A1
A2
同理
M 22' ρ u 2 u2dtdA2 ρdt u 2 u2 dA2
A2
采用断面平均流速v代替u，有
M 11 dt u1u1dA1 dt1v1Q1
A1
M 22 dt u2u2 dA2 dt 2v2Q2
A2
其中
β

A
u udA
第三章 水动力学基础
本章学习基本要求：
了解描述流体运动的两种方法；
理解流动类型和流束与总流等相关概念； 掌握总流连续性方程、能量方程和动量方程及其应用； 理解量纲分析法。
第三章 水动力学基础
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 描述液体运动的两种方法 液体运动的基本概念 恒定总流的连续性方程 恒定元流的能量方程 恒定总流的能量方程 能量方程的应用 恒定总流的动量方程 量纲分析与 定理
总流的动量方程是一个矢量方程式。为了计算方便，在直角 坐标系中的投影为：
ρQ (β2 ν2 x β1ν1x ) Fx ρQ (β2 ν2 y β1ν1 y ) Fy ρQ (β2 ν2 z β1ν1z ) Fz
M 依动量定律： F t
FP1 p1 A, FP 2 p2 A
沿x轴方向动量方程为 ρQβ(ν2 ν1cosθ ) p 1 A1cosθ p2 A2 FR x
因 ν出
FR x
1 cosθ βρQ ( ) p1 A1cosθ p2 A2 A2 A1
vv A


A
u 2 dA
v2 A
动能修正系数是表示单位时间内通过断面的实际动量 与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。 常采用
1.0 ，因为 Q1 Q2 Q
故有： ΔM
ρQdt (β2 v2 β1 v1 )
于是得恒定总流的动量方程为：
ρQ(β2 v2 β1 v1 ) F
本例中流体水平转 弯，铅垂方向无动量变 化，重力不出现。
6
7
对于未知的边界作用力可先 假定一个方向，如解出结果为正 值，说明原假设方向正确；如解 出结果为负值，则作用力方向与 原假设方向相反。
动量方程中出 现的是弯管对水流 的作用力，水流对 弯管的作用力是其 反作用力。
例3 有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示， 弯头转角为90o,起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长 度L为3.14m，两断面中心高差z为2m，已知1-1断面中 心处动水压强 p1 为117.6kN/m2，两断面之间水头损失 hw为0.1m，已知管径d为0.2m，试求当管中通过流量 Q 为0.06m3/s时，水流对弯头的作用力。
dm u1dtdA1 dM u1 dm u1 u1dtdA1
1′
动量方程的投影表达式：
F F F
x y z
Q(2V2 x 1V1x ) Q(2V2 y 1V1y ) Q(2V2 z 1V1z )
适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或 渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。 如图所示的一分叉管路，动量 方程式应为：
实际液体恒定总流的动量方程式
1′ 1
t时刻
u1
2 t+△t时刻
2′
即：单位时间内，物体动量 的增量等于物体所受的合外力 △t时段内，动量的增量：
dA1 1 2
u2 dA2 2′
代入动量定律，整理得： F Q(2V2 1V 1)
即为实际液体恒定总流的动量方程式
M M 1 2 M 1 2 M 2 2 M11 在均匀流或渐变流过水断面上 u2 u2 dtdA2 u1 u1dtdA1 u V A2 A1 单位时间内，通过所研究流段 V u dtdA V u dtdA 作用于总流流段上所有 下游断面流出的动量与上游断 2 2 2 1 1 1 2V2 dt U 2 d A2 1V1 dt U1d A1 A2 A1 外力的矢量和 面流入的动量之差 2 dtQ2V2 1 dtQV V1 ) 1 1 dtQ(2V2 1
应用动量方程时要注意以下各点：
1．建立坐标系：动量方程式是向量式，因此，必须首先选 定投影轴，标明正方向，其选择以计算方便为宜。
z FP1 FR
2
2
y
x
FG FP2
2．取脱离控制体：控制体一般取整个总流的边界作为控制 体边界，横向边界一般都是取过水断面。 3．动量方程式的左（右）端，必须是输出的动量减去输入的 动量，不可颠倒。 或（下游断面的动量）-（上游断面的动量）
