2．2 指数函数突破思路本节主要学习分数指数幂与指数函数．1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a 的n 次幂表示n 个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质：（1）a m a n ＝a m ＋n ；（2）a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ＞n ）；（3）（a m ）n ＝a mn ；（4）（ab ）n ＝a n b n ；（5）（ba）n ＝n nb a 若（b ≠0）．另外规定了a 0＝1（a ≠0）、a －n ＝n a1（n 为正整数，a ≠0），这样一来，原来的5条运算律可以归纳为（1）（3）（4）三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数． 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发．从根式的基本性质mp np a ＝m n a （a ≥0，m 、n 、p ∈N*）， 我们知道a ≥0时，6a ＝a 3＝26a ，123a ＝a 4＝312a ．于是我们规定：（1）nm a ＝n m a （a ≥0，m 、n ∈N*）； （2）nma－＝nm a1（a ＞0，m 、n ∈N*，n ＞1）；（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）a r a s ＝a r ＋s ；（2）（a r ）s ＝a rs ；（3）（ab ）r ＝a r b r ，式中a ＞0，b ＞0，r 、s 为有理数．3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a ≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性．（1）若a ＝0，当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 没有意义； （2）若a ＜0，如y ＝（－2）x 对于x ＝21、43等都是没有意义的； （3）若a ＝1，则函数为y ＝1x ＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性．4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型．5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题． 合作讨论【问题1】下列各式中正确的是（ ）A ．n n a ＝a （n ∈N*）B ．（n a ）n ＝a （n ∈N*）C ．npmpa＝n ma（n ，m ，p ∈N*）D ．nma－＝mna1（m ，n ∈N*，a ＞0）我的思路：我们知道，如果x n ＝a ，则称x 是a 的n 次方根．若a ＝0时，则x ＝0，即n0＝0，若a ≠0时，当n 为正奇数时，x ＝n a ，其符号与x 的符号一致；当n 为正偶数时，则a 一定大于零，x ＝士n a ，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．A 、C 中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a 的符号．如：44)2(－≠－2和4543)2(⨯⨯－≠53)2(－，应该先将被开放式底数－2化成2，然后再进行化简．故A ，C 不一定成立．一般地，根式有如下性质：（1）nna ＝)0()0(||＜＝－a a aa a≥⎩⎨⎧（n ∈N*）；（2）（n a ）n ＝a （n ∈N*）．对于分数指数幂nm a 不能理解为有nm个a 相乘，我们规定n ma ＝n m a （a ＞0，m ，n ∈N*）．应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒．故D 不成立．因此选B ．思考：对于根式n m a 在什么条件下有意义？【问题2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象： ①y ＝2x ；②y ＝5x ；③y ＝（51）x ；④y ＝（21）x ． 观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？我的思路：指数函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）恒过两个点（0，1）和（1，a ）．这四个函数都经过（0，1），又分别经过（1，2）、（1，5）、（1，51）、（1，21）．再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象（如下图）．根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y 轴对称．结论：（1）一般地，指数函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）与y ＝a －x （a ＞0且a ≠1）的图象关于y 轴对称．（2）在y 轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y 轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）． （3）（有界性）若a ＞1，当x ＞0时，y ＞1当x ＜0时，0＜y ＜1．若0＜a ＜1，当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1． 思维过程在本小节的学习过程中，我们应该从下面几个方面去掌握知识，提高能力．1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全相同．正整数指数幂的五条运算性质可以归结为以下三条：①a r ·a s ＝a r ＋s ；②（a r ）s ＝a rs ；③（ab ）r ＝a r b r ，其中a ＞0，b ＞0，r ，s ∈Q ．这三条运算性质对于r ，s ∈R 也成立，我们要记准公式，不仅会直接使用，更要会准确地逆用、活用．2．对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n 次方根的概念以及n 次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化．