2021届高三数学（理科）一轮复习通关检测卷全国卷（二）【满分：150分】一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数3i z a =-+的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =( ) A.34i --B.34i -+C.32i -+D.32i --2.已知集合{}{}*2|4,,|40M x x x N x x x =≤∈=-<N ，则M N ⋂=( )A.{}0,1,2,3,4B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3D.{}0,1,2,33.从分别标有1,2,,9⋅⋅⋅的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518B.49 C.59D.794.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列说法中正确的是( ) A.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ B.若,m ααβ⊥⊥，则m βC.若,m ααβ⊥，则m β⊥D.若,,m n αβαβ，则mn5.已知0.50.50.70.5,0.3,log 0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是( ) A.c a b <<B.b a c <<C.c b a <<D.a b c <<6.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x ( ) A.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减7.已知52()()x a x x+-的展开式中所有项的系数和为-2，则展开式中的常数项为( )A.80B.-80C.40D.-408.已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =+，且2log n n b a a =-，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =( )A.321nn + B.21nn + C.21nn + D.1n n + 9.已知函数π()sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象( ) A.关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B.关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.关于直线π12x =-对称 D.关于直线π6x =对称 10.椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12, F F ，过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，交y 轴于点C ，若1F ，C 是线段AB 的三等分点，2F AB △的周长为E 的标准方程为( )A. 22154x y +=B. 22153x y +=C. 22152x y +=D. 2215x y +=11.已知在三棱锥P ABC -中，2ππ,36PA PB APB ACB ==∠=∠=， 则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P ABC -外接球的体积为( )12.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意的实数x 都有'()2()e ()x f x x a f x =-+，且(0)1f =，若()f x 在(1,1)-上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.3(,]4-∞B.3(,)4-∞C.(0,1)D.(0,1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知空间向量,,|||5,,,,135λ===+=+〈︒〉=a b a b m a b n a b a b ，若⊥m n ，则λ的值为_____________.14.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2230,ABCa cb S -+==，且60A =︒，则ABC 的周长为______________.15.在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,1,2BAC AB AC AA ∠====，则异面直线AB 与1CB 所成的角为____________.16.已知抛物线()220y px p =>的顶点在原点上，焦点()1,0F ，准线与x 轴的交点为K ，点P为抛物线上一点，PK =，KPF 的内切圆为圆C ，则圆C 的半径为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. （12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1536225,16S a a =+=.（1）证明：是等差数列；（2）设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. （12分）笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中“纸”指的是宣纸，“始于唐代、产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸，宣纸按质量等级分类可分为正牌和副牌(优等品和合格品).某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀，该公司按照某种质量指标x 给宣纸确定质量等级，如下表所示：公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100张)进行检验，得到的频率分布直方图如图所示.已知每张正牌宣纸的利润为10元，副牌宣纸的利润为5元，废品宣纸的利润为10-元.(1)试估计该公司生产宣纸的年利润；(2)该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器使用寿命为一年，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量指标x 服从正态分布2(50)2N ,，改进工艺后正牌和副牌宣纸的利润都将受到不同程度的影响，观测的数据如下表所示：将频率视为概率，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由.