Q( 2v2 x 1v1x ) F x
Q( 2 v2 y 1v1 y ) F y
Q( 2v2 z 1v1z ) F z
恒定总流动量方程建 立了流出与流进控制体 的动量流量之差与控制 体内流体所受外力之间 的关系，避开了这段流 动内部的细节。对于有 些水力学问题，能量损 失事先难以确定，用动 量方程来进行分析常常 是方便的。
沿z轴动量方程
βρQ0 ( ν1sinθ) p1 A1sinθ G FR z
由上式可解出
sinθ FR z βρQ p1 A1 sinθ G A1
2
液体对弯管离心力的作用使弯头有发生位 移的趋势，同时由于动水压力的脉动影响可以 使管道产生振动，为此在工程大型管道转弯的 地方，都设置有体积较大的镇墩将弯道加以固 定。
3.7
恒定总流的动量方程
质点系运动的动量定律：质点系的动 量在某一方向的变化，等于作用于该质点 系上所有外力的冲量在同一方向上投影的 代数和。
3.7.1 恒定总流动量方程
1.在恒定总流中，取出某 一流段来研究。该流段两 端过水断面为1-1及2-2。 2.经微小时段 dt 后，设原流 段1-2移至新的位置1′-2′。 3.流段内动量的变化ΔM 应 等于1′-2′与1-2流段内液体 的动量 M1′-2′和 M1-2之差。
Rx p1 A1 1QV1
Rx p1 A1 1QV1
沿z方向列动量方程为：
沿y方向列动量方程为：
p2 A2 G Rz Q(2V2 0)
Ry p2 A2 Q(2V2 0) Ry p2 A2 2 QV2
Rz p2 A2 G 2 QV2
水排
水排简介
东汉初（公元31年）杜诗制造的 “水排”，利用溪水流作原动力， 转 动鼓风机械供冶炼和铸造铁器农具。这种水平装置的转轮，利 用水流动量原理，是近代水轮机的先驱。水排主体包括装在同 一主轴上的两个水平木轮，将装有叶板的下轮放在河中，水流 冲击叶板即使下轮转动，上轮也同时转动，再带动旁边的绳轮 和连杆、平轴等传动机械，使鼓风的皮囊一开一合地连续运动， 即可把空气送到炼铁炉内。这种利用水流作用力推动轮叶的作 法，是完全和现代水力学的理论相符的，用于冶金、筛面、舂 米、磨面、纺纱和提水扬水工具。
P 1 p1 A P2 p2 A
Ry Rx
P1
2 1 1.0
o
x
R y tan( R , x ) R Rx R y Rx R为R’的反作用力
2 2
本例要点 1 动量方程是矢量式，式中 作用力、流速都是矢量。动量 方程式中流出的动量为正，流 入为负。 2
0
0 Q( 2v2 y 1v1y ) P sin 60 R 1 y
1 2 πd 4 Q v1 v2 A v1x v1 cos 600 A
R’
R’ y 2 v2 2
y
v1 y v1 sin600
P2
R’x
1
v1 60o
1
代 入 解 得
v2 x v2
v2 y 0
弯管内水流对管壁的作用力
1 V1 Rz
管轴竖直放置 管轴水平放置
R
Fx V2 V1 Ry
P1=p1A1
1
R
Rx
P1=p1A1 x y
V2
z
2
2
G
x
y
P2=p2A· 2
P2=p2A· 2
沿x方向列动量方程为：
沿x方向列动量方程为：
p1 A1 Rx Q(0 1V1 )
p1 A1 Rx Q(0 1V1 )
例1
水流对弯管的作用力 已知
R’ R’ y 2 R’x v2 2 P2
弯管水平转过60度
d = 500mm Q = 1m3/s
p1 18 m( H 2 O) g p2 17 .7 m( H 2 O) g
y
1
v1 60o
1
P1
o
x
求
水流对弯管的 作用力R
Q( 2v2 x 1v1x ) P 1 cos60 P 2 Rx
应用动量方程时要注意以下各点：
z FP1 FR
2
2
y
x
FG FP2
4．正确分析受力，未知力设定方向：对欲求的未知力，可以 暂时假定一个方向，若求得的该力的计算值为正，表明原假定 方向正确，若所求得的值为负，表明与原假定方向相反。 ５．设β１≈1，β２≈1。 6．动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时， 必须借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求 解。
3.7.2 恒定总流动量方程式应用举例
应用实例（1）: 弯管内水流对管壁的作用力
弯管中水流为急变流，动水压 强分布规律和静水压强不同，因此 不能用静水压力的计算方法来计算 弯管中液体对管壁的作用力。但弯 管以外的渐变流段 p静=p动
取如图所示控制体，作用 于控制体上的力包括两端断面 上的动水压力，还有管壁对水 流的反作用力和重力。