第一章函数与极限复习提纲一、函数知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ）A. x x y sin +=；B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。
2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）321-=x y 解：31u y =，12-=x u（5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2=3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。
试列出收费与物品重量的函数关系式。
解 0,0.2(20), 20500.3(50)6, 50x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为225xP -=,求x 为多少时公司总利润最大？解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+=收入函数x x x x x p x R 2521)225()(2+-=⋅-=⋅= 利润函数2001521)10200(2521)()()(22-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L令015)('=+-=x x L 得15=x因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，()L x取得最大值，即每天生产15单位时，才能获得最大利润。
二、极限知识点：1、)(lim x f x ∞→存在⇔)(lim x f x +∞→与)(lim x f x -∞→存在且相等。
)(lim 0x f x x →存在⇔)(lim 0x f x x +→与)(lim 0x f x x -→都存在且相等。
2、函数在一点的极限存在与否与函数在这点有无定义无关；即使函数在此点由定义，函数在此点极限存在与否也和它的函数值无关；还要知道极限符号的含义3、极限的四则运算：六种结论4、电子系的同学还应该注意求极限中还有第二章的洛必达法则哟（1）若多项式n n x c x c x c c x P ++++=2210)(，则对于任意实数a 有)()(lim a P x P ax =→（2）若)(x P ，)(x Q 表示多项式函数，且0)(0≠x Q ，则有)()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→。
（3）对于)()(lim0x Q x P x x →，若0)(lim ,)0()(lim 0=≠=→→x Q a a x P x x x x ，则∞=→)()(lim0x Q x P x x即0a型的极限为0 （4）对于0型的，此时先约去零因子,再求极限，对于有理式消零因子的办法是用平方差或立方差、立方和公式；对于无理式消零因子的办法是分母或分子有理化 （5）当∞→x 时，有理分式函数的极限有以下结果。
=++++++--∞→m m m n n n x b x b x b a x a x a 110110lim 000,,,n m a n m b n m ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪∞>⎩。
利用上面的结果求有理分式当∞→x 时的极限非常方便。
4、两个重要极限的 （1）1sin lim0=→x x x 类型00型 等价形式1sin lim 0=→x xx推广形式：0lim ,1sin lim==ααα在某过程在某过程x x （2）e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x 类型∞1型 等价形式()e 1l i m 10=+→x x x推广形式：()e 1lim 1=+αα在某过程x ，0lim =α在某过程x如1、)(x f 在点0x 处有定义是它在该点处存在极限的（D ）条件A. 充分；B. 必要； C . 充要； D. 无关。
2、下列变量中（ D ）是无穷小量 A.cos(x-1) (x →1) B.)(1∞→-x exC.lnx (+→0x ) D.ln(x+1) (x →0) 3、=+-++∞→7345232limx x x x x （ A ） A.0; B. ;∞ C.1;4D. 4. 4、xx x 25sin lim→=（ C ） A .1 ； B .25； C .52； D .0.5、xx x 20)1(lim -→=（ C ）A . e ；B .e 1； C . 21e； D .2e6、说明()2lim 5x f x →=的含义：当2→x 时，函数)(x f 无限趋近5 .7、331)3(sin lim sin )3(lim 00=⨯=+=+→→x x x xx x x x8、计算 xx xx 2)3(lim +∞→。
6322)31(lim )31(lim )3(lim ⨯∞→∞→∞→+=+=+xx x x x x xx x x 663])31(lim [e x xx =+=∞→9、计算 2lim(1)xx x →-。
112(2)22()()0lim(1)lim[1()][lim[1()]]x x xx x x x x x e ⨯-----→→→-=+-=+-=10、计算 31lim3x x →-3313x x x →→=-33212x x →→====11、计算x x x 32tan lim0→。
3213212cos 13222sin lim 2cos 32sin lim 32tan lim 000=⨯⨯=⨯⨯==→→→x x x x x x x x x x x 12、下列等式正确的是（ D ）A. sin lim 1x x x →∞=； （正确应是sin lim 0x xx →∞=用到页无穷小性质3）B. 0sin 2lim 22x x x →=；（正确应是0sin 2lim12x xx→=用到重要极限第一个） C . 01lim sin 1x x x →=； （正确应是01lim sin 0x x x→=用到页无穷小性质3）D. 1lim sin 1x x x →∞=。
（1sinlim 11x x x→∞=重要极限第一个）14、计算极限 ()21sin 1lim1x x x →-- 解 ()()()2111sin 1sin 1sin 1111lim lim lim 11(1)(1)1122x x x x x x x x x x x →→→---==⨯=⨯=--+-+ 15、已知15lim(1)xx kx e →+=，则K=（ B ） A .15； B . 5. ； C . 15- ； D . 5- 16、若当 x 0→时，与x 2sin 等价的无穷小是（B ）A . x ； B. 2x ； C .x1； D. 2x 。
知识点 等价无穷小 ；重要极限第一个。
三、连续知识点：1、若函数)(x f 满足（1）在c x =点有定义；（2）)(lim x f cx →存在；（3）)()(lim c f x f cx =→。
则称函数)(x f 在c x =点连续；否则称函数)(x f 在c x =点间断。
（注意三个条件缺一不可） 2、间断点的求法（1）函数的非定义点，即使函数解析式无意义的点（2）分段函数的分段点无极限点与有极限但不等于此点函数值的点如：1、设函数00)1()(1=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=x x kx x f x 在x=0处连续，则k= 1-e解 易知)(x f 定义域为),(+∞-∞111)1(11])1[(lim )1(lim )1(lim )(lim ---→-⋅-→→→=-=-=-=e x x x x f x x xx xx xk f =)0(，因为)(x f 在x=0处连续，所以1)0()(lim -→===e k f x f x2、确定232,2()2,2x x f x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，在2x =处连续性。
解:易知, ()f x 的定义域为),(+∞-∞ 因为8)23(lim )(lim 22=+=--→→x x f x x ;6)2(lim )(lim 222=+=++→→x x f x x . 所以)(lim )(lim 22x f x f x x +-→→≠,故)(lim 2x f x →不存在 所以()f x 在2x =不连续. 3、设函数=)(x f 232,22,2x x x b x +<⎧⎨+≥⎩ 在2x =处连续，问b 应取何值。
解因为()222lim lim (2)42x x f x x b b ++→→=+=+ ()22lim lim(32)8x x f x x --→→=+= 若要要使()f x 在2x =处连续，则()()()22lim lim 2x x f x f x f +-→→== 即428b +=所以2b =4、xx x x f --=221)(；解 要使x x x x f --=221)(有意义，需 02≠-x x ，即0≠x 且1≠x所以0=x 和1=x 点是xx x x f --=221)(的间断点5、下列命题,( B ) 是正确的。
A.)(x f 在0x x =处有定义, 则)(x f 在0x 处连续。
B.)(x f 在0x x =处连续, 则)(x f 在0x 处有极限。
c. )(x f 在0x x =处连续, 则)(x f 在0x 处可导。
D. )(x f 在0x x =处有极限, 则)(x f 在0x 处有定义6、)(x f 在点0x 处存在极限是它在该点处连续的（B ）条件A. 充分非必要；B. 必要非充分； C . 充要； D. 无关。