初中数学二次函数的应用培优练习题（附答案详解）1． 若函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为( ). A ．－1或2 B ．－1或1 C ．1或2D ．－1或2或12．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．B ．y=2x+1C ．y=x 2+x ﹣2D ．y 2=x 2+3x3．已知x 为矩形的一边长，其面积为y ，且(4)y x x =-，则自变量的取值范围是（ ）A ．0x >B ．04x << C ．0≤x ≤4D ．4x >4．已知：如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，BC=13,AB=12，E 是BC 边上一点，过点E 作DE⊥BC，交AC 所在直线于点D ，若BE ＝x ，△DCE 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，P 是BC 边上不同于B ，C 的一动点，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，连接AP .若AC ＝3，BC ＝4，则△AQP 的面积的最大值是( )A ．254B ．258C ．7532D ．75166．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．抛物线y=2x 2－2x+1与坐标轴的交点个数是（ ）8．如图正方形ABCD 的边长为2，点E ，F ，G ，H 分别在AD ，AB ，BC ，CD 上，且EA=FB=GC=HD ，分别将△AEF ，△BFG ，△CGH ，△DHE 沿EF ，FG ，GH ，HE 翻折，得四边形MNKP ，设AE=x （0＜x ＜1），S 四边形MNKP =y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．一男生在校运动会比赛中推铅球，铅球的行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，则铅球被推出的水平距离为________m ． 10．如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当C 点落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的区域面积为________．11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________12．对于二次函数y=x 2+2x ﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x 2+2x ﹣5=0的一个正根的近似值是 ________ ．（精确到0.1）．13．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x ，则根据题意可得方程为________．14．河北省赵县的赵州桥的拱桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为2125y x =-，当水面离桥拱顶的高度DO 为4m 时，这时水面宽度AB 为______________.，矩形MPQN的面积为且MN∥BC，以MN为边向下作矩形MPQN，设MN x（＞），则y关于x的函数表达式为____________．y y16．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD(不含AD)构成．矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(1)求抛物线的函数表达式．(2)如果该隧道内仅设双行道，现有一辆卡车高4.2 m，宽2.4 m，那么这辆卡车能否通过该隧道？17．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x（10万元）0 1 2 …y 1 1.5 1.8 …（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10~30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？18．一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？19．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；求x 为何值时y 的值为1920；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少． 20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与X 轴的交点为A,与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）．（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；（3）当902t ＜＜时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．21．某网站店主购进A 、B 两种型号的装饰链，其中A 型装饰链的进货单价比B 型装饰链的进货单价多20元，花500元购进A 型装饰链的数量与花400元购进B 型装饰链的数量相等。