附：若2()Z N μσ～,，则0().6826P Z μσμσ-<≤+=，220.95()44P Z σμσμ-<≤+=，330.99()74p Z σμσμ-<≤+=.19. （12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明：l ⊥平面PDC .(2)已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =求PB 与平面QCD 所成角的正弦值.20. （12分）双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A ，B 两点. （1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率. 21. （12分）已知函数()()()ln 1f x x ax a =+-∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()()2112g x x x a f x =--+-，设()1122,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，求证：()()12152ln 28x g x g -≥-. （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4 – 4:坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线1C 的方程为2219x y +=.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.(1)写出曲线1C 的参数方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最大值. 23. [选修4 – 5:不等式选讲]（10分） 已知函数()1(2)f x ax a x =---.(1)当3a =时，求不等式()0f x >的解集；(2)若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围.答案以及解析一、单项选择题 1.答案：B解析：由5z z ⋅=可得22(3)25a -+=，解得4a =或4a =-.34i z ∴=-+或34i z =--.z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，z ∴在复平面内对应的点位于第二象限，34i z ∴=-+.故选B.2.答案：C 解析：因为{}{}{}(){}{}2|41,2,3,4,|4040|0|4M x x x N x x x x x x x x =≤∈==-<=-<=<<*N ,，所以{}1,2,3M N ⋂=.故选C. 3.答案：C解析：∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取， ∴P (第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)5459818=⨯=，P (第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)4559818=⨯=.∴P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)55518189=+=.故选C. 4.答案：A解析：B 选项中，可能有m β⊂，故B 错误；C 选项中，m 与β不一定垂直，可能相交，也可能平行，还可能m β⊂，故C 错误；若,,m αβαβ，则,m n 可能相交，也可能异面，故D 错误.综上所述，故选A. 5.答案：B解析：因为0.5y x =在(0,)+∞上是增函数，且0.50.3>，所以0.50.50.50.3>，即a b >，0.70.7log 0.2log 0.71c =>=，而00.510.50.5=>，所以b a c <<.故选B.6.答案：D解析：由210210x x +≠⎧⎨-≠⎩得函数()f x 的定义域为11112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其关于原点对称，因为()ln |2()1|ln |2()1|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，C.当1122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，易知函数()f x 单调递增，排除B.当12x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时，212()ln(21)ln(12)ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，易知函数()f x 单调递减，故选D. 7.答案：B解析：由已知，令1x =，则所有项的系数和为52(1)(1)(1)21a a +-=-+=-，则1a =，52()x x -展开式的通项5521552()(2)r r r r rr r T C x C x x --+=⋅-=⋅-，因而，当521r -=-，即3r =时，52(1)()x x x+-展开式中的常数项为335(2)80C ⨯-=-，故选B.8.答案：D解析：由等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =+，得112213322,2,4S a a a S S a S S ==+=-==-=，2213,4(2)4a a a a =⋅∴=+⨯，解得11,1a a =-∴=，21,2n n S n =-∴时，11121212n n n n n n a S S ---=-=--+=（11a =满足上式），121log 21,1n n n b n b n -+∴=+==+，则11111(1)1n n b b n n n n +==-++，11111111223111n nT n n n n ∴=-+-++-=-=+++，故选D. 9.答案：A解析：两条相邻对称轴之间的距离为ππ,,π,2222T T ω∴=∴=∴=.π()sin(2)||2f x x ϕϕ⎛⎫∴=+< ⎪⎝⎭.将()y f x =的图像向右平移π6个单位长度后，得到ππ()sin 2sin 263y g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像.函数()y g x =的图像关于原点对称，π(0)sin 03g ϕ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，ππ()3k k ϕ∴=+∈Z .