3．在指数函数的概念中，对底数a ＞0且a ≠1的规定是为了使函数的定义域为实数集且具有单调性．运用指数函数性质解题时要注意对底数a 的分类讨论，注意函数有界性的运用．4．在本节的学习过程中，要学会正确处理由指数函数与其他函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题，注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的运用．5．在解决简单的实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【例1】化简下列各式： （1）41)0081.0(－－［3×（87）0］－1·［81－0.25＋31)833(－］21－－10×31027.0；（2）323323134248aab b b a a ＋＋－÷（1－23ab）×3ab ． 思路：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如b a32，2－ba 都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：①a －b ＝（a －b ）（a ＋b ）； ②a ±2ab ＋b ＝（a ±b ）2；③a ±b ＝（3a ±3b ）（32a ＋3ab ＋32b ）．答案：（1）原式＝0.3－1－3－1·（3－1＋32）21－－10×0.3＝310－31－3＝0；（2）原式＝231313123131)(2)2()8(a b b b b a a ＋＋－×3131312ba a－×3131b a ＝)8()8(31b a b a a －－×31a ×3131b a ＝a 3b ．【例2】设y l ＝a 3x －1，y 2＝42－＋x x a（a ＞0，a ≠1），确定x 为何值时有（1）y 1＝y 2；（2）y 1＞y 2．思路：显然需对a 进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式． 答案：（1）由题意得a 3x －1＝42－＋x x a，则3x －1＝x 2＋x －4，解得x ＝3或x ＝－1．（2）当a ＞1时，a 3x －1＞42－＋x x a，则3x －1＞x 2＋x －4，解得－1＜x ＜3；当0＜a ＜1时，42－＋x x a＜a 3x －1，则3x －1＜x 2＋x －4，解得x ＜－1或x ＞3．【例3】比较下列各数的大小：①52)2(－；②21)23(－；③52)23(－－；④3)31(－；⑤54)32(－．思路：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，①52)2(－＝522；②21)23(－＝21)23(；③52)23(－－＝52)32(；④3)31(－＝－271；⑤54)32(－＝54)32(显然，以0、1为界将五个数分成三类：①52)2(－＞1，④3)31(－＜0，②③⑤三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y ＝x)32(在实数集上递减，所以③＞②＞⑤．答案：52)2(－＞52)23(－－＞21)23(－＞54)32(－＞3)31(－．点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路： （1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y 轴的右侧“右侧底大图高”；在y 轴的左侧“左侧底大图低”．（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的． 新题解答【例1】对于函数y ＝122)31(－－x x ，（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间． 解析：函数y ＝122)31(－－x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝u)31(“复合”而成．（1）由u ＝x 2－2x －1＝（x －1）2－2，当x R 时，u ≥－2，此时函数y ＝u)31(总有意义，∴定义域为R ；又由u ≥－2，∴0＜u)31(≤9，∴原函数的值域为（0，9］． （2）∵函数u ＝x 2－2x －1在［1，＋∞）上递增， ∴对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，∴1)31(u ＞2)31(u ，即y 1＞y 2． ∴函数y ＝122)31(－－x x 在［1，＋∞］上递减．同理可得函数y ＝122)31(－－x x 在（－∞，1）上递增．点评：形如y ＝)(x f a（a ＞0，a ≠1）的函数有如下性质：（1）定义域与函数定义域相同；（2）先确定函数u ＝f （x ）的值域，然后以u 的值域作为函数y ＝ua （a ＞0，a ≠1）的定义域求得函数y ＝)(x f a （a ＞0，a ≠1）的值域；（3）函数y ＝)(x f a（a ＞0，a ≠1）的单调性，可以由函数u ＝f （x ）与y ＝ua （a ＞0，a ≠1）按照“同增异减”的原则来确定．从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用． 【例2】求下列函数的定义域，值域： （1）y ＝112－x ； （2）y ＝125－x ；（3）y ＝22)21(x x －； （4）y ＝x 9＋2×x3－1．解析：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法． （1）要使函数有意义，则x －1≠0， ∴x ≠1．∴函数定义域为{x |x ≠1}； ∵x ≠1，11－x ≠0， ∴112－x ≠1，∴函数值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．（2）∵2x －1≥0，∴函数定义域为{x |x ≥21}； ∵2x －1≥0，∴12－x ≥0，∴y ＝125－x ≥1．∴函数值域为{y |y ≥1}．（3）函数定义域为R ；∵2x －x 2＝－（x －1）2＋1≤1， ∴y ＝22)21(x x －≥21．∴函数值域为{y |y ≥21}． （4）函数定义域为R ；令t ＝x3，则t ＞0，y ＝t 2＋2t －1＝（t ＋1）2－2，其对称轴为t ＝－1． ∵t ＞0，函数y ＝（t ＋1）2－2单调递增， ∴y ＝（t ＋1）2－2＞1－2＝－1． ∴函数值域为{y |y ＞－1}．