整式的除法（基础）
【学习目标】
1. 会进行单项式除以单项式的计算．
2. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出
现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组
合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点二、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++
要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实
质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变
化.
【典型例题】
类型一、单项式除以单项式
1、计算：
（1）342222(4)(2)x y x y ÷；
（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭
； （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-；
（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．
【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、
（4）中多项式因式当做一个整体参与计算．
【答案与解析】
解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=．
（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭
21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ 21432
n xy z -=-． （3）22
[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷- 222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷-
2()()x y x y x y =-÷-=-．
（4）2
[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++ 2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+
3()33a b a b =+=+．
【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数．
举一反三：
【变式】计算：
（1）3153a b ab ÷； （2）5322
53x y z x y -÷； （3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-
÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】 解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==．
（2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-
． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．
2、夏天是多雷雨的季节，大家都知道，雷雨时往往是先看到闪电，后听到雷声，这是因为光的传播速度比声音的传播速度快的缘故．已知光在空气中的传播速度约为8310⨯米/秒，而声音在空气中的传播速度约为23.410⨯米/秒．
（1）光的速度大约是声音速度的多少倍？（结果保留两个有效数字）
（2）如果你看到闪电8秒后，才听到了雷声，那么你能算出闪电离你大约有多远吗？
（注：光传播到地球的时间忽略不计）
【答案与解析】
解：（1）82826
(310)(3.410)(3 3.4)(1010)0.88210⨯÷⨯=÷⨯÷⨯≈58.810⨯≈． （2）23
3.4108 2.72102720⨯⨯=⨯=（米）．
【总结升华】在科学记数法表示的数10n a ⨯中，a 相当于单项式的系数，10n 相当于单项式中的幂．
类型二、多项式除以单项式 3、计算（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ； （2）()
()32271833x x x x -+÷-.
【思路点拨】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算．
【答案与解析】 解：（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 5432
5242323211224111124424
482x x x x x x x x x x x x x
⎛⎫=++÷ ⎪⎝
⎭=÷+÷+÷=++ （2）()
()32271833x x x x -+÷- ()()()
32227318333961x x x x x x x x =÷--÷-+÷-=-+-
【总结升华】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．
4、计算：
（1）324
(67)x y x y xy -÷；
（2）42(342)(2)x x x x -+-÷-；
（3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-；
（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫-
-÷- ⎪⎝⎭
． 【答案与解析】 解：（1）32432423
(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-．
（2）42(342)(2)x x x x -+-÷- 42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-
33212
x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-
222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-
2321x x =-+-
（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛
⎫--÷- ⎪⎝⎭ 22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22321533
ab a b =-++． 【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化．
举一反三：
【高清课堂399108 整式的除法 例5】
【变式】计算：
（1）23233
421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡
⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷．
【答案】
解： （1）原式2232
39421922792x y x x x y y x y ⎛
⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-．
（2）原式2222
[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷ 2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷ 2(58)6x xy x =-÷
5463x y =-．。