又πππ||,,()sin 2233f x x ϕϕ⎛⎫<∴=∴=+ ⎪⎝⎭.令ππ2π()32x k k +=+∈Z ，得ππ()122k x k =+∈Z ，∴因此C ，D 项错误.令π2π()3x k k +=∈Z ，得ππ()62k x k =-+∈Z ，∴函数()y f x =的图像的对称中心为ππ,0()62k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .∴A 项正确，B 项错误.故选A. 10.答案：A解析：由椭圆的定义，得12122AF AF BF BF a +=+=，所以2F AB △的周长为12124AF AF BF BF a +++==a =，所以椭圆222:15x y E b+=.不妨令点C 是1F A 的中点，点A 在第一象限，因为()1, 0F c -，所以点A 的横坐标为c ，所以22215c y b +=，得2A c ⎛ ⎝，所以22,2,C B c ⎛⎛- ⎝⎝.把点B 的坐标代入椭圆E 的方程，得42242015b c b +=，即2241520c b +=，化简得222016b c =-.又225b c =-，所以2220165c c -=-，得21c =，所以24b =，所以椭圆E 的标准方程为22154x y +=.故选A. 11.答案：B解析：当平面CAB ⊥平面PAB 时，点C 到平面PAB 的距离最大，记点,D E 分别为,PAB ACB 的外心，过两个三角形的外心作三角形所在平面的垂线，两垂线交于点O ，则点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，AO 即为球的半径.因为2π,3APB PA PB ∠==，所以由余弦定理得222412cos 243324AB PA PB PA PB APB ⎛⎫=+-⋅∠=+--= ⎪⎝⎭， 解得2AB =. 在ACB 中，π6ACB ∠=，则π3AEB ∠=， 由正弦定理可得221sin 2AB AE ACB ==∠，解得2AE EB EC ===.记AB 的中点为F，则13OE DF PF AB ====，故R OA ===故三棱锥P ABC -外接球的体积3413395239πππ3334V R ==⨯⨯=，故选B.12.答案：C解析：由'()2()e ()x f x x a f x =-+得()[]'2()e x f x x a =-，所以2()2exf x x ax c =-+(c 为常数)，2()(2)e x f x x ax c =-+又(0)1f =，所以1c =，所以2()(2)e x f x x ax c =-+，2'()[2(1)12]e x f x x a x a =-+-，设2()2(1)12g x x a x a =--+-，因为()f x 在(1,1)-上有极值点，所以'()f x 在(1,1)-上变号零点，即()g x 在(1,1)-上有变号零点，因为(1)0g -=，所以0111(1)440a g a ∆>⎧⎪-<-<⎨⎪=->⎩，解得01a <<，故选C. 二、填空题 13.答案：310-解析：由题意，知||||cos,515⎛⋅=〈〉=⨯=-⎝⎭a b a b a b.由⊥m n，得()()0λ+⋅+=a b a b，即221815(1)250λλλλ+⋅+⋅+=-++=a ab a b b，解得310λ=-. 14.答案：7+解析：60,A=︒∴由余弦定理得222a b c bc=+-.又22230,30,3a cb b b b b c-+=∴-+=∴=-(b为边长，故0b≠).11sin22ABCS bc A bc==210,3100bc c c∴=∴--=，解得5c=或2c=-(舍去).2,b a ABC∴==的周长为7+15.答案：π3解析：将直三棱柱111ABC A B C-补成长方体1111ABDC A B D C-，连接1B D.1,CD AB DCB∴∠即为异面直线AB与1CB所成的角，CD ⊥平面11BDD B，1DB⊂平面11BDD B，1CD B D∴⊥.11DD AA==111B D BD AC===，1B D∴=12B C∴=.∴在1Rt B CD中，111cos2CDDCBB C∠==.又1π0,2DCB⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，1π3DCB∴∠=.16.答案：2解析：如图，过点P 作准线的垂线交准线于点M .焦点()1,0F ，∴准线方程为1x =-，抛物线方程为24y x =.由抛物线的定义可知，PF PM =.又PK =，.PK ∴=∴在Rt PMK 中，PM MK =.设(),P x y ，则1y MK PM x ===+，(),1P x x ∴+.点P 在抛物线上，()214x x ∴+=，解得1x =.()1,2P ∴，KPF ∴为直角三角形，2PF KF ==，PK =设圆C 的半径为r ，则()22r -=2r =三、解答题17.答案：(1)设数列{}n a 的公差为d ，则15815225S a ==，解得815a =.所以3682730716a a a d d +=-=-=，解得2d =，所以1871a a d =-=.所以2(1)22n n n S n n -=+⋅=.n =.因为当1n =1=，当2n ≥(1)1n n =--=，故是首项为1，公差为1的等差数列.(2)由(1)可知21n a n =-，故2(21)2n n n n b a n =⋅=-⋅.故123123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅，23412123252(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，两式相减可得()123122222(21)2n n n T n +-=+⋅+++--⋅=()11141222(21)2(32)2612n n n n n -++-+⋅--⋅=-⋅--，故1(23)26n n T n +=-⋅+.18.答案：(1)由频率分布直方图可知，一刀(10张)宣纸中有正牌宣纸1000.1440⨯⨯=(张)，副牌宣纸1000.054240⨯⨯⨯=(张)，废品宣纸1000.0254220⨯⨯⨯=(张)， 所以估计该公司生产一刀宣纸的利润为40104052010400⨯+⨯-⨯=元， 又400100004000000⨯=，所以估计该公司生产宣纸的年利润为400万元.(2)因为x 服从正态分布2(50)2N ,， 所以4852()0.6826P x <≤=，4456()0.9974P x <≤=， ()()444852560.9740.68260.3148P x P x <≤<≤=-=⋃.