给定流体质点速度 ，时间dt内 移动距离 dr dx, dy, dz vdt
迹线微分方程为
dx dy dz dt vx x, y, z, t v y x, y, z, t vz x, y, z, t
给定起始时刻 t0质点的坐标 (a,b,c) ，积分可得该质点 的迹线方程。
思考：
• 请判断下列说法是否正确：过流场中的一点可以有
多条迹线。 A. 根本不可能； B. 在定常流中是正确的； C. 在不定常流中是正确的。 • 请判断下列说法是否正确：过流场中的一点可以有 多条流线。 A. 根本不可能； B. 在定常流中是正确的； C. 在不定常流中是正确的。
第三章 流体动力学基础
第一节 流体运动的描述方法
第三章 流体动力学基础
二、欧拉方法
右图中质点p的位置不断变化，位置也是t的函数，物 理量N(t) 可表示为
N p N p [ x p (t ), y p (t ), z p (t )]
第三章 流体动力学基础
第一节 流体运动的描述方法
二、欧拉方法 所以，在欧拉方法中，一切描述流体运动的参数都 是空间坐标和时间的函数，即
v x v x ( x , y , z , t ) v y v y ( x , y , z , t ) v v ( x , y , z , t ) z z
vx vx vx vx ax vx vy vz t x y z
第三章 流体动力学基础
第一节 流体运动的描述方法
第二节 流动的类型 定常流动、非定常流动
定常流动： 非定常流动：
飞行器绕流
P点轨迹 P
P
地面观察者
相对坐标系中的观察者
思考：
• 在风洞实验中，将飞机或汽车模型固定在洞
壁上，让空气匀速地流过模型。请问这种流 动属于： A. 定常流动 B. 不定常流动
第三章 流体动力学基础
第二节 流动的类型
一维流动、二维流动和三维流动
p p ( x, y , z , t ) T T ( x, y, z , t ) ( x, y , z , t ) vy vz vx 加速度 a dvx vx vx dx vx dy vx dz x dt t x dt y dt z dt
第三章 流体动力学基础
第一节 流体运动的描述方法
三、拉格朗日方法与欧拉方法的比较
由于组成流体的流体微团数目是巨大的，区分和追 踪每一个流体微团的运动将遇到数学上的困难，所 以拉格朗日方法是不实用的； 实际上，更关心流动参数在空间的分布规律，没有 必要关心每一个流体微团在空间中的运动情况，因 此除个别情况外，不使用拉格朗日研究方法； 使用欧拉方法可以获得各空间点处的流动情况，更 符合人们了解流动的需要，所以欧拉方法在流体力 学中得到了广泛应用。
dp p p p p p v p vx vy vz dt t t x y z dT T T T T T v T vx vy vz dt t t x y z d v vx vy vz dt t t x y z

x v x v x (a, b, c, t ) t y v y v y (a, b, c, t ) t z v z v z (a, b, c, t ) t
v x 2 x 2 a x a x ( a , b, c , t ) t t v y 2 y 2 a y a y ( a , b, c , t ) t t v z 2 z 2 a z a z ( a , b, c , t ) t t
二、欧拉方法 写成矢量形式
i j k x y z dv v a v v 哈密顿算子 dt t
全导数 随体导数
当地导数 空间点上由于 速度随时间变 化引起的加速度 时变加速度
迁移导数 由各空间点上 速度不同引起的加速度 由流场不均匀性产生 位变加速度
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学的基本概念 二、流线 某时刻 t时，连接流场中各点流体微团运动方向的光 滑曲线。与欧拉方法相联系； 流线上每一点的切线方向与流经该点的流体微团的 速度相同，或者说流线与流体微团的速度方向相切
dr v 0
展开得流线微分方程
dx dy dz vx x, y, z, t v y x, y, z, t vz x, y, z, t
工程流体力学基础
第三章 流体动力学基础
流体运动的描述方法
流动的类型 流体动力学的基本概念 系统、控制体、输运公式 连续方程 动量方程 能量方程 伯努利方程及其应用
流线法线方向速度和压强的变化
第三章 流体动力学基础
流体动力学：利用基本守恒定律
1．质量守恒定律（The Law of the Conservation of Mass）； 2．牛顿第二运动定律（Newton’s Second Law of Motion）； 3．热力学第一定律（The First Law of Thermodynamics）； 4．热力学第二定律（The Second Law of Thermodynamics）； 推导流体运动的控制方程组，研究流体在外力作用下的运动 规律。
