3 3 x绝密★启用前试卷类型：A深圳市 2019 年高三年级第二次调研考试数 学（文科）2019．4本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 A = {x x 2- 2x < 0} ， B = {x 1 < x < 3}，则 A, 3)2．复数 2 1+ i的共轭复数是1-i23．已知双曲线C ： - y 2 a 2= 1(a > 0)的渐近线方程为 y =± x ，则该双曲线的焦距为B =（A ） (0,1) （B ）(0, 3) （C ）(1, 2) （D ） (2（A ）1+ i（B ）1- i（C ） -1+ i（D ） -第 6 题图0.06 0.04 a0.02 0.01O5 10 15 20 25 30第 4 题图（A ） 2（B ） 2 （C ） 2 2 （D ） 44．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15, 20) ， [20, 25) ， [25,30]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取8 人进行访谈，则应从使用时间在[20, 25) 内的学生中选取的人数为（A ）1（B ） 2 （C ） 3 （D ） 45．已知角α 为第三象限角，若 tan(α + π) = 3 ，则sin α =4 5 5 556．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为8π 10π（C ）37．若函数 f (x ) = sin(ωx - π) (ω > 0) 图象的两个相邻最高点的距离为 π ，则函数 f (x )6的一个单调递增区间为（A ）3（B ）314π （D ）10π（A ） - 2 5 （B ） - 5 （C ） 5（D ）2 5-, -, -,⎡π π⎤（A）⎡π π⎤（B）⎡π π⎤（C）⎡π 2π ⎤（D）,⎣⎢ 6 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 2 2 ⎥⎦ ⎣⎢ 3 6 ⎥⎦ ⎢⎣6 3 ⎥⎦8．函数f (x) =的图象大致为（A）（B）（C）（D）9．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长大于这个圆的内接正三角形边长的概率是多少？” 贝特朗给出了“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理求解的方法，但结果都不相同，这类悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．其中“随机端点”的求法如下：设A 为圆O 上的一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，求所得弦长大于圆O 的内接正三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为5 4 3 210．已知正方体ABCD -A1B1C1D1 ，P 为棱CC1 上的动点，Q 为棱AA1 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面B1D1P 的交线，以下关系中正确的是D1Q11．已知F1 、x2F2分别是椭圆：a2y2+b2BB1A1=（1 a >b > 0）的左、右焦点，点A是F1关于直线bx +ay =ab 的对称点，且AF2 ⊥x 轴，则椭圆的离心率为2 2 2 21-x2lg x第10 题图（A）1（B1 1）（C）（D）1（A）m// D1Q （B）m// 平面B1（C）m ⊥B1Q（D）m ⊥平面A（A）3 -11（B）（C）5 -1 （D）3x 6 D12．若函数 f (x ) = x - - a ln x 在区间(1, +∞) 上存在零点，则实数a 的取值范围为（A ） (0, 1)2（B ） (1, e)2（C ） (0，+∞) （D ） (1, +∞)2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分． 第 13～21 题为必考题，每个试题考Th 都必须作答． 第 22～23 题为选考题，考Th 根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．⎧x 2 + 3x , 13．设函数 f (x ) = ⎨ x ≥ 0, 则 f (-3) ＝．⎩ f (x + 2), x < 0,14．设∆ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c = ，c os C =- 1， 4sin A = 2sin B ，则b ＝ ．15．已知等边∆ABC 的边长为2 ，若点 D 满足 AD =2DC ，则BD ⋅ AC = ．