点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，（4）利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A ，再由函数的定义域A 求内函数的值域B ，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如（4）是由函数y ＝t 2＋2t －1和函数t ＝3x 复合而成，先求得原函数的定义域为R ，再由x R 得t ＞0（即得到内函数的值域B ），然后由t ＞0得到函数值域为{y |y ＞－1}．若（4）中的x ≥1，你还能求出它的值域吗？【例3】若函数y ＝1212·－－－x x aa 为奇函数，（1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．解析：先将函数1212·－－－x x a a 化简为y ＝121－－xa ． （1）由奇函数的定义，可得f （－x ）＋f （x ）＝0，即121－－－x a ＋121－－x a ＝0，∴2a ＋x x 2121－－＝0，∴a ＝－21．（2）∵y ＝－21－121－x ，∴x2－1≠0． ∴函数y ＝－21－121－x 定义域为{x |x ≠0}．（3）法一：（逐步求解法）∵x ≠0，∴x2－1＞－1． ∵x2－1≠0，∴0＞x2－1＞－1或x2－1＞0．∴－21－121－x ＞21，－21－121－x ＜－21， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－21}．法二：（利用有界性）由y ＝－21－121－x ≠－21，可得x 2＝2121＋－y y ．∵x 2＞0，∴2121＋－y y ＞0．可得y ＞21或y ＜－21， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－21}．（4）当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝1212－x －1211－x ＝1211－x －1211－x ＝)12)(12(221221－－－x x x x ．∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x＜22x．∴12x－22x＜0，12x－1＜0，22x－1＜0．∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－21－121－x 在（0，＋∞）上递增． 同样可以得出y ＝－21－121－x 在（－∞，0）上递减．点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识．在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．当x ＞0时，∵x2为增函数，∴x2－1为增函数，121－x 递减，一121－x 为增函数，∴y ＝－21－121－x 在（0，＋∞）上递增．一般地，函数y ＝f （u ）和函数u ＝g （x ），设函数y ＝f ［g （x ）］的定义域为集合A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y ＝f （u ）（称外函数）与u ＝g （x ）（称内函数）单调性相同，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）．另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝－f （x ）递减（增）；②若函数y ＝f （x ）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y ＝)(1x f 递减（增）；③若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝f （x ）＋k 递增（减）． 【例4】已知函数y ＝x （131－x ＋21）． （1）求定义域；（2）讨论奇偶性；（3）证明它在定义域上恒大于0．解析：（1）定义域为{x |x ≠0}．（2）f （x ）－f （－x ）＝x （131－x ＋131－－x ＋1）＝x （1331－－x x ＋1）＝0，∴f （x ）＝f （－x ）．∴f （x ）是偶函数． （3）当x ＞0时，x3＞1，∴x3－1＞0．∴131－x ＋21＞21． ∴x （131－x＋21）＞21x ＞0，即当x ＞0时，y ＞0； 当x ＜0时，1＞x 3＞0．∴0＞x3－1＞－1．∴131－x ＋21＜－1．∴x （131－x ＋21）＞－x ＞0，即当x ＜0时，y ＞0．综上，f （x ）在定义域上恒大于0．点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f （x ）－f （－x ）＝0，则f （x ）是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0，转化为证明值域为（0，＋∞），这里运用分类讨论来逐步求解．【例5】如果函数y ＝122－＋xx a a （a ＞0且a ≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a 的值．解析：设t ＝xa ，则原函数可化为y ＝（t ＋1）2－2，对称轴为t ＝－1． （1）若a ＞1，∵x ∈［－1，1］，∴－1＜a1≤t ≤a ． ∵t ＝xa 在［－1，1］上递增， ∴y ＝（t ＋1）2－2当t ∈［a1，a ］时也递增， ∴原函数在［－1，1］上递增． 故当x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1．由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5（舍，∵a ＞1）．（2）若1＞a ＞0，可得当x ＝－1时，y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝31或a ＝－51（舍）．综上，a ＝31或3． 点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论．【例6】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝21（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a＝h t)21(（T 0－T a ）．