第11章 解三角形
11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)
2
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.通过对任意三角形边长和角
1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
·
探 度关系的探索，掌握正弦定理的 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 内容及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
养
合
作 探
2．能运用正弦定理与三角形内 2．借助利用正弦定理求解三角形
3．在△ABC 中，A＝π3，BC＝3，AB＝ 6，则 C＝(
)
课 堂
导
小
学
探 新
A．π4或34π
B．34π
·
结
提 素
知
养
合 作
C．π4
D．π6
课
探 究
释
C
[由sBinCA＝siAnBC，得 sin C＝ 22.∵BC＝3，AB＝
时
6，∴A>C，
分 层
作
疑
难 则 C 为锐角，故 C＝π4.]
业
返
首 页
探 究
都对应 CD．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会
时 分
层
释
疑 思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作 业
难
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·
15
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
[跟进训练]
养
合 作
1．在△ABC 中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边 c.
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
16
作 业
返 首 页
·
11
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
·
12
定理证明
情
课
景
堂
导 学
【例 1】 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．
小 结
·
探 新
[证明]
知
一点，
合
作
探
究
释 疑 难
如图，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上
课
探
时
究
释 疑
＝5×sin
60°cos
45°＋cos sin 30°
60°sin
45°
分 层 作 业
难
＝52( 6＋ 2).
返
首
页
·
·
17
用正弦定理解三角形
情
课
景
堂
导 学
【例 2】
已知△ABC 中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角 B，
小 结
·
探 新
边 b，c.
提 素
知
养
合
[思路点拨] ①角 A，B，C 满足什么关系；
分 层 作
疑
业
难
故sina A＝sinb B＝sinc C.
返
首
页
·
14
·
情
课
景 导
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联
堂 小
学
结
·
探 系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
提
新
素
知
养
合 作
2．要证sina A＝sinb B，只需证 asin B＝bsin A，而 asin B，bsin A 课
[解] 由三角形内角和定理知 A＋B＋C＝180°，
·
情
课
景
所以 A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
堂
导
小
学
探 新
由正弦定理sina A＝sinc C，
·
结
提 素
知
养
合 作
得
c＝a·ssiinn
CA＝5×ssiinn13005°°＝5×sin
60°＋45° sin 30°
课 时
究
角和定理解决简单的解三角形
的边长或角的大小的学习，培养数
分 层
释
作
疑
难 问题．(重点)
学运算的核心素养.
业
·
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3
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情景
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
4
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探 新 知
如图，在 Rt△ABC 中，sina A，sinb B，sinc C各
·
8
·
情 景
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝60°，a＝10，则 b 等于(
课
)堂
导
小
学
A．5 2
B．10 3
·
结
探
提
新
素
知
C．103 3
D．5 6
养
合 作 探 究
释
B
[由正弦定理得，b＝assiinnAB＝10×1
3 2 ＝10
3.]
课 时 分 层 作
疑 难
2
业
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·
9
·
情 景
·
10
·
情 景 导
4．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，A＝π3，则 C＝________.
课 堂 小
学
结
探 新
π 2
[由正弦定理得：
3 π＝sin3B，所以 sin B＝12.
·
提 素
知
sin 3
养
合
作 探 究
又 a>b，所以 A>B，所以 B＝π6，
课 时 分
层
释 疑 难
所以 C＝π－π3＋π6＝π2.]
课 时
究
思考 2：正弦定理的主要功能是什么？
分 层
释
作
疑 难
提示： 正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．
业
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·
6
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
2．应用正弦定理解三角形
·
提
新
素
知
应用正弦定理可以解两类三角形：
养
合 作
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
课
探
时
究
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.
分 层
释
作
疑
业
难
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·
7
·
情
课
景
堂
导 学
探
1．在△ABC 中，下列式子与sina A的值相等的是( )
·
小 结
提
新
素
知
A．bc
B．ssiinn
B A
养
合
作
课
探 究
C．sinc C
D．sinc C
时 分 层
释
作
疑
难
C
[由正弦定理得，sina
A＝sinc
C，所以sina
A＝sinc
C .]
业
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时 分 层
释
作
疑 难
∴B＝105°，b＝5( 6＋ 2)，c＝10 2.
业
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19
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探 新
正弦定理实际上是三个等式：sina A＝sinb B，sinb B＝sinc C，sina合 自等于什么？对于斜三角形类似关系成立么？
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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5
·
情 景 导 学
1．正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦之比相等．即sina A
课 堂 小 结
·
探 新 知
＝sinb B＝sinc C.
提 素 养
合
思考 1：正弦定理的适用范围是什么？
作 探
提示： 正弦定理对任意三角形都成立．
提 素
养
课 时 分 层 作 业
·
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13
·
根据正弦函数的定义知：
情
课
景 导 学
CbD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，CaD＝sin B．
·
堂 小 结
探
提
新
∴CD＝bsin A＝asin B．
素
知
养
合 作
∴sina A＝sinb B.
课
探
时
究 释
同理，sinb B＝sinc C.
作