16．如图（1），在等腰直角∆ABC 中，斜边 AB = 4 ， D 为 AB 的中点，将△ ACD 沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C - A 'BD ．若三棱锥C - A 'BD 的外接球的半径为 5 ，则∠A 'DB =．CB第 16 题图(1)A'B第 16 题图(2)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）已知数列{a }满足a = 2 , a= a + 2n + 2 (n ∈ N * ) ．n1 n +1n（1）判断数列{a n - 2n } 是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，求 S n ．D FA EB∑ ∑ b = 18．（本小题满分 12 分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 y （单位：千件）与当月售价 x （单位： 元/件）之间的关系，收集了5 组数据进行了初步处理，得到如下数表：x 5 6 789 y864.53.53（1 ） 统计学中用相关系数 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若r ∈[0.75,1] ，则认为相关性很强；若 r ∈[0.3, 0.75) ，则认为相关性一般；若 r ∈[0, 0.25] ， 则认为相关性较弱. 请根据上表数据计算 y 与 x 之间的相关系数r （精确到0.01），并说明 y 与 x 之间的线性相关关系的强弱；（2）求 y 关于 x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，估计当售价 x 定为多少时，月销售金额最大？(月销售金额=月销售量⨯ 当月售价) 附注：≈ 12.85 ，n(xi- x )( y i - y )参考公式：相关系数r = i =1，nn∑(x - x )2∑( y - y )2iii =1i =1n(x i - x )( y i- y )线性回归方程 y = bx + a ， i =1，a = y - bx . n∑(x i- x )219．（本小题满分 12 分）i =1在边长为4 的正方形 ABCD 中，点 E 、F 分别为边 AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△ DFC 和△ BEC 折起，使点 B 、 D 重合于点 P 位置，连结 PA ，得到如图所示的四棱锥 P - AECF .（1）在线段 PC 上是否存在一点G ，使 PA 与平面EFG 平行？若存在，求 PG的值；若不存在，请说明理由.PGC（2）求点 A 到平面PEC 的距离． C第 19 题图深圳市 2019 年高三年级第二次调研考试 数学（文科）试题 第 5 页 共 7页165⎩ 20．（本小题满分 12 分）设点 P 是直线 y = -2 上一点，过点 P 分别作抛物线C : x 2 = 4y 的两条切线 PA 、PB ，其中 A 、 B 为切点.（1）若点 A 的坐标为 (1, 1) 4 ，求点 P 的横坐标；（2）当△ ABP 的面积为 27时，求 AB .221．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = a e x+2x -1，其中常数e = 2.71828...... ，是自然对数的底数．（1）讨论函数 f (x ) 的单调性；（2）证明：对任意的a ≥ 1，当 x > 0 时， f (x ) ≥ (x + a e)x ．请考Th 在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 c os α, （α 为参数），圆C1⎨ y = sin α,2的方程为(x - 2)2 + y 2 = 4 ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ = θ0 (ρ ≥ 0) ．（1）求曲线C 1 和圆C 2 的极坐标方程；（2）当0 < θ< π时，若射线l 与曲线C 和圆C 分别交于异于点O 的M 、N 两点， 021 2且| ON |= 2 | OM | ，求△ MC 2 N 的面积． 23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲1已知函数 f (x ) =| x - m | + | x +| (m > 1) ．m（1）当m = 2 时，求不等式f (x) > 3 的解集；（2）证明：f (x) +1m(m -1)≥ 3 ．2 x 2x - x - 2a x x x 0 22019 年深圳市高三第二次调研考试文科数学试题答案及评分参考第Ⅰ卷一．