第三章 流体动力学基础
第一节 流体运动的描述方法
二、欧拉方法 欧拉方法关心流动区域中各个空间位置上的流动情 况，着眼点在流动的空间位置； 欧拉方法相当于在流场中的每一个空间点上都布置 一个观察者，每个观察者只负责观察和记录流体微 团通过其所在空间点时的速度、加速度、压强、温 度以及密度等参数的变化； 将所有观察者在同一瞬时的观察结果汇集在一起就 可以了解流体的全部运动情况，即可以得到流动参 数在流动空间中的分布状况 —— 欧拉方法是对“场” 进行研究；
积分可得流线方程。
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学的基本概念 二、流线 流线的性质
由于流体微团在时刻 t 时的流动方向只能有一个，所以流线一
般不会彼此相交； 在流线的法向上流体微团没有速度，所以流体微团不能跨越流 线流动，即流线如同固体壁面一样可以限制流体的运动； 流线的疏密反映了流动速度变化，亚声速流中密集的地方流速 大，稀疏的地方流速小。
气的速度和压强，请问它采用的研究方法是： A. 拉格朗日法； B. 欧拉法； C. 两者均不是。 B,对。参照系是飞机，固结于飞机上的坐标系也是欧 拉坐标系。
第三章 流体动力学基础
第二节 流动的类型 按照流体性质划分
可压缩流体流动、不可压缩流体流动； 理想流体流动、黏性流体流动； 牛顿流体流动、非牛顿流体流动； 磁性流体流动、非磁性流体流动；
第三节 流体动力学的基本概念 三、与流线相关的概念 流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该 周线上的所有流线组成的管状表面；
流体不能穿过流管，流管就像真正
的管子一样将其内外的流体分开；
流束——充满流管的一束流体； 微元流束——截面积无穷小的流束； 微元流束的极限是流线，但二者有区别：流束是一 个物理概念，而流线是一个数学概念，只是某一瞬 时流场中的一条光滑曲线。 总流 —— 截面积有限大的流束。如河流、水渠、水 管中的水流及风管中的气流都是总流。
流体由无穷多微团（或称流体质点）组成，流动是 充满一定空间的无穷多流体质点运动的综合； 流动的流体称为流场，流体动力学研究流场参数的 变化与分布规律。
第三章 流体动力学基础
第一节 流体运动的描述方法
一、拉格朗日方法 拉格朗日方法以流体质点为研究对象，观察质点的 运动规律。质点具有固定不变的质量，可直接使用 基本定律研究其运动规律 ； 将流动空间中连续存在的所有流体微团的空间位置、 速度、加速度、压强、温度、密度等参数都确定下 来，综合所有质点的运动就可以确定一定空间内流 体的运动——质点系方法或跟踪法； 用这种方法可以表示、跟踪和了解每一个流体微团 的运动情况。
思考：
• 请判断拉格朗日法适合于描述下述哪一类流动：
研究一污染物粒子在水中运动的轨道； B. 研究无数质点组成的质点群的运动； C. 研究一流动空间的速度分布。 A，对；B,虽适合，但描述无数质点运动的数学方程 十分复杂，难以求解。C,错。拉格朗日法不能给 出流体速度的空间分布。
A.
思考：
• 某人坐在匀速运动的飞机上测量和记录周围各点空
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
三维流动→二维流动
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学的基本概念 一、迹线 流体质点的运动轨迹线，与拉格朗日方法相联系； 设某流体质点的位置坐标为
r xa, b, c, t i ya, b, c, t j za, b, c, t k
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学的基本概念 四、缓变流与急变流 流束内流线夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎 平行直线的流动为缓变流。否则即为急变流；
d dt
t
v
思考：
• 图为一水箱带一收缩圆锥喷嘴，水位高h。请判断
下列说法是否正确： ① h为为常数时点2的加速度为零，点1有迁移加速度 ② h随时间变化时，2点只有当地加速度，点1既有当 地加速度又有迁移加速度
第三章 流体动力学基础
第一节 流体运动的描述方法
二、欧拉方法 随体导数对标量同样适用，如
第三章 流体动力学基础
第一节 流体运动的描述方法
一、拉格朗日方法 用数学公式描述流体微团的空间坐标，即为
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )