盐城市伍佑中学2019—2020学年春学期高三网上助学周练检测数学试题 3.13考试时间：120分钟 总分：160分 命题人：陈忠一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知A ＝[0，1]，B ＝{x|ln x ≤1}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z ＝(1＋3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的模为________．3. 已知数据x 1，x 2，…，x n (n ≥2)的标准差为则数据x 1，x 2，…，x n (n ≥2)的均值为________．4. 在区间[－1, 2]内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为________．6. 已知双曲线C ：x 24－y 2＝1的左焦点为F 1，P 为分支上一点．若P 到左准线的距离为d ＝95，则PF 1的长为________.7. 若函数f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为2，则ω的值为_____．8.若f(x)＝e x －ae x ＋a·sin x 为偶函数，且定义域不为R ，则a 的值为________．9.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________．10.在△ABC 中，边BC ，CA ，AB 上的高分别是h a ，h b ，h c ，且h a ∶h b ∶h c ＝6∶4∶3，则tan C ＝__________．11.设max{x ，y}＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x ＜y ，若定义域为R 的函数f(x)，g(x)满足：f(x)＋g(x)＝2xx 2＋1，则max{f(x)，g(x)}的最小值为________．12.如图，已知△ABC 中，BC ＝2，以BC 为直径的圆分别与AB ，AC交于M ，N ，MC 与NB 交于G.若BM →·BC →＝2，则∠BGC ＝105°，则CN →·BC →＝________．13.函数f(x)＝（x －1）2ln x在区间[α，2](1＜α＜2)上的最大值是________.14.若二次函数f(x)＝x 2－ax ＋2a －1存在零点，且零点是整数，则实数a 的值的集合为_____．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(8＋m ，m)．(1) 当m ＝－194时，求证：点A ，B ，C 是一个直角三角形的顶点；(2) 在△ABC 中，若∠ABC>π2，试求实数m 的取值范围．16. (本小题满分14分)如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1的各条棱长均为2，D ，E 分别为棱B 1C 1，AC 的中点，O 是侧面ABB 1A 1的中心，过D 作DG ⊥A 1B 1于G ，过E 作EF ⊥AB 于F ，连结GF.求证：(1) G ，O ，F 三点在一条直线上； (2) DE ∥平面ABB 1A 1.在正项数列{b n }中，若4(1－q)(b 1＋b 2＋…＋b n )＝1－q n (∀n ∈N *，q ≠1)，b 8＝8b 5. (1) 求{b n }的通项公式；(2) 若数列{a n }满足a n ＝log 2b n ，数列{a n } 的前n 项的和为S n ，求数列{nS n }的最小项的值．18. (本小题满分16分)某开发商在对某小区进行规划时，准备设计一个圆形的活动中心．为达到提高小区居民的满意度，进行如下设计：在圆内接四边形ABCD 中，△ABD 所在的区域作为绿化区域，△BCD 所在的区域建一个儿童游乐场，其余的为休闲区域，以上三种区域的建造费用由国家贴补．图中BC ＝60 m ，CD ＝40 m.(1) 若BD ＝207 m ，AD ＝2AB ，求休闲区域的面积；(2) 若AD ＝40 m ，设∠BCD ＝θ∈(0，π2)，经验表明：当S △ABDtan θ≥40时，该圆形活动中心的舒适度指数最高．试求该圆形活动中心的舒适度指数最高时cos θ的取值范围．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，A 1，A 2为椭圆C 的左、右顶点，椭圆的右焦点为F ，椭圆C 的离心率为e.(1) 设y ＝kx 的倾斜角为θ，直线y ＝kx 与椭圆交于D ，E 两点，DF ⊥EF ，e ＝12，求cos 2θ4＋sin 2θ3的值； (2) 设过点F 且斜率为1的直线与椭圆交于P ，Q(其中P ，Q 分别在x 轴的上、下方)，当S △PA 2F S △QA 1F的最小值为12时，求证：e 2－3(1＋2)e ＋2≥0.20. (本题满分16分)已知函数f(x)＝e －x (x 2＋ax －2a 2＋3a)．(1) 若f(x)在区间[0，2]上有极值，求a 的取值范围；(2) 若a ≥－6，讨论方程f(x)＝（2a ＋4）ln （x ＋1）－2a 2＋3ae x在区间(0，2]的实根个数.