现有一杯 195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在 75F 的房间中，如果咖啡降温到105F 需20分钟，问欲降到95F 需多少时间？解析：由题意，温度T 是时间t 的指数函数型关系，即T ＝h t)21(（T 0－T a ）＋T a ，将有关数据代入，得T ＝75＋（195－75）×h t )21(＝75＋120×h t)21(．再将t ＝20，T ＝105代入得105＝75＋120×h 20)21(，解得h ＝10．∴T ＝75＋120×10)21(t，欲使T ＝95，代入上式解得t ＝26（分）．点评：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题． 变式练习 1．等式224＋－x x ＝2244＋－x x 成立的充要条件是（ ）A ．x ≠－2B ．x ≥2或x ＜－2C ．x ≥2D ．x ＜－2解析：若使等式成立，则等式中三个偶次根式必须都有意义，故选C ． 答案：C2．若x2＝7，y2＝6，则yx －4等于（ ）A ．4936 B ．67C ．1214 D ．3649 解析：要熟练逆用幂的运算公式，选D ． 答案：D3．若41a ＞32a ，则a 的范围是（ ）A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．41＜a ＜32 D ．a ＞32 解析：利用函数的单调性，选B ． 答案：B4．若x)53(＞x)75(，则x 的范围是（ ） A ．0＜x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＜－1 D ．x ＜0解析：在同一坐标系中画出两个指数函数图象，利用图象解题．选D ． 答案：D5．下列函数是指数函数的是（ ）A ．y ＝x)3(－ B ．y ＝x3－ C ．y ＝123＋x D ．y ＝x－2解析：符合指数函数定义的是D ，y ＝x－2＝x)21(．答案：D6．下列函数值域是（0，＋ ）的是（ ）A ．y ＝x 2B ．y ＝122＋xC ．y ＝121＋x D ．y ＝122－x解析：利用求值域的逐步求解法，选A ． 答案：A7．若a ＝1)32(－＋，b ＝1)32(－－，则（a ＋1）－2＋（b ＋1）－2的值是（ ）A ．1B ．41C ．22；D ．32 答案：D8．若函数y ＝xa ＋m －1的图象在第一，三，四象限，则（ ） A ．a ＞1且m ＞1 B ．a ＞l 且m ＜0 C ．0＜a ＜1且m ＞0 D ．0＜a ＜1且m ＜1 答案：B9．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（ ）A ．5B ．9C ．6D ．8 解析：每一天的细胞数都是前一天的两倍，选B ． 答案：B10．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝xa ＋b 的图象一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：A11．函数y ＝xa 与y ＝ax －a 的图象大致是下图中的（ ）答案：D12．在下列等式中，函数f （x ）＝x2不满足的是（ ）A ．f （x ＋1）＝2f （x ）B ．f （xy ）＝f （x ）＋f （y ）C ．f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ）D ．f （－x ）＝)(1x f 答案：B13．若a 2x＝8，则xx xx aa a a －－＋＋33___________． 解析：将分子分解因式，然后代入可得值为857． 答案：857 14．化简215658)·(b a ÷（354a ）÷53b ＝___________． 答案：31 15．若函数y ＝（a 2－3a ＋3）a x 是指数函数，则a 的值是___________． 答案：216．函数f （x ）的定义域为［1，4］，则函数f （x －2）的定义域为___________． 答案：［－2，0］17．若f （x ）＝xx 2121＋－，f －1（53）则___________． 解析：利用函数与它的反函数的定义域与值域之间的关系来解题． 答案：－218．若函数y ＝xa ＋b 的图象经过点（1，3），它的反函数的图象经过点（2，0），则函数y ＝xa ＋b 的值域是___________． 解析：由a ＝2，b ＝1求得y ＝x2＋1． 答案：（1，＋∞）19．（1）函数y ＝332＋－xx a （以a ＞0且a ≠1），当x ∈［1，3］时有最小值为8，则a 的值为___________；（2）函数y ＝xx a 22－（a ＞1）的定义域___________，单调增区间___________，值域___________．答案：（1）16 （2）{x |x ≥2，或x ≤0} （2，＋∞） {y |y ≥1} 20．（1）已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|x |的实根个数为___________． （2）关于x 的方程x)21(＝a－11有正根，则a 的取值范围是___________． 解析：利用图象解题．答案：（1）2个 （2）（－∞，0） 21．解下列关于x 的方程： （1）81×x23＝2)91(＋x ；（2）222＋x ＋3×x 2－1＝0．解析：（1）把方程两边都化成同底数指数幂的形式；（2）用换元法．令t ＝x 2，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0，先解出t 再去解x ，但要注意t ＞0．所以x ＝－2． 答案：（1）－2；（2）－2．22．设f （x ）是定义域为x ∈R 且x ≠0上的奇函数，则当x ＞0时，f （x ）＝xx21－．（1）写出x ＜0时f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x ）＜－3x ． 解析：（1）x ＜0时，f （x ）＝x ·122－x x；（2）x ＞0时，由f （x ）＝xx21－＜一3x ，解得0＜x ＜2； x ＜0时，由f （x ）＝x ·122－x x ＜一3x，解得x ＜－2．答案：（1）x ·122－x x；（2）0＜x ＜2；（3）x ＜－2．23．已知函数f （x ）＝11＋－x x a a （a ＞1）。