选择题（1） C （2） A （3） D （4） C （5） B （6）C （7） A（8） B （9） C（10）B（11）C（12）D12.【解法 1】 f '(x ) = 1-1- a= ．x2x注意到函数 y = 2x - 在(1，+∞)上单调递增，且2x - > 1． 若 a ≤ 1，则1- 2a ≥ 0 ，则 2不合题意，应舍去．f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 在(1，+∞)上单调递增，故 f (x ) > f (1) = 0 ，当 a > 1时，此时存在 x ∈ (1，+ ∞) ，使得当 x ∈ (1，x ) 时， f (x ) 单调递减，当x ∈ (x , +∞) 20 0 0时， f (x ) 单调递增．因为 f (1) = 0 ，所以a f (x >) <10 ．又因为 f a ((a >+1)2 )1> 0 ，故此时x f ∈((1，x + ∞))在 0 22(1，+∞)上必定存在零点．综上所述，答案为 D ．【解法 2】函数 f (x ) 在(1，+∞)上存在零点，即方程 x x -∈x (-1，a ln x x 0=)0 在(1，+∞)上有解， 设t =f (x (x t >)1) ，则方程可化为t x 2-∈t -(2a x ln 0t ,=+0(∞t > 1)) ，显然当a f (1=) =00 时，方程在(1，+∞)上无解； 当 a f (x ≠) <00时，方程可化为 f ((a +1)2 )> 0 ，通过研究直线 (1，+∞) 与曲线x - x -a l n x =0的位置关 系，易知t = x (t >1)，所以a > 1. 【解法 3】此题作为选择题，结合答案是有一些较为灵活的解题方法的，比如可以将问题转化为直线 t 2-t -2a ln t =0(t >1) 与a = 0 在 (1，+∞)上 有 交 点 ， 注 意 到 a ≠ 0和 函 数 h (x ) = + a l n x 的凹凸性以及 g (x ), h (x ) 均过点(1,1) ，故可研究h (x ) 在(1,1) 处的切线即可．二．填空题： 13． 414．115． 23 16． 2π316【解法 1】设 ∆A 'BD 的外接圆半径为 r ， ∠A 'DB = 2θ ，其中θ ∈(0, π) ．由正弦定理易得25nn n n * nnn4sin θ12r =，故r = ．由题意知 1+ r 2 = ．sin 2θ cos θ解得cos θ = 1 ，所以∠A 'DB =2θ = 2π．2 3【解法 2】设∆A 'BD 的外接圆半径为r ， ∠A 'DB = 2θ ，其中θ ∈(0, π) ，并设 A 'B 中点为2M ， DM = b ， A 'M = a ，则有 a 2 + (b - r )2 = r 2 ，由于 a 2 + b 2 = 4 ，由此可得br = 2 ，又因为1 + r2 =5 ，所以r =2 ，而cos θ = b = 1 = 1 ，所以∠A 'DB =2θ = 2π．2 r 2 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）已知数列{a }满足a = 2 , a= a + 2n + 2 (n ∈ N * ) ．n1n +1n（1）判断数列{a n - 2 } 是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，求 S n ． 【解析】(1) 设b = a - 2n，则b= a - 2n +1 ，……………………………2 分nnn +1n +1 则b - b = (a- 2n +1 ) - (a - 2n ) = a - a - 2n ， ……………………4 分n +1nn +1nn +1n= (a n + 2 + 2) - a - 2 = 2 (n ∈ N ) ， ……………………………5 分所以，数列{a n - 2 } 是首项为0 ，公差 d = 2 的等差数列．………………6 分 (2)由（1）可知a n - 2 = 0 + 2(n -1) ，…………………………………………8 分∴ a n = 2 + 2(n -1) ，………………………………………………………………9 分∴ S n = 2⨯ (1- 2n) + 1- 2 n [0 + (n -1)] 2= 2n +1 - 2 + n 2 - n . …………………………12 分【命题意图】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的证明方法，分组求和法以及等差、等比数列的前n 项和公式等知识，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．18．