销售中发现A 型装饰链的每月销售量y 1(个)与销售单价x （元）之间满足的函数关系式为y 1=-x+200；B 型装饰链的每月销售量y 2（个）与销售单价x （元）满足的关系式为y 2=-x+140（2）已知每个A型装饰链的销售单价比B型装饰链的销售单价高20元.求A、B两种型号装饰链的销售单价各为多少元时，每月销售这两种装饰链的总利润最大，最大总利润是多少？22．如图，已知顶点为A(2,-4)的抛物线经过坐标原点O，经过点A的直线y=kx+2交x 轴于点B．（1）求这条抛物线的函数关系式及点B的坐标；（2）点P(x,y)是该抛物线的对称轴的左侧、x轴下方一段上的动点，连结PO，以OQ 为底边的等腰△PQO的另一顶点Q在x轴上，过点Q作x轴的垂线交直线AB于点R，连结PR．设△PQR的面积为S．求S与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使得S△PQR=2，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．23．如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC=，动点P从A点出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C 向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF （P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．（1）求tanA的值；（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．参考答案1．D 【解析】当该函数是一次函数时，与x 轴必有一个交点，此时a －1＝0，即a ＝1. 当该函数是二次函数时，由图象与x 轴只有一个交点可知Δ＝(－4)2－4(a －1)×2a ＝0，解得a1＝－1，a2＝2. 综上所述，a ＝1或－1或2. 故选D.2．C 【解析】试题分析：利用二次函数定义就可以解答． 解：A 、，分母中含有自变量，不是二次函数，错误；B 、y=2x+1，是一次函数，错误；C 、y=x 2+x ﹣2，是二次函数，正确；D 、y 2=x 2+3x ，不是函数关系式，错误．故选C ． 考点：二次函数的定义． 3．B 【解析】由题意得040x x >⎧⎨-<⎩, 解得04x <<. 选B. 4．D 【解析】 因为，，所以，所以。

在中，根据勾股定理可得，，所以，()12135DE x ∴=- ,，故函数图象是抛物线。

因为 E 在 BC 边上，即，所以函数图象为D 。

5．C【解析】试题解析：设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理得 AB=5，∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，∴PQ QB PBAC BC AB==，即PQ QB x345==∴PQ=35x，QB=45xS△APQ=12PQ×AQ=−625x2+32x=−625(x−258)2+7532∴当x=258时，△APQ的面积最大，最大值是7532．故选C. 6．B 【解析】试题分析：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y=13122⨯⨯=34；②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为3(2)2x-，y=13(2)(2)22xx-⨯-⨯=23334x x-+；③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选B．考点：动点问题的函数图象；动点型；分类讨论．7．C【解析】根据一元二次方程2x2-2+1=0的根的判别式的符号来判定抛物线y=2x2-2+1-与x轴的交点个数．解：当y=0时，2x2-2+1=0．∵△=（-2）2-4×2×1=0，∴一元二次方程2x2-2+1=0有两个相等的实数根，∴抛物线y=2x2-2+1与x轴有一个交点，∴抛物线2x2-2+1=0与两坐标轴的交点个数为2个． 故选C ． 8．D 【解析】 【详解】根据题意和图形，由AE=x （0＜x ＜1），S 四边形MNKP =y ， 得出y=S 正方形ABCD -2（S △AEF +S △BGF +S △CGH +S △DEH ） =2×2﹣2×[12•x•（2﹣x ）+12•x•（2﹣x ）+12x•（2﹣x ）+12x•（2﹣x ）] =4x 2﹣8x+4 =4（x ﹣1）2， 0＜x ＜1，∴0＜y ＜4，此函数是二次函数，开口向上，∴图象是抛物线，即选项A 、B 、C 错误；选项D 符合. 故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，能求出y 关于x 的函数关系式是解此题的关键． 9．10 【解析】 当y=0时，-212501233x x ++= 解之得x 1=10，x 2=-2（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 10．16 【解析】解：如图所示．∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB =3． ∵∠CAB =90°，BC =5，∴AC =4，∴A ′C ′=4． ∵点C ′在直线y =2x ﹣6上，∴2x ﹣6=4，解得 x =5． 即OA ′=5，∴CC ′=5﹣1=4，∴S ▱BCC ′B ′=4×4=16 （cm 2）．即线段BC 扫过的面积为16cm 2．故答案为16．11．15 【解析】试题解析：∵D 是抛物线26y x x =-+上一点，∴设2(,6)D x x x ，-+ ∵顶点C 的坐标为(4,3)， 22435OC ，∴+= ∵四边形OABC 是菱形，5,BC OC BC x ∴==轴，22155(63)(3)1522S BCD x x x ，∴=⨯⨯-+-=--+502，-< BCDS∴有最大值，最大值为15，故答案为15. 12．1.4 【解析】由题意得1.4＜x ＜1.45时，-0.24＜y ＜0.0025，二次函数y = x 2＋2x －5与x 轴必有一个交点在1.4到1.45之间，所以方程x 2＋2x －5＝0必有一个实数根在1.4到1.45之间.这个根的近似值为1.4. 故答案为1.4.13．160(1＋x )2＝250【解析】根据2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，每月的平均增加率相等，可以列出相应的方程．由题意可得，160（1+x ）2=250，故答案为160（1+x ）2=250．14．20【解析】【分析】【详解】根据题意B 的纵坐标为﹣4，把y=﹣4代入y=﹣125x 2， 得x=±10， ∴A （﹣10，﹣4），B （10，﹣4），∴AB=20m ．即水面宽度AB 为20m ．15．224(06)3y x x x =-+<< 【解析】∵设ABC ∆边BC 上的高为h ， 则1·122ABC S BC h ∆== 又∵6BC =∴4h =∵//MN BC∴AMN ABC ∆~∆设AMN ∆边MN 上的高为h 1， ∴1h MN BC h= 即： 164h x = 解得： 123h x = ∴243MP x =-∴222·4433y x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ ∵0x >且2403x -> ∴06x << ∴224(06)3y x x x =-+<< 故答案为224(06)3y x x x =-+<<. 16．(1) y ＝－14 x 2＋6. (2) 能通过该隧道.见解析. 【解析】分析：（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，顶点式，求抛物线的解析式．（2）抛物线的实际应用问题中，可以取自变量的值，求函数值．本题解析：(1)由题意，得点E (0，6)，D (4，2)．设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋c ，则有6216c a c =⎧⎨=+⎩ 解得146a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴y ＝－14x 2＋6. (2)当x ＝2.4时，y ＝－14 ×2.42＋6＝4.56>4.2，∴这辆卡车能通过该隧道． 点睛：本题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式有几种方法，一般式、顶点式、交点式，因题而异，灵活处理.确定抛物线的解析式的关键是会找抛物线上的几个关键点.17．（1）2131105y x x =-++（2）2510S x x =-++（3）当广告费在10~25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大【解析】试题分析：（1）设二次函数的解析式为y ＝ax²＋bx ＋c ，根据表格数据待定系数法求解可得；（2）根据利润＝销售总额减去成本费和广告费，即可列函数解析式；（3）将（2）中函数解析式配方，结合x 的范围即可得．试题解析：（1）设二次函数的解析式为2y ax bx c =++，根据题意，得11.542 1.8c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得13,,1105a b c =-== ∴所求函数的解析式是2131105y x x =-++. （2）根据题意，得()21032510S y x x x =--=-++.（3）2256551024S x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭. 由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S 随x 的增大而增大.∴当广告费在10～25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大18．销售单价定为65元时，每周的销售利润最大．【解析】试题分析：用每件的利润乘以销售量即可得到每周销售利润，即y=（x ﹣40）[300﹣20（x ﹣60）]，再把解析式整理为一般式，然后根据二次函数的性质确定销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大．解：根据题意得y=（x ﹣40）[300﹣10（x ﹣60）]=﹣10x 2+1300x ﹣36000，∵x ﹣60≥0且300﹣10（x ﹣60）≥0，∴60≤x≤90，∵a=﹣10＜0，而抛物线的对称轴为直线x=65，即当x ＞65时，y 随x 的增大而减小，而60≤x≤90，∴当x=65时，y 的值最大，即销售单价定为65元时，每周的销售利润最大．