基础巩固篇第一讲平行线及其判定思维导图重难点分析重点分析：1. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示.2. “三线八角” ：两条直线被第三条直线所截，构成八个角，称为“三线八角” ，这八个角中，同位角有四对，内错角有两对，同旁内角有两对.3. 平行线的判定方法：（1）根据定义判定；（2）三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（3）平行的传递性；（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.难点分析：1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也不一定平行.2. 过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这一性质指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性” ，要注意“直线外一点”这一条件.3. 平行线的判定定理是通过角的关系说明直线的位置关系，实现了几何条件之间的转化，应用定理时要注意正确判断角的位置特征.例题精析例1、在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个思路点拨：根据直线的性质公理、相交线的定义、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解.解题过程：①过两点有且只有一条直线，正确；②两条不相同的直线若相交则有且只有一个公共点，若平行则没有公共点，故错误；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；综上所述，正确的有①③④共 3 个. 故选 C.方法归纳：本题考查了平行公理、直线的性质、垂线的性质以及相交线的定义，属于基础概念题，熟记概念是解题的关键.易错误区：两条不相同的直线除了平行外，如果不在同一平面内，也可能没有公共点.例2、如图，标有角号的7 个角中共有对内错角，对同位角，对同旁内角.思路点拨：根据内错角、同位角及同旁内角的定义判断即可求得本题. 解题过程：共有 4 对内错角：分别是∠ 1和∠4，∠2 和∠5，∠6 和∠1，∠5和∠7；2 对同位角：分别是∠ 7 和∠ 1 ，∠ 5 和∠ 6 ；4对同旁内角：分别是∠ 1和∠5，∠3 和∠ 4，∠ 3和∠ 2，∠ 4和∠ 2. 方法归纳：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由这两个角在图形中的相对位置决定. 在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.易错误区：同位角的边构成“ F”形，内错角的边构成“ Z”形，同旁内角的边构成“ U”形. 图形较为复杂，要注意从复杂的图形中分解出基本图形.例3、（1）如图1，AB，CD，EF 是三条公路，且AB⊥EF，CD⊥EF.试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，若小路OM平分∠ EOB，通往加油站N的岔道O′N平分∠ CO′ F，试判断OM与O′N 的位置关系.思路点拨：（1）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可证得AB∥ CD；（2）可通过构建直线OM与O′N 的同位角来得出OM∥O′ N的结论.解题过程：（1）∵ AB⊥EF，CD⊥ EF，∴ AB∥ CD（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行）.（2）如图，延长NO′与AB交于点P.∵OM平分∠ EOB，O′ N平分∠ CO′F，∴∠ EOM=∠FO′N=45° .∵∠ FO′ N=∠ EO′ P，∴∠ EOM=∠EO′P=45° .∴ OM∥ O′N（同位角相等，两直线平行）.方法归纳：本题主要考查了平行线的判定方法. 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.易错误区：第（2）题中虽然有∠ EOM与∠ FO′N相等，但它们不是同位角，不能直接用来判定两直线平行.例4、如图，∠ ABD和∠ BDC的平分线交E，BE的延长线交CD于点F，∠ 1+∠2=90°.于点（1）求证：AB∥ CD；（2）试探究∠ 2 与∠3 的数量关系.思路点拨：（1）根据BE，DE分别平分∠ ABD，∠BDC，且∠ 1+∠2=90°，可得∠ ABD+∠ BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行；（2）根据∠ 1+∠ 2=90°，可得∠ BED=90°，从而可得∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠ 3与∠2 的数量关系解题过（1）证明：∵ BE，DE分别平分∠ ABD，∠ BDC，11 ∴∠1= ∠ ABD，∠ 2= ∠BDC.22 ∵∠ 1+∠2=90°，∴∠ ABD+∠ BDC=180° . ∴ AB∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）. （2）∵ DE平分∠ BDC，∴∠ 2=∠ FDE. ∵∠ 1+∠2=90°，∴∠ BED=∠ DEF=90°. ∴∠ 3+∠ FDE=90°. ∴∠ 2+∠3=90°. 方法归纳：本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，注意题中各角之间的数量关系要理清楚.易错误区：第（2）题中的数量关系不是等量关系，不要误认为∠2=∠3.例5、如图1，已知∠ EAC=90°，∠ 1+∠2=90°，∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4. 求证：（1）DE∥BC；2）若将图形改变为图2、图3，其他条件不变，1）中的结论是否成立？