设一张宣纸的利润为X 元，则X 的取值为12，8，3，10-， 所以()120.30.68260.20478P X ==⨯=，()80.70.68260.20.3148P X ==⨯+⨯0.477820.062960.54078=+= ()30.80.31480.25184P X ==⨯=，()()()()10112830.0026P X P X P x P X =-=-=-=-==， 所以X 的分布列为所以120.2047880.5407830.25184100.00267.51312EX =⨯+⨯+⨯-⨯=，所以改进生产工艺后，该公司生产一刀宣纸的利润为7.51312100100651.312⨯-=(万元)， 因为651.312400>，所以该公司应该购买这种机器. 19.答案：(1) 平面PAD平面PBC l =，BC平面APD ，BCl ∴，PD ⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥，正方形ABCD ，∴BC DC ⊥，又PD DC D =，∴BC ⊥平面PDC ，∴l ⊥平面PDC .(2)建立如图所示的空间直角坐标系.因为1PD AD ==，则有()()()()()0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0D C P A B .设(),0,1Q m ，则有()0,1,0DC =，()(),,0,11,1,1DQ m PB ==-，因为QB =，1m =，设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，得1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为()1,0,1n =-，则cos ||||n PB n PB n PB ⋅⋅===. 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦20.答案：（1）设(),A AA x y .由题意，2(0)F c ，，c =，()22241A y b cb =-=，因为1F AB ∆是等边三角形，所以2A c y =，即()24413bb +=，解得22b =.故双曲线的渐近线方程为y =.（2）由已知，()12,0F -，()22,0F .设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():2l y k x =-.显然0k ≠.由()22132y x y k x -==-⎧⎪⎨⎪⎩，得()222234430k x k x k --++=. 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k∆=+>.设AB 的中点为(),M M M x y .由11()0F A F B AB +⋅=，知1F M AB ⊥， 故11F M k k ⋅=-.而2122223M x x k x k +==-，()2623M M k y k x k =-=-，12323F M k k k =-， 所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为5±. 21.答案：(1)由题意得，函数()f x 的定义域为()1-+∞,，()11f x a x '=-+. 当0a ≤时，()101f x a x '=->+， ∴函数()f x 在()1-+∞,上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得11x a=-+.若11,1x a ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；若11,x a ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，此时函数()f x 单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在()1-+∞,上单调递增；当0a >时，函数()f x 在11,1a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)()()21ln 12g x x x a x =+-+，0x >，()()11g x x a x '∴=+-+()211x a x x-++=.由()0g x '=得()2110x a x -++=，121x x a ∴+=+，121x x =，211x x ∴=.32a ≥，111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得1102x <≤.()()12x g x g ∴-()()()221121221ln12x x x a x x x =+--+-21121112ln 2x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 设()221112ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22331210xh x x x x x-'=--=-<，∴函数()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.∴当112x =时，()min 1152ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 32a ∴≥时，()()12152ln 28x g x g -≥-成立.22.答案：(1)曲线1C 的参数方程为3cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数).2C 的直角坐标方程为228150x y y +-+=，即22(4)1x y +-=.(2)由(1)知，曲线2C 是以2(0,4)C 为圆心，1为半径的圆. 设(3cos ,sin )P ϕϕ，则2PC==当1sin 2ϕ=-时，2PC因为21PQ PC ≤+，当且仅当2,,P Q C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立.所以max 1PQ =.23.答案：(1)当3a =时，不等式可化为310x x -->，即31x x ->，31x x ∴-<-或31x x ->，解得14x <或12x >. (2)当0a >时，121,,()12(1)1,.x x af x a x x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩要使函数()f x 的图像与 x 轴没有交点，只需210,2(1)0,a a ⎧->⎪⎨⎪-≤⎩即12a ≤<；当0a =时，()21f x x =+，函数()f x 的图像与x 轴有交点； 当0a <时，121,,()12(1)1,.x x af x a x x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩要使函数()f x 的图像与 x 轴没有交点，只需210,2(1)0,a a ⎧-<⎪⎨⎪-≤⎩此时a 无解.综上所述，函数()f x 的图像与x 轴没有交点时，实数a 的取值范围为12a ≤<.。