4.2.1 指数函数及其图像与性质
【教学目标】
1.知识与技能目标：
使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。
2.过程与方法目标：
在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。
3.情感态度与价值观：
让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。
【教学重、难点】
教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。
教学难点：指数函数性质的归纳与运用。
【教学方法】
我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。
本节课概念性比较强，而且突出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动手能力、观察能力比较强。
因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具，让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学课堂还给学生。
【教学过程】
1.流程
（1）教学流程：
（2）学生认知流程：
2.教学过程设计
三、深入探究、引导发现（2）动眼观察，产生猜想：展示学生制作的6个函
数图像（图1，分开独立的6个图像；图2，将它们
放在同一坐标系下），让他们观察这6个指数函数图
像有何共同的特征：
图1
图2
思考：能将他们分分类吗？这个图象特征与底数a
是否存在关系？
引导学生大胆猜测：指数函数的图象按底数分成两
类。
教师：让学生自由发挥，说
说他们观察到的有共性的
图像特征。
学生：容易发现：
①都过点（0，1）；
②图像都在x轴上方；
③有的图像呈上升趋势；有
的图像呈下降趋势。
教师：引导学生去观察图像
呈上升或下降这一图像特
征与它们的底数存在的关
系。
学生:发现呈上升趋势的3
个图象，底数都大于1；呈
下降趋势的3个图象，底数
都大于0小于1；从而对“指
数函数图像形按底数分成
两类”形成初步的认识。
教师：引导学生一起观察发
现：底数大于1的三个函数，
虽然它们的弯曲程度不同，
但是都呈上升的趋势；底数
大于0小于1的三个函数也
类似，形成“指数函数的图
象按底数分成两类，即底数
大于1的指数函数图像呈上
升趋势，底数大于0且小于
1的指数函数图像呈下降的
趋势”这一猜想。
学生很容易
观察它们呈上升
或下降的整体特
征，从而对指数函
数图像的分类形
成初步的认识。
让学生自己
去动手操作、观察
发现，并引导他们
对所发现的知识
进行归纳、分类，
目的在于让学生
成为数学课堂的
主人，同时努力达
到“使学习过程成
为学生愉悦的主
动认知过程”这一
目标。
4
()
3
x
y=
1
0.35x
y=
1
0.7x
y=
1
2.3x
y=
1
1
4x
y=
1
3
()
5
x
y=
三、深入探究、引导发现（3）验证猜想：使用几何画板让学生去观察：当取
底大于0小于1的任何一个值时，虽然弯曲程度在
变，但它们始终都呈单调递减趋势，底大于1也如
此。
由此验证了他们的猜想，也得到了指数函数的
两类图象：
（4）归纳指数函数的性质：
通过前面对图像特征的充分认识，引导学生一起将
这些图像特征转化成数学语言，即得到指数函数的
性质。
a＞1 0＜a＜1
图
象
定义域R
值域(0，＋∞)
定点恒过点（0,1），即当x=0时，函数值y=0
单调性在R上是增函数在R上是减函数
练习．画出下列函数的简图：
x
y3
)1(=，
x
y⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
3
1
)2(
教师：动画展示，验证猜想。
教师：引导学生对当a＞1
时的指数函数图象进行下
列三个方面归纳整理：
①经过的特殊点；
②图象的范围（左右、上
下方向）
③图象从左向右的变化趋
势（上升或下降）
从而得到指数函数的性质，
并整理成表格。
学生：完成当0＜a＜1时，
指数函数图像的性质。
学生：动手作图。
运用几何画
板来验证猜想，这
一过程也很好地
维护了数学知识
的严谨性。
由特殊到一
般，由感性到理
性，从而顺理成章
地总结出指数函
数的性质，这符合
人认识问题的一
般规律，学生很容
易接受．
让学生通过
对比完成0＜a＜
1的情况，体验成
功的喜悦，也加深
对知识的理解。
巩固指数函
数的图像的分类
及特征。
过程小结
这个环节中通过让学生动眼观察、动脑思考，并对猜想进行验证，在这一过程中不仅让学生的主体意识得以充分的体现，也让学生经历知识的产生和发展过程，感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维，从而有效的达到对知识的理解。
四、巩固提高灵活运用例2．判断下列函数()
+∞
∞
-,在内的单调性
（1）x
y5
=（2）x
y-
=3（3）32
x
y=
解：（1）因为底数1
5>
=
a,所以，函数x
y5
=在
()
+∞
∞
-,内是增函数。
（2）因为
x
x
x
y⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=
=-
-
3
1
)
3(
31，底数
1
3
1
<
=
a,所以，函数x
y-
=3在()
+∞
∞
-,内是减
函数。
（3）因为x
x
x
y)2
(
2
23
3
1
3=
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=，底数
1
259
.1
2
3>
≈
=
a,所以，函数32
x
y=在
()
+∞
∞
-,内是增函数。
思考题:比较下列各题中两个值的大小：
（1）2
5-___1.2
5-（2）
2.0
3
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
___
4.0
3
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
师生：
（1）学生回答，教师板书；
（2）教师适当地提示，学
生完成.
（3）学生独立完成。
教师：引导学生结合例2（1）
（2）函数性质进行分析，
将单调性具体到对两个点
进行讨论。
例2的目的
在于考察学生对
本节课指数函数
的定义及性质的
理解程度，（1）的
解决学生应该没
有问题，（2）（3）
的解决需要结合
实数指数幂的运
算，但是有了例1
的铺垫，（2）（3）
也就容易解决了。
思考题也是
指数函数性质的
运用，有了例2
的铺垫，学生不难
理解，培养学生数
形结合分析问题
能力。
五、归纳总结新知梳理新知梳理：教师提问：
通过本节课的学习，你学到
了哪些知识？又掌握了哪
些方法？
对本节课知
识进行整理，让学
生领悟研究一个
函数的方法和模
式：从定义——图
象——性质的过
程。
【板书设计】【教学反思】。