若成立，请选择一个图形予以证明；若不成立，思路点拨：（1）首先证明∠ 1+∠3+∠ 2+∠4=180°，进而证明∠ D+∠B=180°，即可解决问题；（2）在图 2 中，连结CE，证明∠ AEC+∠ACE+∠3+∠ 4=180°，即可解决问题. 解题过程：（1）如图1，∵∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4，∴∠ 1+∠ 3+∠ 2+∠ 4=2（∠ 1+∠2）.∵∠ 1+∠ 2=90°，∴∠ 1+∠ 3+∠ 2+∠4=180°.∵∠ D+∠ B+∠ 1+∠3+∠2+∠4=360°，∴∠ D+∠ B=180° .∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）（2）成立. 如图，连结EC.∵∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4，且∠ 1+∠2=90°，∴∠ 3+∠ 4=∠ 1+∠2=90°.∵∠ EAC=90°，∴∠ AEC+∠ACE=180° -90 °=90°.∴∠ AEC+∠ACE+∠3+∠ 4=180°. ∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∴（1）中的结论仍成立.图 3 用类似方法可得DE∥ BC.方法归纳：本题考查了平行线的判定问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角度数关系（三角形三个内角和等于180°），结合平行线的判定定理来分析、判断、解答易错误图 2 通过连结EC将∠3 和∠ 4的关系用三角形联系起来是本题探究提升例、三条直线两两相交于三点（如图1），共有几对对顶角？几对邻补角？几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？四条直线两两相交呢（如图2）？你能发现n 条直线两两相交的规律吗？思路点拨： 解题的关键在于找到每个图形中含有几个三线八角的基本图形， 三条直线两两相交， 共有 3 个三线八角的基本图形；四条直线两两相交有 12 个三线八角的基本图形 .n 条直线中任选两条有 n （n 1） 种选法，然后在剩下的（ n-2）条直线中任选一条直线作为截线共有（ n-2 ）2 种选法，所以 n 条直线两两相交共有 n （n 1）（n 2） 个三线八角的基本图形 .2解题过程： 三条直线两两相交于三点，共有 6 对对顶角， 12 对邻补角， 12 对同位角， 6 对内 错角， 6对同旁内角；四条直线两两相交，共有 12 对对顶角， 24对邻补角， 48 对同位角， 24 对内错角， 24 对同旁内角； n 条直线两两相交，共有 nn-1 对对顶角， 2nn-1 对邻补角， 2nn-1 （ n-2 ）对同位角， nn-1 （n-2 ）对内错角， nn-1 （ n-2 ）对同旁内角 .方法归纳： 对于规律题关键在于找出规律，但在找到规律的同时还需要明确基本图形的特征 . 易错误区： 本题通过分解图形，利用“三线八角”这一基本图形解决问题，仅利用图形找角是 不容易找全的 .专项训练拓展训练A 组3. 如图，请填写一个你认为恰当的条件： ，使 AB ∥ CD.4. 如图，有下列判断：①∠ A 与∠ 1是同位角；②∠ A 与∠ B 是同旁内角；③∠ 4 与∠ 1是内错 角；④∠ 1与∠3是同位角 .其中正确的是 （填序号） .1. 如图，列条件中，能判定 DE ∥ AC 的是（ 1 题）②④ ）.A. ①②2. 如图，（第 8 题）5. 如图，∠ A=70°， O 是 AB 上一点，直线 CO与 AB 所夹的∠ BOC=82°，当直线 OC 绕点 O 按逆 时针方向至少旋转 °时， OC ∥ AD. 6. 如图，已知∠ 1=∠2，∠ BAC=20°，∠ ACF=80°. （ 1）求∠ 2 的度数； （2）FC 与 AD 平行吗？为什么？ （3）根据以上结论，你能确定∠B 组7.在同一平面内，有 l 1，l 2，l 3，l 4四条直线，若 l 1⊥l 2，l 2⊥l 3， l 3⊥l 4， A.l B.lC.lD.l8.如图， AB ⊥ BC ，∠ 1+∠ 2=90°，∠ 2=∠3.求证： BE ∥DF.则（ ） .1⊥l 3， 1∥l 3， 1∥l 3， 1∥l 4， l 2 ⊥l 4 l 2 ⊥l 4 l 1 ⊥l 4 l 2 ⊥l 4 9. 如图， BD ⊥ AC 于点 D ， EF ⊥ AC 于点 F ，∠ AMD=∠ AGF ，∠1=∠ 2=35° . （ 1）求∠ GFC 的度数；（2）求证： DM ∥ BC.ABCD ，使其拐（第 7题） 走进重高1. 【柳州】如图，与∠ 1 是同旁内角的是（ ） .角∠ ABC=150°，∠ BCD=30°，则（）.A.AB∥BCB.BC∥CDC.AB∥DCD.AB 与CD相交3. 【淄博】如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，找出图中的平行线，并说明理由.4.如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，∠GHD.1）求证：CE∥ GF；2）试判断∠ AED与∠ D之间的数量关系，并说明理由；（第 6题）高分夺冠1. 直线a，b，c 在同一平面内，①如果a⊥ b，b⊥c，那么a∥c；②如果a∥ b，b∥c，那么 a ∥ c；③如果a∥b，b⊥c，那么a⊥ c；④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交.在上述四种说法中，正确的有个.4.将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中∠ A=30°，∠ B=60°，∠ D=∠E=45°.1）若∠ BCD=150°，求∠ ACE的度数；2）试猜想∠ BCD与∠ ACE之间的数量关系，并说明理由；（3）若按住三角尺ABC不动，绕顶点 C 转动三角尺DCE，试探究∠ BCD等于多少度时，CD∥ AB，并简要说明理由.（第4题）。