附加题21. A. (选修42：矩阵与变换)若直线l ：x ＝ky 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110k 对应的变换作用下得到的直线l′与直线l 重合，求k 的值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系(ρ， θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρcos θ＝1与曲线ρ＝2sin θ的交点Q 的极坐标．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上．(1) 若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小；(2) 若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度．23. (1) 将一枚质地均匀的硬币连续抛n(n ∈N *)次，求正面向上为奇数次的概率； (2) 将一枚有瑕疵的硬币连续抛n(n ∈N *)次，若出现正面的概率是p(p ≠12)，求正面向上为奇数次的概率(用含有n 的最简式子表示)．1. (0，1] 解析：由条件得B ＝(0，e]，所以A ∩B ＝(0，1]．2. 10 解析：由题知z ＝(1＋3i)2＝－8＋6i ，所以|z|＝（－8）2＋62＝10.3. 2 解析：因为数据x 1，x 2，…，x n (n ≥2)的标准差为所以数据x 1，x 2，…，x n (n ≥2)的均值为2.4. 23 解析：易得正数的取值区间长度是2，总长度是3，由几何概型得所求概率为23.5. {49，45，38，28} 解析：i ＝1时，输出S ＝50－1＝49；i ＝4时，输出S ＝49－4＝45；i ＝7时，输出S ＝45－7＝38； i ＝10时，输出S ＝38－10＝28，所以输出的结果的集合为{49，45，38，28}． 6. 92 解析：双曲线的离心率为e ＝52，因为PF 1d ＝e ，所以PF 1＝ed ＝52×95＝92. 7. 34 解析：因为0＜ω＜1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以0≤ωx ≤πω3＜π3，所以f(x)max ＝2sin πω3＝2，所以sin πω3＝22，所以πω3＝π4，所以ω的值为34. 8. －1 解析：因为f(x)＝e x－a e x ＋a ·sin x 为偶函数，且y ＝sin x 为奇函数，所以y ＝e x －ae x＋a为奇函数．令g(x)＝e x －a e x ＋a ，则g(－x)＋g(x)＝e －x －a e －x ＋a ＋e x －a e x ＋a ＝1－ae x 1＋ae x ＋e x －ae x ＋a＝0，所以2（1－a 2）e x （e x ＋a ）（1＋ae x ）＝0.因为e x（e x ＋a ）（1＋ae x ）≠0，所以a ＝±1.因为f(x)的定义域不为R ，所以a ＝－1.9. 3π 解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h.因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以h＝3r.又由圆锥的侧面积为6π，可得12·2πr ·2r ＝6π，解得r ＝3，所以圆锥的体积V ＝13πr 2·h ＝13πr 2·3r ＝33πr 3＝3π. 10. －15 解析：设三边分别是a ，b ，c ，面积为s ，则a ＝2s h a ，b ＝2s h b ，c ＝2sh c.因为h a ∶h b ∶h c ＝6∶4∶3，所以a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14.所以sin C ＝154，所以tan C ＝－15.11. －12 解析：不妨设f(x)≤g(x)(∀x ∈R )，则max{f(x)，g(x)}＝g(x)≥f （x ）＋g （x ）2＝x x 2＋1.因为x ∈R ，且要求g(x)的最小值，所以必须x ＜0，所以x x 2＋1≥x 2x 2·1＝－12，当且仅当x ＝－1时取等号，所以max{f(x)，g(x)}的最小值为－12.12. －1 解析：由已知得∠BMC ＝∠BNC ＝90°.因为BM →·BC →＝|BM →|2，BM →·BC →＝2，所以|BM →|＝ 2.因为BC ＝2，所以∠BCG ＝45°.因为∠BGC ＝105°，所以∠CBG ＝30°，即∠CBN ＝30°，所以CN ＝1，所以CN →·BC →＝－CN →·CB →＝－|CN →|2＝－1.13. 1ln 2 解析：f′(x)＝（x －1）（2xln x －x ＋1）x （ln x ）2，令g(x)＝2xln x －x ＋1，因为x ∈[α，2](1＜α＜2)，所以g′(x)＝2ln x ＋1＞0，所以x ∈[α，2](1＜α＜2)时，g(x)＝2xln x －x ＋1＞0，所以f′(x)＝（x －1）（2xln x －x ＋1）x （ln x ）2＞0，所以f(x)＝（x －1）2ln x 在区间[α，2](1＜α＜2)上的最大值是f(2)＝1ln 2.14. {0，8} 解析：若二次函数f(x)＝x 2－ax ＋2a －1存在零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝a. 因为零点是整数，所以a 是整数．因为x 1，2＝a±a 2－8a ＋42，所以a 2－8a ＋4是完全平方数，且a ≥4＋23或a ≤4－2 3.令a 2－8a ＋4＝b 2(b ∈Z )，(a －4)2－b 2＝12(b ∈Z )，当a ≥4＋23时，不妨设b ＞0，(a －4＋b)(a －4－b)＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝12，a －4－b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝6，a －4－b ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝4，a －4－b ＝3， 所以a ＝8.同理得，当a ≤4－23时，不妨设b ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝－12，a －4－b ＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝－6，a －4－b ＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝－4，a －4－b ＝－3，所以a ＝0. 15. (1) 证明：因为OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(134，－194)，所以AB →＝(3，1)，AC →＝(14，－34)，所以AB →·AC →＝3×14＋1×(－34)＝0，所以∠A 为直角，即点A ，B ，C 是一个直角三角形的顶点．(4分)(2) 解：因为向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(8＋m ，m)，所以BA →＝(－3，－1)，BC →＝(m ＋2，m ＋3)．在△ABC 中，因为∠ABC ＞π2，所以BA →＝(－3，－1)与BC →＝(m ＋2，m ＋3)不平行，且BA →·BC →＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋2≠－1m ＋3，－3（m ＋2）＋（－1）（m ＋3）＜0，解得m ≠－72且m ＞－94，所以实数m 的取值范围是(－94，＋∞)．(14分)16. 证明：(1) 连结AG ，B 1F ，AB 1，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1，DG ⊂平面A 1B 1C 1， 所以AA 1⊥DG.因为AA 1∩A 1B 1＝A 1，所以DG ⊥平面ABB 1A 1.同理EF ⊥平面ABB 1A 1，所以DG ∥EF ，所以D ，E ，F ，G 四点共面．设△A 1B 1C 1的A 1B 1边上的高为h ，因为直三棱柱ABCA 1B 1C 1的各条棱长均为2， 所以h ＝ 3.因为D 为直三棱柱ABCA 1B 1C 1的棱B 1C 1的中点，所以DG ＝h 2＝32，同理EF ＝32，所以DG ＝EF ，所以四边形DEFG 为平行四边形．在正方形ABB 1A 1中，因为GB 1＝AF ＝12，GB 1∥AF ，所以四边形AFB 1G 为平行四边形，所以AB 1，GF 互相平分．因为O 是正方形ABB 1A 1的中心，即AB 1的中点，所以GF 经过O 点， 所以G ，O ，F 三点在一条直线上．(8分) (2) 由(1)知四边形DEFG 为平行四边形， 所以DE ∥FG.因为DE ⊄平面ABB 1A 1，FG ⊂平面ABB 1A 1， 所以DE ∥平面ABB 1A 1.(14分)17. 解：(1) 因为4(1－q)(b 1＋b 2＋…＋b n )＝1－q n (∀n ∈N *，q ≠1)，所以4(1－q)(b 1＋b 2＋…＋b n －1)＝1－q n －1(∀n ∈N *，n ≥2，q ≠1)，所以4(1－q)b n ＝q n －1－q n (∀n ∈N *，n ≥2，q ≠1)，所以b n ＝14q n －1(∀n ∈N *，n ≥2，q ≠1)．又4(1－q)b 1＝1－q 1(q ≠1)，所以b 1＝14，所以b n ＝14q n －1(∀n ∈N *，q ≠1)．因为b 8＝8b 5，所以q 3＝8，故q ＝2，所以b n ＝b 1q n －1＝14×2n －1＝2n －3，n ∈N *.(6分)(2) 由(1)可知a n ＝log 2b n ＝n －3，则数列{a n }是首项为－2，公差为1的等差数列，其前n项的和为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n 22－52n ，所以nS n ＝n(n 22－52n)＝n 32－52n 2，所以(nS n )′＝(n 32－52n 2)′＝3n22－5n.令(nS n )′＝0，得n ＝103，所以nS n 在⎣⎡⎦⎤1，103上单调递减，在[103，＋∞)上单调递增． 因为3S 3＝－9，4S 4＝－8，所以数列{nS n }最小项的值是－9.(14分) 18. 