= 7.44 × 10− 2 m = 74.4mm
而
2 × 0.050 Fd = (300 N ) 1 1 + + 2.22 × 10 − 2
= 1.004 × 10 3 N
M max = 1.004 ×10 3 N (1.00m ) = 1.004 ×10 3 N ⋅ m
设压杆微弯平衡时的挠曲轴方程为
πx w = f sin l
式中，f 为压杆中点的挠度即最大挠度。
题 13-8 图 解：由题设可知，
w = f sin
πx , l
6
w′ =
πf πx cos l l
据此可得
λ (x ) =
q cr 所作之功为
1 x 2 * 1 ( w′) dx = 2 0 2
∫
∫
x 0
(也可通过左侧题号书签直接查找题目与解)
13-2
比为 8:3。
图示圆截面简支梁，直径为 d，承受均布载荷 q 作用，弹性模量 E 与切变模量 G 之
（1）若同时考虑弯矩与剪力的作用，试计算梁的最大挠度与最大转角； （2）当 l/d =10 与 l/d =5 时，试计算剪切变形在总变形（最大挠度与最大转角）中所占百分比。
（2）被冲击面（弹簧顶面）的静位移为
∆st =
最大冲击载荷为
Pl P 500 + = 1.516 × 10 − 5 m + m = 2.52 × 10 − 3 m 3 EI k 200 × 10
2h + + Fd = P 1 1 ∆ st
于是，杆内横截面上最大的正应力为
Fl 3 ∆= 48EI
得刚度系数
0.030 4 48 × 200 × 10 × F 48 EI 12 N = 6.48 × 10 5 N k= = 3 = 3 ∆ m m l 1.00
9
由此可得
4hk Fd = P 1 + 1 + P
4 × 0.020 × 6.48 × 10 5 = (600 N )1 + 1 + 600
(
πf 2 2 πx * * πf 2 2 πx 2 πx + sin ) cos dx = 8l l l l l
题 13-3 图 解： （1）以 P 作为静载荷置于突缘上，有静位移
2
∆st =
最大冲击载荷为
Pl 500 × 2.00 4 −5 = m = 1.516 × 10 m 9 2 EA 210 × 10 π × 0.020
2h + + 1 1 Fd = P ∆ st
第十三章
题号
能量法（二）
页码
13-2 ................................................................................................................................................................1 13-3 ................................................................................................................................................................2 13-5 ................................................................................................................................................................3 13-7 ................................................................................................................................................................4 13-8 ................................................................................................................................................................6 13-9 ................................................................................................................................................................7 13-10 ..............................................................................................................................................................9 13-11 ............................................................................................................................................................10
∫
1 ql ( − )( − qx )dx 0 l 2
l
ql 3 8ql 3 = = 24 EI 3πEd 4
（2） 由以上结果可知，剪力引起的挠度为
∆s =
占总挠度的比例为
40ql 2 27πEd 2
δ=
∆s 8 1 = ⋅ 2 8 ∆max 27 l + 2 6d 27
当 l d = 10 时， δ = 1.75% 当 l d = 5 时， δ = 6.64% 由此可见，对于细长梁，剪力对位移的影响比弯矩小得多，通常可以忽略不计。

= 6.209 × 10 3 N
及
σ max =
M max Fl 6 × 6.209 × 103 × 1.00 = d3 = Pa a W 8 × 0.0303 8⋅ 6
= 1.725 × 10 8 Pa = 172.5MPa
（2） δ = 2mm 时 据
Vε =
得
k 2 ∆ 2
Vε =
题 13-2 图 解： （1）计算梁的最大挠度的单位状态如图 13-2a 所示。
图 13-2
M (x ) =
1 x, 2 1 F S (x ) = , 2
M (x ) =
ql q x − x2 2 2 ql FS ( x ) = − qx 2
最大挠度为
∆max =
q 2 l / 2 x ql 10 × 2 ( )( x − x 2 )d x + EI 0 2 2 2 9GA 2 2 5ql 8 l = ( 2 + ) (↓ ) 2 πEd 6 d 27
最大弯曲正应力在上梁中间截面处，其值为
(
)
σ max =
M 1max 6Fd1l 6 × 3.747 × 103 × 1.00N = = 4a 3 4 × 0.0303 m 2 W = 2.08 × 108 Pa = 208MPa
13-8
图示两端铰支细长压杆， 承受均布载荷 q 作用。 试利用能量法确定载荷 q 的临界值。
在冲击载荷 Fd 作用下，刚架内的最大正应力为
(
)
σ max =
1.004 × 103 N 1.004 × 103 N = 1.682 × 108 Pa = 168.2MPa + 2 2 0.040 × 0.030 2 (0.040 × 0.030 )m m 6
图示两根正方形截面简支梁，一重量为 P =600N 的物体，自高度 h =20 mm 处自由
13-7
下落。试在下列两种情况下计算梁内的最大弯曲正应力： （1）二梁间无间隙； （2）二梁间的间隙 δ =2 mm。 已知二梁的跨度 l =1m，横截面的边宽 a = 30 mm，弹性模量 E =200 GPa。梁的质量与冲击物的变 形均忽略不计。
4
题 13-7 图 解： （1） δ = 0 时 据
M ( x2 ) = − Pl M ( x2 ) = − l
式中，长度 l=1m，坐标 x1 自 A 向左取， x 2 自上向下取。 截面 A 的铅垂静位移为
∆st =
=
∫
M (x1 )M (x1 ) dx1 + EI 0
l
∫
4 Pl 3 M (x2 )M (x2 ) dx 2 = EI 3EI 0
于是，杆内横截面上最大正应力为
σ max =
Fd P 2h N 2 × 0.100 = 500 1 + 1 + = + + 1 1 − 4 2 A A ∆ st π × 10 m 1.516 × 10 − 5

= 1.844 × 10 8 Pa = 184.4MPa
13-3
图示圆截面钢杆，直径 d =20mm， 杆长 l =2m，弹性模量 E =210GPa，一重量为 P =
500N 的冲击物，沿杆轴自高度 h =100mm 处自由下落。试在下列两种情况下计算杆内横截面上的 最大正应力。杆与突缘的质量以及突缘与冲击物的变形均忽略不计。 （1）冲击物直接落在杆的突缘上（图 a） ； （2）突缘上放有弹簧，其弹簧常量 k =200 N/mm（图 b） 。