第一章 函数与极限一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。

（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。

（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。

（ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。

Ⅱ 基本题型（ⅰ）有关确定函数定义域的题型1．（4分）1)2ln()(+-=x x x f 的定义域为 21<<-x2．（4分）)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 [))2,1(1,1Y -3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2x f []1,1-∈x（2）（6分）)2(xf (]0,∞-∈x（3）（7分）)31()31(-++x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,31x（ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型5．（4分）已知： x xf cos 1)2(sin +=，则)(x f =)1(22x -6．（4分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f7．求下列函数的反函数（1）（4分）31+=x y 1,133-=-=x y y x（2）（4分）xxy +-=11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x（3）（6分）)2ln(1++=x y 2211-=⇒-=--x y e y ex8．（7分）已知：,2sin )(,)(3x x x x x f =-=ϕ 求)].([)],([x f x f ϕϕ解：x x x x x f 2cos 2sin 2sin 2sin )]([233-=-=-=ϕϕϕ )(2sin )(2sin )]([3x x x f x f -==ϕ9．（10分）设x e x g x x x x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=)(,1||,11||,01||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这两个函数的图形。

解： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=><=-1,11,1,)]([1x x e x e x f g（ⅲ）有关函数性质判定的题型10．（10分）下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？（1）323x x y -=（非）（2）1||+=x y （偶函数）（3）1sin +=x y （非） （4）x xaa y -+= （偶函数） （5）xx aa y --=（奇函数）11．（4分）设+∞<<∞-++=x x x x f ,1)1sin()(2，则此函数为--------（ A ）A 有界函数B 奇函数C 偶函数D 周期函数 12．（4分）)32sin(+=xy 的最小正周期为 π4 13．（4分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-=<≤-=ππx x x x x x f 0,cos 0,00,cos )(，则)(x f 在定义区间为-------（ A ） A 奇函数但非周期函数 B 偶函数但非周期函数 C 奇函数且为周期函数 D 偶函数且为周期函数（ⅳ）有关复合函数分解的题型14．（6分）将2tan ln x y =分解成若干个基本初等函数的形式。

解：是由u y ln =，v u tan =，2x v =复合而成的。

15．（7分）将231arctanxxy -=分解成由基本初等函数复合及四则运算而成的形式。

解：是由3u y =，v u arctan =，21xxv -=复合而成的。

Ⅲ 综合应用题型 16．（8分）已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角ϕ为已知锐角（如图所示），当过水断面ABCD 的面积为定值0S 时，求湿周L 与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。

D解：参见教材23Pϕϕϕϕcot cot ,sin ,sin h CE hCE h CD CD h =⇒===Θh BC h s h BCh .cot 22cot 220+=⇒+ϕϕh h S BC ϕcot 20-=，ϕϕcot 0cot 0220S h h S <⇒>-ϕϕϕsin 2cot sin 220hh h S h BC L +-=+=，)tan ,0(ϕo S h ∈ϕϕcsc 2cot 0h h hS +-=)tan ,0(ϕo S h ∈ 17．（8分）一列火车在运行时，每小时的费用由两部分组成，一部分是固定费用a ，另一部分是与火车的平均速度x 的立方成正比，比例系数为k ，常用y 表示火车连续运行路程S 所需的总费用，试将y 表示为x 的函数。

解： )(3kx a xSy +=18．（8分）火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50 kg 时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收0.15元，当超过50 kg 时，超重部分按每千克0.25元收费。

试求上海到该地的行李费y （元）与行李质量x （kg ）之间的函数关系式，并画出这函数的图形。

解：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤=⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤=50,525.050015.050),50(25.05.7500,15.0x x x x y x x x x y 19．（8分）按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2 %，半年期存款的年利率为4.0 %，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款。

设将总数为A 单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款有较多的收益，多多少？ 解： 一年期 A 00039.0*20．（8分）森林失火了，火势正以每分钟100 m 2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防队员前去，在失火后5分钟到达现场开始救火，已知每名消防队员在现场平均每分钟可灭火50 m 2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m 2森林的损失费为60元，设消防队派了x 名消防队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n 分钟。

（1）求出x 与n 的关系式；（2）当x 为何值时，才能使得总损失最小？ 解：nx nx n 10250)5(100+=⇒=+ 31250100210625010012560100)5(++-=++⨯+=x x x xn n y 31250100262500++-=x x 31450)2(100262500+-+-=x x31450)2(1002625002+-⨯-≥x x 27=∴x 二 极限（一） 极限的定义及其性质（见§1.2, §1.3, §1.4） Ⅰ 内容要求（ⅰ）理解数列极限、函数极限的描述性定义，自学数列极限、函数极限的精确定义，几何意义及其性质。

（ⅱ）了解无穷小与无穷大量的概念及其关系，了解无穷小量的性质。

（ⅲ）记忆基本初等函数图象的变化趋势，学会计算函数在一点处的左、右极限。

Ⅱ 基本题型（ⅰ）涉及基本初等函数极限的题型1． 填充题（每空4分）p n n ∞→lim = ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>∞=00001p p p , ⎪⎩⎪⎨⎧>∞+<<=∞→1,10,0lim a a a nn =→x x e 0lim 1 , =-∞→x x e lim 0 , =+∞→x x e lim +∞x x ln lim 0+→= ∞- )1ln(lim 0x x +→= 0 x x ln lim +∞→= ∞+x x cot lim 0→= ∞, x x tan lim2π→= ∞ x x sin lim ∞→= 不存在 x x arcsin lim 0→= 0 , x x arctan lim 0→= 0 ,x x arctan lim +∞→=2π x x arctan lim -∞→= 2π-x x arctan lim ∞→= 不存在（ⅱ）简单函数在一点处左、右极限的题型 1．（4分）=→xx x ||lim0----------------------------------------------------------------------（ D ）A 1-B 0C 1D 不存在2．（6分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=01),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求).(lim 0x f x →=00)(lim 0)(lim ,0)(lim 0=⇒==→→→-+x f x f x f x x x（ⅲ）无穷小与无穷大量的判定题型 1．（4分）当+∞→x 时，下列函数哪个是无穷小量-----------------------------（ D ） A x 1lnB x cos 1-C 2x - D x1sin 2．（4分）当+→0x 时，下列函数哪个是无穷大量------------------------------（ C ） A xe B xe- C xe 1D xe1-（ⅳ）涉及无穷小量性质的极限题型（每空4分） 1．x x x sin lim∞→=0 , =→xx x 1cos lim 200 , )1(lim 3+∞→x x =∞2．是非题（每题2分）在同一自变量变化过程中：①两个无穷小的商自然是无穷小（⨯） ②无穷小的倒数一定是无穷大（×） ③无穷小与无穷大必互为倒数（×） 3．（6分）)121(lim 222nn n n n -+++∞→Λ解：)121(lim 222n n n n n -+++∞→Λ=21]2)1(1[lim 2=-⋅∞→n n n n 4．（4分）)2141211(lim n n ++++∞→Λ解：)2141211(lim n n ++++∞→Λ=211)21(1lim 1--+∞→n n=21)21(1lim 1+∞→-n n=2)21(12lim 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∞→n n （二） 极限的运算（见§1.5, §1.6） Ⅰ 内容要求（ⅰ）掌握极限的四则运算法则和复合运算法则。

（ⅱ）了解未定式的概念，会判断∞∞⋅∞-∞∞∞1,0,,,00,00,0∞未定式类型。