第二章 质点动力学四、习题选解2-1 光滑的水平桌面上放有三个相互接触的物体，它们的质量分别为.4,2,1321kg m kg m kg m ===（1）如图a 所示，如果用一个大小等于N 98的水平力作用于1m 的左方，求此时2m 和3m 的左边所受的力各等于多少（2）如图b 所示，如果用同样大小的力作用于3m 的右方。

求此时2m 和3m 的左边所受的力各等于多少（3）如图c 所示，施力情况如（1）， 但3m 的右方紧靠墙壁（不能动）。

求此时2m 和3m 左边所受的力各等 于多少解：（1）三个物体受到一个水平力的作用，产生的加速度为a ρ()a m m m F ρρ321++=232114-⋅=++=s m m m m Fa ρ用隔离法分别画出32,m m 在水平方向的受力图（a ），题2-1（a ）图由a m F ρρ=a m f f ρ23212=- a m f ρ323= 2332f f =N f 5623= N f 8412=（2）由()a m m m F ρρ321++=232114-⋅=++=s m m m m Fa用隔离法画出321m m m 、、在水平方向的受力图（b ）由a m F ρρ= 得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-=-3223122112121232323f f f f am f a m f f a m f F解得： N f 1412= N f 4223=题2-1（b ）图（3）由于321m m m 、、都不运动，加速度0=a ，三个物体彼此的作用力都相等，都等于FN f f 982312== 2-2 如图所示，一轻质弹簧连接着1m 和2m 两个物体，1m 由细线拉着在外力作用下以加速a 竖直上升。

问作用在细线上的张力是多大在加速上升的过程中，若将线剪断，该瞬时1m 、2m 的加速度各是多大解：（1）分别画出1m 、2m 受力的隔离体如图（a ），题2-2（a ）图取向上为正方向，由牛顿第二定律⎪⎩⎪⎨⎧='=-'=--f f a m g m f a m g m f T 2211故 ()()a g m m g m g m a m a m T ++=+++=212121 （2）将线剪断，画出21m m 、的隔离体图，如图（b ）题2-2（b ）图取竖直向上为正方向，由牛顿第二定律得⎪⎩⎪⎨⎧='=-'=--f f a m g m f a m g m f 222111 得⎪⎩⎪⎨⎧+--==-=)(/)'(121222a g m m g a a m g m f a 1a ρ 的方向向下，2a ρ的方向向上。

2-3 如图所示，将质量为kg 10的小球挂在倾角ο30=α的光滑斜面上。

求（1）当斜面以加速度3ga =沿水 平方向向右运动时，绳中的张力及 小球对斜面的正压力；（2）当斜面的加速度至少为多大时，小球对斜面的正压力为零解：（1）画出小球在以加速度向右运动时的隔离体图2-3（a ）。

题2-3（a ）图小球受三个力的作用，拉力T ρ，正压力N ρ和重力g m ρ，在水平和竖直方向建坐标系xOy ，由牛顿第二定律ma N T =-ααsin cos 0cos sin =-+mg N T ααg a 31=解得 N mg mg N 5.68sin 31cos =-=ααN T 3.77=（2）若小球对斜面的正压力为零，受力如图2-3（b ）则由牛顿第二定律 得ma T =αcosmg T =αsin20.17cot -⋅==s m g a α当斜面加速度至少为217-⋅s m 时小球对斜面正压力为零。

题2-3（b ）图2-4 如图所示，质量分别为kg 0.1、kg 0.2、kg 0.3的A 、B 、C 三个物体，沿光滑斜面向上运动，斜面与水 平面的夹角为ο30，作用在A 物体上的 拉力为N 40，忽略物体间绳索的质量。

求：（1）物体的加速度；（2）A 、B 之 间绳中张力；（3）B 、C 之间绳中张力。

解：建立如图所示xOy 坐标。

画出A 、B 、C 受力的隔离体图，各物体加速度为a ρ，绳的张力11T T '=、22T T '=，各物体沿y 轴的加速度为零，在y 轴方向的合力为零。

由牛顿第二定律a m F ρρ= 得题2-4图A 物体 a m T P F 111sin =--α ①B 物体 a m T P T 2221sin =--'α ②C 物体 a m P T 332sin =-'α ③由①、②、③得 ()321321sin m m m P P P F a ++++-=α()232132177.1sin -⋅=++++-=s m m m m gm m m F αa ρ的方向沿x 轴正方向，即沿斜面向上 由①式 A 、B 间绳中张力()N a g m F a m P F T 3.33sin sin 11111=+-=--=αα 由②式 B 、C 间绳中张力()N a g m a m P T 0.20sin sin 3332=+=+=αα2-5 如图所示，在一轻滑轮上跨有一轻绳，绳的两端连接着质量分别为kg 2和kg 1的物体A 、B 。