解：(1) 在△BCD 中，BD ＝207，BC ＝60，CD ＝40，由余弦定理得cos ∠BCD ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝602＋402－（207）22×60×40＝12.因为∠BCD ∈(0°，180°)，所以∠BCD ＝60°. 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠BAD ＝120°. 在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos ∠BAD ， 将AD ＝2AB ，BD ＝207代入化简，得AB ＝20，所以S 四边形ABCD ＝12AB ·ADsin ∠BAD ＋12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝800 3 m 2.设△ABD 的外接圆的半径为R ，则R ＝BD 2sin ∠BAD ＝2072sin 120°＝20213，所以休闲区域的面积为πR 2－8003＝π(20213)2－8003＝(2 800π3－8003) m 2.(8分)(2) 在△BCD ，△ABD 中分别利用余弦定理，得 BD 2＝602＋402－2×60×40cos θ ①， BD 2＝AB 2＋402－2×40·ABcos(π－θ) ②，联立①②消去BD ，得AB 2＋80cos θ·AB ＋(4 800cos θ－3 600)＝0， 解得AB ＝60－80cos θ(AB ＝－60舍去)．因为AB ＞0，所以60－80cos θ＞0，即cos θ＜34，所以S △ABD tan θ≥40⇔12AB·ADsin （π－θ）tan θ≥40⇔12(60－80cos θ)·40·cos θ≥40⇔40cos 2θ－30cos θ＋1≤0⇔15－18540≤cos θ≤15＋18540.因为cos θ＜34，所以此时cos θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤15－18540，15＋18540.(16分)19. (1) 解：不妨设D 在x 轴上方，因为直线y ＝kx 与椭圆交于D ，E 两点，所以OD ＝OE. 因为椭圆的右焦点为F ，且DF ⊥EF ，所以OF ＝OD. 设椭圆的半焦距为c ，则D(ccos θ，csin θ)，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2cos 2θa 2＋c 2sin 2θb 2＝1.因为e ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，所以cos 2θ4＋sin 2θ3＝1.(6分)(2) 证明：设直线PQ 的方程为x ＝y ＋c(c 为椭圆的半焦距)，与x 2a 2＋y 2b2＝1联立消去x ，得 (a 2＋b 2)y 2＋2cb 2y －b 4＝0.设P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以y ＝－2cb 2±（2cb 2）2＋4（a 2＋b 2）b 42（a 2＋b 2）＝b 2（－c±2a ）a 2＋b 2，所以y 1＝b 2（－c ＋2a ）a 2＋b 2，y 2＝b 2（－c －2a ）a 2＋b 2，S △PA 2F S △QA 1F ＝（a －c ）y 1（a ＋c ）（－y 2）＝（a －c ）[b 2（－c ＋2a ）]（a ＋c ）[b 2（c ＋2a ）]＝（a －c ）（－c ＋2a ）（a ＋c ）（c ＋2a ）＝（1－e ）（－e ＋2）（1＋e ）（e ＋2）＝（e －1）（e －2）（e ＋1）（e ＋2）. 因为S △PA 2F S △QA 1F 的最小值为12，所以（e －1）（e －2）（e ＋1）（e ＋2）≥12，化简得e 2－3(1＋2)e ＋2≥0.(16分)20. 解：(1) 由题意知f′(x)＝－x 2－ax ＋2x ＋2a 2－2ae x ＝0在(0，2)上有解，即x 2＋(a －2)x －2a 2＋2a ＝0在(0，2)上有解，即(x －a)[x －(－2a ＋2)]＝0在(0，2)上有解，又a ≠－2a ＋2，解得a ∈(0，2)或a ∈(0，1)且a ≠23，即a 的取值范围是a ∈(0，23)∪(23，2)．(4分)(2) 因为e －x＞0，所以f(x)＝（2a ＋4）ln （x ＋1）－2a 2＋3ae x⇔x 2＋ax －(2a ＋4)ln(x ＋1)＝0.设g(x)＝x 2＋ax －(2a ＋4)ln(x ＋1)，则g′(x)＝2x 2＋（a ＋2）x －（a ＋4）x ＋1＝（x －1）[2x －（－a －4）]x ＋1.① 当－a －42＝1，即a ＝－6时，g ′(x)≥0，∴ g(x)在(0，2]上单调递增． 又g(0)＝0，∴ x ∈(0，2]时，g(x)＞0，则此时原方程无实根．② 当－a －42≤0，即a ≥－4时，g(x)在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．由g(0)＝0，则(ⅰ)当g(2)＝(1－ln 3)·(2a ＋4)≥0，即－4≤a ≤－2时，原方程在(0，2]上有且只有1个实根；(ⅱ)当g(2)＝(1－ln 3)·(2a ＋4)＜0，即a ＞－2时，原方程在(0，2]上无实根．