（本小题满分 12 分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 y （单位：千件）与售价 x （单位：元/件）之间的关系，收集了5 组数据进行了初步处理，得到如下数表：x 5 6 7 8 9 y864.53.53（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若 r ∈[0.75,1] ，则i ∑ n认为相关性很强；若 r ∈[0.3, 0.75) ，则认为相关性一般；若 r ∈[0, 0.25] ，则认为相关性较弱. 请计算相关系数r ，并说明 y 与 x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；（2）求 y 关于 x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价 x 定为多少，可获取最大的月销售金额？ 解：(1)由表中数据和附注中的参考数据得，x = 7 ， y = 5 ，………………………………1 分55∑(xii =1 - x )2 = 10 ， ∑( y i =1- y )2= 16.5 ，……………………………………………2 分5(x - x )( y- y ) = -12.5 r ≈ -12.5 ≈ -0.97 ∑i i，i =1……………………………3 分因 为r ≈ -0.97 ∈[0.75,1] ， ………………………4 分说明y 与 x 的线性相关关系很强．.……………………………………………………5 分 n∧ (x i - x )( y i - y )-12.5 （2）由（1）可知b = i =1= = -1.25 ………………………7 分 ∑ i =1(x i - x )210∧ ∧∴a = y - b x = 5 -（-1.25）⨯ 7 = 13.75 ，…………………………………………… 8 分∧∴ y = -1.25x +13.75 ……………………………………………………………………9 分∧∧（3）由题意可知， 月销售额的预报值 z =1000⋅ y ⋅ x = -1250x 2 +13750x （元）∧∧或者 z = y ⋅ x = -1.25x 2 +13.75x （千元）………10 分∧则当 x = 5.5时， z 取到最大值，即该店主将售价定为5.5 元/件时，可使网店的月销售额最大.……12 分【命题意图】本题旨在考查概率统计在实际问题中的应用，以研究相关系数，线性回归，二次函数等知识为载体，考查了学生的数学运算、数学建模等数学核心素养． 19．（本小题满分 12 分）在边长为4 的正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别为边 AB 、 AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△ DFC 和△ BEC 折起，使点 B 、D 重合于点 P 位置，连结 PA ，得到如图所示的四棱锥P - AECF .（1）在线段 PC 上是否存在一点G ，使 PA 与平面 EFG 平行，若存在，求 PGGC若不存在，请说明理由.的值；2 E F ⊂平面A E C F 平面平面OC4 （2）求点 A 到平面 PEC 的距离． 解：（1）线段 PC 上的点G 满足PG = 1时， PA 与平面EFG 平行． ………1 分证明如下：GC 3连结 EF ， EG ， FG ， AC ，记 AC 与 EF 的交点为O ，连结OG ． 在正方形 ABCD 中，∵ E 、 F 分别为边 AB 、 AD 的中点，∴AO = 1，……………………2 分 OC 3故 AO = PG = 1 ， ……………………3 分 OC GC 3∴ PA // OG ． ……………………4 分∵ PA ⊄ 平面EFG ， OG ⊂ 平面EFG ,∴ PA / /平面EFG ． ……………………6 分（2）解法一：在正方形 ABCD 中， AB ⊥ BC ， AD ⊥ CD ， 翻折后 PC ⊥ PE ， PC ⊥ PF ，又 PE PF = P ，∴PC ⊥ 平面 PEF ． ……………………8 分记 AC 与 EF 的交点为O ，连结 PO ，可知△ O PC 为直角三角形， O P = ， PC = 4 ， OC = 3 2 ，设 P 到直线 AC 的距离为h ， 4 2 = 3 2 ⋅ h ，∴h = ． (9)分 3OPC∴ EF ⊥ 平面PACEF ⊂ 平面AECF ,E F ⊥平面P A C∴ 平面PAC ⊥ 平面AECA平面平面∵ 平面PAC 平面AEC =AC∴ △ OPC 斜边OC 上的高 h 即为三棱锥 P -AEC 的高．