方法强化练——函数与基本初等函数(建议用时：75分钟)一、填空题1．(2014·珠海模拟)函数y ＝(x ＋1)02x ＋1的定义域为______．解析 由⎩⎨⎧x ＋1≠0，2x ＋1＞0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞2．(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是________． ①y ＝2|x |；②y ＝lg(x ＋x 2＋1)；③y ＝2x ＋2－x ；④y ＝lg1x ＋1. 解析 根据奇偶性的定义易知①、③为偶函数，②为奇函数，④的定义域为{x |x ＞－1}，不关于原点对称． 答案 ④3．(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (2)－f (1)＝________.解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝ ＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1.答案2－14．(2014·无锡调研)已知方程2x ＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 设f (x )＝2x ＋x －10，则由f (2)＝－4＜0，f (3)＝1＞0，所以f (x )的零点在(2,3)内． 答案 25．(2014·天水调研)函数f (x )＝(x ＋1)ln x 的零点有________个．解析 函数的定义域为{x |x ＞0}，由f (x )＝(x ＋1)ln x ＝0得，x ＋1＝0或ln x ＝0，即x ＝－1(舍去)或x ＝1，所以函数的零点只有一个． 答案 16．(2014·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝，c ＝ ，则a 、b 、c 大小关系为________．解析 a ＝log 20.9＜0，b ＝＝c ＞0.答案 a ＜c ＜b7．(2013·潍坊二模)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的大致图象为________．解析 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ≥－1，2x ＋1，x ＜－1，所以图象为②.答案 ②8．(2013·长沙期末考试)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ＜0，2x ，x ≥0，则f [f (－1)]＝________.解析 f (－1)＝(－1)2＝1，所以f [f (－1)]＝f (1)＝21＝2. 答案 29．(2013·湖南卷改编)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为________．解析 因为g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，所以作出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2的图象，由图象可知两函数图象的交点个数有2个．答案 210．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________．解析 由题意f (0)＝0，即1＋m ＝0， 所以m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35) ＝－(53log 3－1)＝－4. 答案 －411．(2014·衡水模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析 设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售15－x 辆车，获得的利润为 y ＝5.06x －0.15x 2＋2×(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30， 当x ＝－3.062×(－0.15)＝10.2时，y 最大，但x ∈N ，所以当x ＝10时，y max ＝－15＋30.6＋30＝45.6. 答案 45.612．(2013·陕西卷改编)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有________．①[－x ]＝－[x ]；②⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ]；③[2x ]＝2[x ]；④[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ]．解析 特值法 对①，设x ＝－1.8，则[－x ]＝1，－[x ]＝2，所以①为假；对②，设x ＝1.8，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝2，[x ]＝1，所以②为假；对③，设x ＝－1.4，[2x ]＝[－2.8]＝－3,2[x ]＝－4，所以③为假． 答案 ④13．(2014·郑州模拟)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析 g (x )＝|x －a |的增区间为[a ，＋∞)， ∴f (x )＝e |x －a |的增区间为[a ，＋∞)． ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. 答案 (－∞，1]14．(2013·滨州一模)定义在R 上的偶函数f (x )，且对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－k x －k ＝0，得f (x )＝k x ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图象，设A (3,1), B (－1,0)，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率0＜k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－(－1)＝14，所以0＜k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1415．(2014·扬州质检)对于函数f (x )＝x |x |＋px ＋q ，现给出四个命题： ①q ＝0时，f (x )为奇函数； ②y ＝f (x )的图象关于(0，q )对称；③p ＝0，q ＞0时，方程f (x )＝0有且只有一个实数根； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中正确命题的序号为________．解析 若q ＝0，则f (x )＝x |x |＋px ＝x (|x |＋p )为奇函数，所以①正确；由①知，当q ＝0时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称，f (x )＝x |x |＋px ＋q 的图象由函数f (x )＝x |x |＋px 向上或向下平移|q |个单位，所以图象关于(0，q )对称，所以②正确；当p ＝0，q ＞0时，f (x )＝x |x |＋q ＝⎩⎨⎧x 2＋q ，x ≥0，－x 2＋q ，x ＜0，当f (x )＝0，得x ＝－q ，只有一解，所以③正确；取q ＝0，p ＝－1，f (x )＝x |x |－x ＝⎩⎨⎧x 2－x ，x ≥0， －x 2－x ，x ＜0，由f (x )＝0，可得x ＝0，x ＝±1有三个实根，所以④不正确．综上正确命题的序号为①②③. 答案 ①②③ 二、解答题16．(2013·贵阳诊断)函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 解 (1)由⎩⎨⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎨⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1， 解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥ 2(x －1)·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2 x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.17．(2014·齐齐哈尔调研)对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3，由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3.故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1,3.(2)∵f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个不动点，∴x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1，即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b 2－4ab ＋4a ＞0(b ∈R )恒成立． 于是Δ′＝(－4a )2－16a ＜0解得0＜a ＜1，故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时的a 的范围是(0,1)．18．(2014·湖州调研)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得，当0＜x ＜80时，L (x )＝0.05×1 000x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80)，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x (x ≥80).(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000.此时，当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．因为950＜1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元.。