考点：二次函数的应用．19．（1）x=2；（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．【解析】【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可．【详解】解：（1）y=（30﹣20+x）（180﹣10x）=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；令y=1920得：1920=﹣10x2+80x+1800x2﹣8x+12=0，（x﹣2）（x﹣6）=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2，（2）由（1）知，y=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x=802(10)-⨯-=4时，y最大=1960元；∴每件商品的售价为34元答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．【点睛】本题考查考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．20．(1)A(18，0)，B(0，−10)，C(8，−10)，顶点坐标为98(4)9，-；（2）t=185；（3）△PQF的面积总为90；（4）t=【解析】【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0时，可求得B的坐标；由于BC∥OA，把B的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C的坐标；当y=0时，可求出A的坐标．求顶点坐标时用公式法或配方法都可以；（2）当四边形ACQP 是平行四边形时，AP 、CQ 需满足平行且相等的条件．已知BC ∥OA ，只需求t 为何值时，AP=CQ ，可先用t 表示AP ，CQ ，再列出方程即可求出t 的值； （3）当0<t<92时，根据OA=18，P 点的速度为4单位/秒，可得出P 点总在OA 上运动．△PQF 中，Q 到PF 的距离是定值即OB 的长，因此只需看PF 的值是否有变化即可得出S △PQF 是否为定值，已知QC ∥PF ，根据平行线分线段成比例定理可得出：QC QD QE QC OP DP EF AF===，因此可得出OP=AF ，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA ，由于OA 的长为定值即PF 的长为定值，因此△PQF 的面积是不会变化的．其面积的值可用12OA•OB 求出； （4）可先用t 表示出P ，F ，Q 的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式得出PF 2，PQ 2，FQ 2，进而可分三种情况进行讨论：①△PFQ 以PF 为斜边．则PF 2=PQ 2+FQ 2，可求出t 的值；②△PFQ 以PQ 为斜边，方法同①；③△PFQ 以FQ 为斜边，方法同①．综合三种情况即可得出符合条件的t 的值．【详解】解：（1）214y x x 10189=--， 令y=0，得x 2−8x−180=0，即(x−18)(x+10)=0，∴x=18或x=−10.∴A(18，0) 在214y x x 10189=--中，令x=0得y=−10， 即B(0，−10).由于BC ∥OA ，故点C 的纵坐标为−10，由−10=214x x 10189--得，x=8或x=0， 即C(8，−10)且易求出顶点坐标为(4，−98 9)， 于是，A(18，0)，B(0，−10)，C(8，−10)，顶点坐标为(4，−98 9)；（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA.故只要QC=PA 即可，而PA=18−4t，CQ=t，故18−4t=t得t=185；（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0<t<4.5，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故144 QD QC tDP OP t===∵△AEF∽△CEQ，∴AF:CQ=AE:EC=DP:QD=4:1，∴AF=4t=OP，∴PF=PA+AF=PA+OP=18又∵点Q到直线PF的距离d=10，∴S△PQF=12PF⋅d=12×18×10=90，于是△PQF的面积总为90；（4）设点P运动了t秒，则P(4t，0)，F(18+4t，0)，Q(8−t，−10)t∈(0，4.5) ∴PQ2=(4t−8+t)2+102=(5t−8)2+100FQ2=(18+4t−8+t)2+102=(5t+10)2+100①若FP=FQ，则182=(5t+10)2+100即25(t+2)2=224，(t+2)2=224 25∵0⩽t⩽4.5，∴2⩽t+2⩽6.5，∴=5∴−2，②若QP=QF，则(5t−8)2+100=(5t+10)2+100即(5t−8)2=(5t+10)2，无0⩽t⩽4.5的t满足③若PQ=PF，则(5t−8)2+100=182即(5t−8)2=224，，又0⩽5t⩽22.5，∴−8⩽5t−8⩽14.5，而14.52=(292)2=8414<224故无0⩽t⩽4.5的t满足此方程．综上所述，当t=4145−2时，△PQF为等腰三角形．