……………………10 分∴V= 1⋅ S⋅ h = 1 ⨯ 1 ⨯ 2⨯ 4⨯ 4 = 16 ，P - AEC3 ∆AEC 3 2 3 9S ∆PCE= 1 ⋅ PC ⋅ PE = 4 ，设点 A 到平面 PCE 的距离为h ' ， 2PC ⊥ EF , AC ⊥ EF , AC PC = C ,D FOAEB2 8 23 2 2 2 PC ⊥ EF , AC ⊥ EF , AC PC = C ∴V A -PCE = 1 ⋅ S 3 ∆PCE⋅ h ' = 4⋅ h ' ， 3 ∴ 4 h ' = 16 ，解得h '= 4 ． …………………12 分3 9 3解法二：在正方形 ABCD 中， AB ⊥ BC ， AD ⊥ CD ，翻折后 PC ⊥ PE ， PC ⊥ PF ，又 PE PF = P ，∴PC ⊥ 平面 PEF ， ……………………8 分记 AC 与 EF 的交点为O ，连结 PO ，可知△ OPC 为直角三角形， OP = ， PC = 4 ， OC = 3 2 ， 4易得 P 到直线 AC 的距离为 3，……………………9 分P∴S ΔPAC = 1⋅ 4 2 2 ⋅ 4 = ， 3C∴ EF ⊥ 平面PAC ，1 1 8 16 ∴V P - AEC =V E -PAC = 3⋅ S ∆PAC ⋅ O E = ⨯ 2 ⨯ = ，又 S ∆PCE3 3 9= 1⋅ PC ⋅ PE = 4 ，设点 A 到平面 PCE 的距离为h ， 2 1 4 ∴V A -PCE = 3 ⋅ S ∆PCE ⋅ h = 3⋅ h ， ∴ 4 h = 16 ，解得h = 43 9 3． …………………12 分解法三：在正方形 ABCD 中， AB ⊥ BC ， AD ⊥ CD ， 翻折后 PC ⊥ PE ， PC ⊥ PF ，又 PE PF = P ，∴PC ⊥ 平面 PEF ． ……………………8 分记 AC 与 EF 的交点为O ，连结 PO ，可知△ OPC 为直角三角形， OP = ， PC = 4 ， OC = 3 2 ，1易得 S ΔPOC = 2⋅ 4⋅ = 2 ．……………………9 分P，DC∴ EF ⊥ 平面PAC ，F∴V E-POC = 1⋅ 2 2 ⋅ 3 = 4 ， 3OAEBPC ⊥ EF , AC ⊥ E F , AC PC = C , 2 2∴V4= 4 ⋅ 4 = 16 ，E -PAC= 3 V E -POC 3 3 9 又 S ∆PCE= 1 ⋅ PC ⋅ PE = 4 ，设点 A 到平面 PCE 的距离为h ， 2 ∴V A -PCE = 1 ⋅ S 3 ∆PCE ⋅ h = 4 ⋅ h ， 3∴ 4 h = 16 ，解得h = 4．…………………12 分 3 9 3【说明】本题以翻折问题为载体考查空间中点，线，面的位置关系，线面平行的性质定理的应用，点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力． 20．（本小题满分 12 分）设点 P 是直线 y = -2 上一点，过点 P 分别作抛物线C : x 2 = 4y 的两条切线 PA 、 PB ， 其中 A 、 B 为切点.1（1）若点 A 的坐标为(1, 4 ) ，求点 P 的横坐标；（2）当△ ABP 的面积为 27时，求 AB .2 【解析】（1）由 y = 1 x 2 ，所以 y ' = 1x ， ……………………………………1 分4 21因为 A (1, ) ，4由导数的几何意义知，切线 PA 的斜率k = 1 ⨯1= 1，……………………2 分PA2 2所以切线 PA 的方程为l : y - 1 = 1 (x -1) ，即 y = 1 x - 1，………………………3 分PA4 2 2 4又因为点 P 为直线 y = -2 与直线 y = 1 x - 1的公共点，2 4联立 y = -2 与 y = 1 x - 1 ，可得 P 点横坐标为- 7．.…………………………4 分2 4 2（2）法一：不妨设 A (x 1, y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ， P (x 0 , -2) ，由（1）可知k= 1 x ，即直线 PA 的方程为 y - y = 1x (x - x ) ，PA 2 1 1 2 1 1即l : y = 1 x x - y ，同理可得l : y = 1x x - y ，…………………………5 分PA2 11 PB2 221+ 0 4x 2 4x 2 + 32 04x 2 + 32 0 5⎨ 00 x x x x ⎧ x 0x - y = -2因为切线 PA ， PB 均过点 P (x 0 , -2) ⎪ 2 11， 所以⎨ x， ……………6 分⎪ 0 x - y = -2 ⎪⎩ 2 2 2所以(x , y ), (x , y ) 为方程x 0x - y = -2 的两组解，11222所以直线 AB 的方程为 x 0 x - y = -2 ，即l 2 AB : y = x0 x + 2 .