现以N 50的恒力F 向上 提滑轮的轴，不计滑轮与绳间的摩擦， 求A 和B 的加速度。

解：设滑轮相对于地面的加速度为a ，物 体A 、B 相对于滑轮的加速度为a '。

则物体A 相对于地面的加速度为a a a -'=1，方向竖直向下。

物体B 相对于地面的加速度为a a a +'=2，方向竖直向上。

由牛顿定律得题2-5图()a a m T g m -'=-11 ① ()a a m g m T +'=-22 ②因不计滑轮质量，并不计摩擦 T F 2= ③ 由以上三式得 F m m m m a 21214-='g F m m m m a -+=21214则 2117.22-⋅=-=-'=s m m Fg a a a 2222.152-⋅=-=+'=s m g m Fa a a 2-6 如图所示，系统置于以2g a =的加速度上升的升降机内，A 、B 两物体质量均为m 。

A 所在的桌面是水平的， 绳子和定滑轮质量均不计，若忽略 一切摩擦，求绳中张力。

解：当升降机以g a 21=加速度上升时，设A 和B 相对升降机的加速度大小为'a ，则A 相对地面的加速沿水平方向分量为a a '=1，B 相对地面的加速度为a a a '-=2。

由牛顿第二定律得1ma T =①2ma mg T =- ② 把a a '=1，a a a '-=2，g a 21=代入①、②两式得： g a 43=' mg a m T 43='= aaa 'a 1=a 'TAB题2-6图2-7 一桶内盛水，系于绳子的一端，并绕O 点以角速度ω在竖直平面内匀速转动。

设水的质量为m ，桶的质量为M ，圆周半径为R ，问ω应为多大时才能保证水不流出来又问在最高点和最低点时绳中张力多大 解：要使水不流出来，则在最高点向心加度n a 应大于等于重力加速度R RR R v a g n 2222ωω==== Rg=ω 题2-7图 在最高点绳对水桶的拉力为1T()()n a m M g m M T +=++1()()g m M R m M T +-+=21ω题2-7（a ）图=()()g R m M -+2ω此时绳的张力 ()()g R m M T T -+=='211ω 在最低点绳对水桶的拉力为2T题2-7（b ）图()()n a m M g m M T +=+-2 ()()g m M R m M T +++=22ω ()()g R m M ++=2ω此时绳的张力()()g R m M T T ++=='222ω2-8 某段圆弧形公路的曲率半径为m 122，公路的倾角是按14.64-⋅h km 的车速而设计的。

求（1）公路的倾斜角；（2）若公路没有倾斜，车胎与路面间的摩擦系数至少应为多大，车辆才不致外滑解：（1）设公路倾斜角为θ，若使汽车在转弯时车轮没有侧向摩擦力，向心加速度由地面对车的正压力N ρ的水平分量提供。

mg N =θcos ①Rv m ma N n 2sin ==θ ②由①、②两式： Rgv 2arctan =θ()ο15268.0arctan ≈= 题2-8图 （2）若路面没有倾斜，向心力由轮胎与路面间的摩擦力提供 n r ma f =R v m mg 2=μ268.02==Rgv μ 2-9 质量kg 5.1的物体被竖直上抛，初速度为160-⋅s m ，物体受到的空气阻力数值与其速率成正比，103.0,-⋅⋅==m s N k kv F 阻，求物体升达最高点所需的时间及上升的最大高度。

解：（1）物体抛出后，受重力和空气阻力作用而减速，由牛顿第二定律dtdvmkv mg =-- 分离变量 kvmg mdvdt +-= ①开始抛出时 1060,0-⋅==s m v t 到最高点时 0,.==v t t 对①式积分⎰⎰+-=tvv kvmg mdvdt 0()s mg kv mg k m kv mg k m t v 8.5ln ln 0≈+=+-=（2）由dx dvv dt dx dx dv dt dv ==dx dvmvkv mg =-- ②对②式分离变量，积分⎰⎰+-=x v kv mg mvdv dx 0()[]020|ln v kv mg mg kv mg k m x +-+-=m mg kv mg mg kv k m 170ln 002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--= 2-10 一个圆锥摆的摆线长为l ，摆线与竖直方向的夹角恒为θ，如图所示。

求摆锤转动的周期。

题2-10图 解：摆线受重力mg 和绳的张力T 的作用。

竖直方向 mg T =θcos ① 水平方向 n ma T =θsin ②22222sin θωωωl R RR R v a n ==== 代入②式 2sin sin θωθml T =2ωml T = 代入①式 mg ml =θωcos 2θωcos l g=故摆锤转动的周期 gl T θπωπcos 22==2-11 一质量为m 的物体，以初速0v 从地面抛出，抛射角ο30=θ，如忽略空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中，求物体动量增量的大小及方向。

解：取抛出点为原点，建xOy 坐标。

忽略空气阻力，物体沿x 轴方向的速度 分量不变化，动量增量为零；落地时沿y 轴方向的速度分量与抛出时y 轴方向的 速度分量大小相同，方向相反。