【点睛】本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、平行四边形的判定、直角三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数学结合的数学思想方法.21．（1）A：100元；B：80元；（2）A:140元，B：120元时，W最大=3200【解析】（1）设B型号装饰链的进货单价为x元，则A型号装饰链的进货单价为（x+20）元，利用花500元购进A型装饰链的数量与花400元购进B型装饰链的数量相等，可列分式方程求出即可；（2）分别表示出两种装饰链的利润进而得出函数关系式求出最值即可．解：（1）设B型号装饰链的进货单价为x元，根据题意得500x20=400x解得x=80.经检验x=80是原方程的解. x=80时，x+20=100答: A型装饰链的进货单价为100元，B型装饰链的进货单价为80元.（2）设B型号装饰链的销售单价为m元, 每月销售A型、B型装饰链的总利润为w元，根据题意得W=（m+20-100）〔-（m+20）+200〕+(m-80)(-m+140)=-2m2+480m-25600=-2(m-120)2+3200 ∵-2﹤0∴抛物线开口向下，当m=120时，W有最大值，W最大=3200.此时m+20=140答：当A型装饰链的销售单价140元，B型装饰链的销售单价120元时，每月销售这两种装饰链的总利润最大，最大总利润是3200元.22．（1）y=-3x+2，B(,0)（2）（3）(1,-3)【解析】试题分析：（1）根据抛物线的顶点可设y=a(x-2)2-4，把原点坐标代入解析式即可求出a的值，从而得解；（2）当动点P(x,y)使△POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点Q(2x,0).先确定x的取值范围，再进行分类讨论即可.试题解析：（1）∵抛物线的顶点为A(2,-4),∴可设该抛物线的函数关系式为y=a(x-2)2 -4．∵这条抛物线过原点(0,0)，∴ 0=a(0-2)2-4．解得a=1．∴所求抛物线的函数关系式为y=(x-2)2-4 . 即y=x2+4x.∵直线y=kx+2经过点A(2,-4)．∴ 2x+2=-4，k=-3．∴直线AB的函数关系式为 y=-3x+2．当y=0时，得x=，即AB与x轴的交点B(,0).（2）当动点P(x,y)使△POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点 Q(2x,0).∵动点P在对称轴的左侧，x轴的下方，∴ 0＜x＜2．∵当点Q与B(,0)重合时，△PQR不存在，∴x≠，∴动点P(x,y)应满足条件为0＜x＜2且x≠，∵QR与x轴垂直且与直线AB交于点R，∴R点的坐标为(2x，-6x+2).如图5，作PH⊥QR于H，则PH=|x Q-x P|=|2x-x|=x，QR=|-6x+2|.而S△PQR的面积=QR·PH=|-6x+2|x.分两种情形讨论：(Ⅰ)当点Q在点B左侧时，即0＜x＜时，点R在x轴上方，∴ -6x+2＞0．∴S=(-6x+2)x=-3x2+x；(Ⅱ)当点Q在点B右侧时，即＜x＜2时，点R在x轴下方，∴ -6x+2＜0．∴S=[-(-6x+2)]x=3x2-x.即S与x之间的函数关系式为：（3）当S=2时，应有-3x2+x=2，即3x2-x+2=0，显然△＜0，此方程无解．或有3x2-x=2，即3x2–x-2=0，解得x1=1，x2=-当x=l时，y=x2-4x=-3，即抛物线上的点P(1,-3)可使S△PQR=2；当x=-＜0时，不符合条件，应舍去．综上所述，存在动点P，使得S△PQR=2，此时点P的坐标为(1,-3).23．（1）；（2）存在．S最小值=；（3）t1=；t2=；t3=1，t4=．【解析】试题分析：（1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，利用面积法求得BM的长度，利用勾股定理得到AM的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答；（2）如图2，过点P作PN⊥AC于点N．利用（1）中的结论和勾股定理得到PN2+NQ2=PQ2，所以由正方形的面积公式得到S关于t的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；（3）需要分类讨论：当点E在边HG上、点F在边HG上、点P边QH（或点E在QC上）、点F边C上时相对应的t的值．试题解析：解：（1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，∵AC=9，S△ABC=，∴AC•BM=，即×9•BM=，解得BM=3．由勾股定理，得AM===4，则tanA==；（2）存在．如图2，过点P作PN⊥AC于点N．依题意得AP=CQ=5t．∵tanA=，∴AN=4t，PN=3t．∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t．根据勾股定理得到：PN2+NQ2=PQ2，S正方形PQEF=PQ2=（3t）2+（9﹣9t）2=90t2﹣162t+81（0＜t＜）．∵﹣==在t的取值范围之内，∴S最小值===；（3）①如图3，当点E在边HG上时，t1=；②如图4，当点F在边HG上时，t2=；③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，t3=1④如图6，当点F边C上时，t4=．考点：四边形综合题.。