…………………7 分2⎧y = x 0 x + 2 联立⎪ 2 ，可得 x 2 - 2x x - 8 = 0 ，显然∆＞0 ， ⎪⎩x 2 = 4 y 由韦达定理得， x 1 + x 2 = 2x 0 , x 1x 2 = -8 ， ……………………………………8 分所 以 AB = = ， …………9 分又因为点 P 到直线 AB 的距离d ， …………………………10 分11 ⎛ x2 ⎫ 1 327 所以 S ∆ = AB ⋅ d = 0 + 4 ⎪ = (x 2 + 8)2 = ，………11 分ABP2 2 ⎝ 2 ⎭2 0 2x 2解得 x 2= 1，所以 AB =1+ 0 44x 2+ 32=3 . ………………………12 分2法二：不妨设 A (x 1, y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，由（1）可知直线 PA 的方程为 y = 1 x - 1 ， 2 42同理，直线 PB 的方程为 y = 2 x - 2，…………………………………………5 分2 4联立解得 P ( x 1 + x 2 , x 1x2 ) ，…………………………………………………………6 分2 4又点 P 在直线 y = -2 ，所以 x 1x2 = -2 ， x x = -8 ， …………………………7 分41 2⎧x 2= 4 y设直线 AB 的方程为 y = kx + m ，联立⎨ ⎩ y = kx + m由韦达定理得 x 1 + x 2 = 4k ， x 1x 2 = -4m = -8 ，，可得 x 2- 4kx - 4m = 0 ，可得m = 2 ， P (2k , -2) ，…………………………………………………………8 分1+ ( x0 )2 (2x )2 - 4⨯ (-8) 20 0+ 4x 22 1+ ( x 0 )2 21+ k 2所以| AB |= = 4 1+ k 2 k 2+ 2 ， …………………9 分| 2k 2 + 4 |又因为点 P 到直线 AB 的距离为 d =， ……………………………10 分1 2+ 4 | 3 27 所以 S = | AB | ⋅d = 2 1+ k 2 k 2 + 2 = 4(k 2 + 2)2= ，…11 分 ∆ABP 2 2解得k 2 = 1，所以| AB |= 4 1+ 1 ⨯ 2 + 1 =3 5 . ………………………12 分4 4 4【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = a e x+2x -1，其中常数e = 2.71828...... ，是自然对数的底数．（1）讨论函数 f (x ) 的单调性；（2）证明：对任意的a ≥ 1，当 x > 0 时， f (x ) ≥ (x + a e)x ．【解析】（1） f '(x ) = a e x+ 2 ．…………………………1 分① 当a ≥ 0 时， f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 在R 上单调递增；………………………2 分 ② 当a < 0 时，由 f '(x ) > 0 解得 x < ln(- 2) ，由 f '(x ) < 0 解得 x > ln(- 2) ．aa故 f ( x ) 在⎛ -∞, ln(- 2 ) ⎫ 上单调递增，在⎛ ln(- 2 )，+ ∞ ⎫上单调递减．a ⎪ a ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭…………………………4 分综上所述，当a ≥ 0 时， f (x ) 在 R 上单调递增；当 a < 0 时， f (x ) 在⎛-∞, ln(- 2 ) ⎫上单调递增，在⎛ln(- 2)，+ ∞ ⎫上单调递减．a ⎪ a⎪ ⎝⎭ex- x-1+ 2- ≥⎝⎭…………………………5 分（2） 证法一：原不等式等价于x a ax ae 0 ．………………6 分e x x 1 2'(x -1)(a e x - x -1)令 g (x ) = - - + - e ，则 g (x ) =．…………………7 分x a ax aax21+ k 2 (4k )2 - 4⨯ (-8) 1+ k 2当a ≥ 1时，a e x -x -1 ≥ e x -x -1，…………………8 分令 h (x ) = e x - x -1，则当 x > 0 时， h '(x ) = e x-1 > 0 ，∴ 当 x > 0 时， h (x ) 单调递增，即h (x ) > h (0) = 0 ， ………………………10 分∴ 当0 < x < 1时， g '(x ) < 0 ；当 x = 1时， g '(x ) = 0 ；当 x > 1时， g '(x ) > 0 ，∴ g (x ) ≥ g (1) = 0 ． ………………………11 分e xx 12即 - - + - e ≥ 0 ，故 f (x ) ≥ (x + a e)x ．………………12 分x a ax a证法二：原不等式等价于 a (e x- e x )≥ (x -1)2．………………………6 分令 g (x ) = e x- e x ，则 g '(x ) = e x- e ．