③ 当0＜－a －42＜1，即－6＜a ＜－4时，g(x)在⎣⎡⎦⎤－a ＋42，1上单调递减，在⎝⎛⎦⎤0，－a ＋42，[1，2]上单调递增，若g(1)＝a ＋1－(2a ＋4)ln 2＜0且g(2)≥0，则原方程有两实根，解得a ＞－2－12ln 2－1，∵ －6＜－2－12ln 2－1＜－4，即－2－12ln 2－1＜a ＜－4，故此时原方程有两实根；若g(1)＝a ＋1－(2a ＋4)ln 2＜0，且g(2)＜0，原方程有一实根，解得a 无解；若g(1)＝a ＋1－(2a ＋4)ln 2＝0，即a ＝－2－12ln 2－1时，原方程有一个实根；若g(1)＝a ＋1－(2a ＋4)ln 2＞0，即－6＜a ＜－2－12ln 2－1时，原方程在(0，2]无实根．综上可得，当－2－12ln 2－1＜a ＜－4时，原方程的实根个数为2；当－4≤a ≤－2或a ＝－2－12ln 2－1时，原方程的实根个数为1；当－6≤a ＜－2－12ln 2－1或a ＞－2时，原方程的实根个数为0.(16分)附加：21. A. 解：设M(x ，y)是直线l ：x ＝ky 上的任意一点，变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y ky ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋y ，y ′＝ky.(4分) 因为直线l′与直线l 重合，所以l′的方程是x′＝ky′，将⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋y ，y ′＝ky代入x′＝ky′，得x ＋y ＝k 2y ，即x ＝(k 2－1)y.由M(x ，y)的任意性得k 2－1＝k ，解得k ＝1±52.(10分)B. 解：将直线ρcos θ＝1与圆ρ＝2sin θ分别化为普通方程得x ＝1，x 2＋(y －1)2＝1，(6分)易得直线x ＝1与圆x 2＋(y －1)2＝1切于点Q(1，1)，所以交点Q 的极坐标是(2，π4)．(10分) 22. 解：以{AB ，AC ，AA 1}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A 1(0，0，2)，M(1，1，0)．(1) 若P 是线段A 1B 的中点，则P(1，0，1)，MP →＝(0，－1，1)，AC →＝(0，2，0)． 所以cos 〈MP →，AC →〉＝－22×2＝－22.所以直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4.(4分)(2) 由N(0，2，1)，得MN →＝(－1，1，1)． 设 P(x ，y ，z)，BP →＝λBA 1→，0≤λ≤1， 则(x －2，y ，z)＝λ(－2，0，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝0，z ＝2λ，所以P(2－2λ，0，2λ)，所以MP →＝(1－2λ，－1，2λ)． 设平面PMN 的法向量n ＝(x ，y ，z)， 则n ⊥MN →，n ⊥MP →，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＋z ＝0，（1－2λ）x －y ＋2λz ＝0，取n ＝(1＋12λ，12λ，1)．因为BA 1→＝(－2，0，2)，设直线A 1B 与平面PMN 所成角为θ. 由sin θ＝|cos 〈n ，BA 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BA 1→|n |·|BA1→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（－2）×（1＋12λ）＋2（1＋12λ）2＋（12λ）2＋1·22＝77，得λ＝14(负值舍去)，所以BP →＝14BA 1→，所以BP ＝14BA 1＝22.(10分)23. 解：(1) 正面向上为i(i ∈N *)次的概率是C i n (12)i (1－12)n －i ＝C i n (12)n .(2分)① 当n 是奇数时，正面向上为奇数的概率为C 1n (12)n ＋C 3n (12)n ＋C 5n (12)n ＋…＋C n n (12)n＝(C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＋C n n)(12)n ＝2n －1·(12)n ＝12；(3分) ② 当n 是偶数时，正面向上为奇数的概率为C 1n (12)n ＋C 3n (12)n ＋C 5n (12)n ＋…＋C n －1n (12)n＝(C 1n＋C 3n ＋C 5n ＋…＋C n －1n )·(12)n ＝2n －1·(12)n ＝12. 综上，正面向上为奇数次的概率是12.(4分)(2) 设P n 是n 次独立重复试验中正面出现奇数次的概率，则P n －1是n －1次独立重复试验中正面出现奇数次的概率，对前n －1次试验中正面向上为奇数次和偶数次分类讨论，得 P n ＝P n －1(1－p)＋(1－P n －1)p ，化简得P n ＝p ＋(1－2p)P n －1，又P 1＝p ，用迭代法得P n ＝1－（1－2p ）n2(n ∈N *)．(10分)。