22231lim[13(21)]n n n→∞+++-L 解 22231lim [13(21)]n n n →∞+++-L 233(21)4lim (1)3n n n n →∞+==+-例13 求极限()11lim12pp p p n n n+→∞+++L ．解 ()11lim12p p pp n n n+→∞+++L 11111lim lim1(1)1(1)1pp p n n p nnn n p n++→∞→∞+===+-++- 10. 相除法如果极限的形式表示为n 次方根的形式，则我们需要考虑相除法． 基本原理：若 1limn n na a a +→∞=，则1lim lim n n n n aa a +→∞→∞==例14求n 解n 1lim 01n n →∞==+ 练习1.11．用取大原则求下列极限：（1）11(2)3lim (2)3n nn n n ++→∞-+-+；（2）3(21)(31)(41)lim5n n n n n →∞+++；（3）n2．用有理化法求下列极限： （1）limn →∞；（2）lim n n →∞；（3）lim(n n →∞+.3．用夹逼法则求下列极限： （1）lim n →∞⎛⎫+L ； （2）22221111lim (1)(2)()n n n n n n →∞⎛⎫++++⎪+++⎝⎭L ； （3）10lim 1nnn x dx x →∞+⎰． 4．用Stole 引理求下列极限：（1）222312(21)lim n n n →∞+++-L ；（2）212limn nn →∞+++L ；（3）1lim n n→∞+L ；（4）111lim(1)ln 2n n n→∞+++L ．5．用相除法求下列极限：（1）n ； （2）n ． 6．用转化法求下列极限： （1）1lim (1)nn n e →∞-；（2）lim 1)ln n n n →∞；x =，当n →∞时，1x →，1)ln n n = 7．用定积分法求下列极限 （1）221limnn k nn k →∞=+∑；（2）n ；（3）设()f x 在[0,1]连续，()0f x >，求n （4）112limsin sin sin n n n n n n πππ→∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L （5）limn n→∞8．用公式法求下列极限：（1）lim nn →∞⎝⎭； （2）165lim 7n n n n +→∞+⎛⎫⎪-⎝⎭；（3）21221lim 1n n n n n n +→∞⎛⎫++⎪-+⎝⎭； （4）222lim 1n n n n n n -→∞⎛⎫+⎪-+⎝⎭．9. 设110x =，n x =(2,3)n =L ，试证数列{}n x 极限存在，并求此极限．（分别用单调有界原理和验证法解此题）1.2 函数极限的求法一 基本概念 函数极限；左极限、右极限（单侧极限）；无穷小；无穷大； 1. 函数极限：0lim ()x x f x A →=；lim ()x f x A →∞=描述语言：当x 趋于0x 时，()f x 无限趋近（接近）于某个常数A ．“εδ-”语言：0ε∀>，0δ∃>，对任意的0()x U x ∈o，有()f x A ε-<．2. 左极限（右极限）：0lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=（0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=） 描述语言：当x 从0x 左（右）侧趋于0x 时，()f x 无限趋近于某个常数A ．“εδ-”语言：0ε∀>，0δ∃>，对任意的00(,)x x x δ∈-（00(,)x x x δ∈+），有()f x A ε-<．3. 无穷小和无穷大：若0lim ()0x x f x →=，则称在0x x →过程中，()f x 是无穷小量；若01lim0()x x f x →=，则称在0x x →过程中，()f x 是无穷大量；注1 极限的存在与否以及极限的大小和函数在该点的情况（是否有定义和函数值大小）无关；注2 无穷小是一个变量，但0是无穷小．于是若()f x 是无穷小量，1()f x 未必是无穷大量。