当 x < 1时， g '(x ) < 0 ；当 x > 1时， g '(x ) > 0 ．∴ g (x ) ≥ g (1) = 0 ，即e x- e x ≥ 0 ，当且仅当 x = 1时等号成立．…………………7 分当 x = 1时，a (e x- e x )≥ (x -1)2显然成立； 当 x > 0 且 x ≠ 1时， e x- e x > 0 ．欲证对任意的a ≥ 1，a (e x- e x )≥ (x -1)2成立， 只需证e x - e x ≥ (x -1)2．……9 分思路 1： ∵ x > 0 ，∴不等式e x - e x ≥ (x -1)2e x可化为 - x - 1- e + 2 ≥ 0 ，…………10 分令- - + - ≥ ，则 x a ax ax xf (x ) ≥ (x + a e)x ，易证当 x > 0 时， a (e x- e x )≥ (x -1)2，∴当g (x ) = e x -e x 时， g '(x ) = e x - e ，当 x < 1时， g '(x ) < 0 ，∴函数 x >1在g '(x ) > 0上单调递减，在g (x ) ≥ g (1) = 0上单调递增，∴ e x- e x ≥ 0 ，…………………11 分∴ x = 1 ， 即 e x- x x - 1 - e + 2 ≥ 0 ， x从而，对任意的 x > 0 ，当 x ≠ 1时， e x - e x > 0 ． …………………………12 分(x -1) +e x a ⎪ a a (x -1)2+e x-(x -1)(x + e - 3)思路 2： 令ϕ(x ) =，则ϕ'(x ) =．e xe xϕ'(x ) > 0 ⇒ 3 - e < x < 1，ϕ'(x ) < 0 ⇒ x >1或0 < x < 3- e ．∴ϕ (x ) 在(0, 3 - e) 上单调递减，在(3 - e ，1) 上单调递增，在(1，+∞) 上单调递减．…………………………11 分∵ ϕ (0)=ϕ(1) = 1，2∴ ϕ(x ) = ≤ 1，即(x -1)2 ≤ e x - e x ．e x从而，对任意的a ≥ 1，当 x > 0 时， f (x ) ≥ (x +a e)x ． …………………………12 分证法三：原不等式等价于a e x + 2x -1- x 2- a e x ≥ 0 ．令 g (x ) = a e x - x 2- (a e - 2)x -1 ，则 g '(x ) = a e x - 2x - (a e - 2) ． ……………6 分令 h (x ) = a e x - 2x - (a e - 2) ，则h '(x ) = a e x- 2 ，其中 x > 0 ．① 当a ≥ 2 时，h '(x ) > 0 ． h (x ) 在(0，+∞)上单调递增． 注意到h (1) = 0 ，故当 x ∈ (0,1)时，g '(x )=h (x ) < 0 ；当 x ∈ (1，+∞) 时，g '(x )=h (x ) > 0 ．∴ g (x ) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增． ∴ g (x )min =g (1) = 0 ，即 f (x ) ≥ (x + a e)x ．…………………………7 分② 当1 ≤ a < 2时， 0 < ln⎛ 2 ⎫< 1． ⎝ ⎭当0 < x < ln⎛ 2 ⎫时，h '(x ) < 0 ，h (x ) 单调递减；当 x > ln⎛ 2 ⎫时，h '(x ) > 0 ，h (x ) 单调⎪⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭递增．②—（i ）：若 2e -1≤ a < 2 ，则h (0) = a (1- e )+2 ≤ 0 ．∵ h ⎛ ln 2 ⎫ < h (1) = 0a ⎪ ⎝ ⎭∴ 当 x ∈ (0,1)时， g '(x )=h (x ) < 0 ；当 x ∈ (1，+∞) 时， g '(x )=h (x ) > 0 ． 与①同，不等式成立．…………………………9 分a ⎪⎩ π⎩2+ρθ y②—（ii）：若1≤a<2e -1，则h(0) =a (1- e)+2>0 ，∵ h ⎛ln2 ⎫<h(1) = 0 ，a ⎪ ⎝⎭∴∃x ∈⎛0, ln⎛2 ⎫⎫，使得h (x )= 0 ，且当x ∈(0, x )时，g'(x)=h(x) > 0 ；当x∈(x，1)0 ⎪0 0 0⎝⎝⎭⎭时，g'(x)=h(x) < 0 ；当x∈(1，+∞)时，g'(x)=h(x) > 0 ．∴g(x)在(0, x0 )上单调递增，在(x0，1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增．∵ g(0)=a -1 ≥ 0 ，g(1)=0∴ 此时，g(x) ≥ 0 ，即f (x) ≥ (x +a e)x ．综上所述，结论得证．…………………………12分【命题意图】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究单调性，证明不等式等为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．请考Th在第22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10 分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cosα,（α为参数），圆C 的方程1 ⎨y = sinα,2为(x -2)2 +y2 =4，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=θ0 (ρ≥ 0) ．（1）求曲线C1 和圆C2 的极坐标方程；（2）当0 <θ0 <2时，若射线l 与曲线C1 和圆C2 分别交于异于点O 的M 、N 两点，且| ON |= 2 | OM | ，求△ MC2N 的面积．⎧x = 2 c osα,解：（1）由⎨y = sinα消去参数α可得C1 的普通方程为x2+24= 1，……………1 分把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入，得(ρcosθ)2( sin )4= 1 ，6 3 2 3 6 2 2 1 2 22 2 22 即 ρ2= 4 cos 2θ + 4sin 2 θ = 4 ， 1+ 3sin 2θ所以C 的极坐标方程为 ρ 2= 4 1+ 3sin 2θ； ………………………3 分把 x = ρ cos θ ， y = ρ sin θ 代入(x - 2)2+ y 2= 4 ，得 ρ = 4 cos θ ， 所以C 2 的极坐标方程为 ρ = 4 cos θ ．………………………5 分（2）把θ = θ0代入 ρ 2= 4 1+ 3sin 2θ，得 ρM = 4 ， 1+ 3sin 2 θ 把θ = θ0 代入 ρ = 4 cos θ ，得 ρN = 4cos θ0 ，………………………6 分由| ON |= 2 | OM | ，得 ρN = 2ρM ，即 ρN = 4ρM ，即(4 cos θ0 )2=161+ 3sin 2θ ， ………………………7 分∵ 0 < θ0< π ， 2∴ sin θ = ，cos θ = ， 03∴ ρM = 03= ， ρ 3N= 4 cos θ0=， …………………8 分3∴ △ MC 2 N 的面积 S ∆MC N = S ∆OC N - S ∆OC M= 1 | OC | (ρ - ρ ) ⋅ sin θ = 1 ⨯ 2⨯ 2 3⨯ = ．……………………10 分22 N M 02 3 3 3 【命题意图】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极径ρ 的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．考察考生的化归与转化能力．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲1已知函数 f (x ) =| x - m | + | x +| (m > 1) ．m（1）当m = 2 时，求不等式 f (x ) > 3 的解集；（2）证明： f (x ) +1m (m -1)≥ 3 ．1解：（1）当m = 2 时， f (x ) =| x - 2 | + | x + | ，………………………1 分24 1+ 3sin 2 θ 0 4 3 0 0(m -1) ⋅(1 m -1①当x ≤-1时，原不等式等价于(2 -x) - (x +1) > 3 ，解得x <-3，……………2分2 2 4②当-1<x < 2 时，原不等式等价于5> 3 ，不等式无解，……………3分2 2③当x ≥ 2 时，原不等式等价于(x - 2)+ ⎛x +1 ⎫> 3 ，解得x >9，………………4 分2 ⎪4⎝⎭综上，不等式f (x) > 3 的解集为(-∞, -3) (9,4 4+∞) ；………………5分（2）由题f (x) =| x -m | +| x +1|≥|m +1| ，………………………6分m mm > 0 ，∴|m + 1|=m +1，m m∴f (x) ≥m +1，当且仅当x ∈⎡-1, m⎤时等号成立．………………7分∴f (x) +m1≥m +1+⎣⎢m1⎥⎦=m +1= (m -1) +1+1，m(m -1) m m(m -1) m -1 m -1m >1，∴m -1 >0 ，∴(m -1) +1m -1+1 ≥ 2 ) +1 = 3 ，…………9 分∴f (x) +1m(m -1)≥ 3 ，当m = 2 ，且x ∈[-1, 2] 时等号成立．……………………10 分2【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。