第十章 无穷级数习题10-13. 判定下列级数的敛散性: （1）∑∞=-+1)1(n n n ; （2）∑∞=+-1)12)(12(1n n n ;（3）++++⋅+⋅)1(1321211n n ; （4） ++++6πsin6π2sin6πsinn ;（5）∑∞=++-+1)122(n n n n ; （6）++++4331313131;（7）22111111()()()323232nn-+-++-+ ;（8）++-+++++121297755331n n ;（9）)(12112-∞=+-∑n n n a a （0a >）;(10)+++++++++nn )11(1)311(1)211(1111132.解（1）因为11)1()34()23()12(-+=-+++-+-+-=n n n S n 当∞→n 时，∞→n S ，故级数发散.（2）因为)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n)12)(12(1751531311+-++⋅+⋅+⋅=n n S n)]121121()5131()311[(21+--+-+-=n n]1211[21+-=n ,当∞→n 时，21→n S ，故级数收敛. (3) 因为111)1(1+-=+n nn n ，)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅=n n S n111)111()3121()211(+-=+-+-+-=n n n当∞→n 时，1→n S ，故级数收敛. （4）因为 6sin63sin62sin6sinπ++π+π+π=n S n)6sin12sin263sin12sin262sin12sin26sin12sin2(12sin 21ππ++ππ+ππ+πππ=n )]1212cos1212(cos)125cos123(cos)123cos12[(cos 12sin 21π+-π-++π-π+π-ππ=n n ]12)12(cos12[cos12sin21π+-ππ=n由于 π+∞→1212coslim n n 不存在，所以n n S ∞→lim 不存在，因而级数发散.（5）因为)1()12(122n n n n n n n -+-+-+=++-++---+---+---=)34()45()23()34()12()23[(n S )]1()12(n n n n -+-+-++)12(121)12()12(--+++=--+-+=n n n n当∞→n 时，21-→n S ，故级数收敛.(6) 该级数的一般项)(013311∞→≠→==-n u nnn ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散. (7) ∑∑∞=∞=-=-++-+-+-1133222131)2131()2131()2131()2131(n nn nnn∑∞=131n n该级数为公比131<=q 的等比级数，该级数收敛，而∑∞=121n n该级数为公比121<=q 的等比级数，该级数也收敛，故∑∑∞=∞=-112131n nn n也为收敛级数.(8) 该级数的一般项)(0112211212∞→≠→+-=+-=n n n n u n ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(9) 因为 a a a a a a a a S n n n n -=-++-+-=+-+121212353)()()(当∞→n 时，a S n -→1，故该级数收敛. (10) 该级数的一般项)(01])11[()11(11∞→≠→+=+=-n enn u n nn ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.4. 证明下列级数收敛，并求其和：++-++⋅+⋅+⋅)13)(23(11071741411n n .证 )13()23(11071741411+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n S n)1311(31)]131231()7141()411[(31+-=+--++-+-=n n n当∞→n 时，31→n S ，故该级数收敛，且31)13()23(11=+⋅-∑∞=n n n .习题10.21. 用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1） ++⋅++⋅+⋅+⋅)4()1(1741631521n n ;（2）1++++715131;（3） +-++++222)12(1513111n ;（4）++++22226)2(sin 6)4(sin 6)2(sin nn ; （5） +++++n2πsin8πsin 4πsin 2πsin .解（1）由于145lim1)4)(1(1lim222=++=++∞→∞→n n nnn n n n而级数∑∞=121n n收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛.(2) 由于2112lim1121lim =-=-∞→∞→n n nn n n ， 而级数∑∞=11n n发散，由比较判别法的极限形式，故原级数发散.（3）由于41)12(lim 1)12(1lim222=-=-∞→∞→n n nn n n而级数∑∞=121n n收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛.（4）nnn n u 616)2(sin 2≤=，而∑∞=161n n为公比161<=q 的等比级数，该级数收敛，由比较判别法,故级数∑∞=126)2(sin n nn 也收敛.（5）由于 π=π⋅ππ=π∞→∞→n nn n nn 22sin lim212sin lim，而∑∞=121n n收敛，故∑∞=π12sinn n也收敛.2. 用比值判别法判别下列级数的敛散性： （1） ++++++nn 323534132;（2） +⋅++⋅+⋅+nnn n !33!332!2333322;（3） +++⋅+⋅+nn 21sin 21sin 321sin221sin32;（4）∑∞=12)!3()!(n n n ; （5）∑∞=12ln n nn n ;（6）∑∞=1!n nn n; （7）∑∞=123n nn .解（1）nn n u 32+=，1312331lim2333limlim11<=++⋅=+⋅+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n nn n nn n ， 故该级数收敛.（2）nnn nn u !3⋅=，13)111(lim 3)1(3lim !3)1()!1(3limlim111>=+-=+=⋅++=∞→∞→++∞→+∞→en n n n nn n u u nn nn nnn n n nn n故该级数发散. （3） nn n u 21sin=，1212121sin212121sin lim21sin21sin )1(limlim1111<=+⋅⋅=+=++∞→+∞→+∞→nn n n u u nnn n n n n n nn n ，故该级数收敛. （4） )!3()!(2n n u n =，10)33)(23)(13()1(lim )!(!3)]!1(3[])!1[(limlim2221<=++++=⋅++=∞→∞→+∞→n n n n n n n n u u n n nn n ， 故该级数收敛.（5）nn n n u 2ln =，1211ln )1ln(21limln 221)1ln(limlim11<=+⋅+=⋅++=∞→+∞→+∞→n n nn nn n n u u n nn n nn n ，故该级数收敛. （6）!n nu nn =，1)11(lim )1(lim !)!1()1(limlim11>=+=+=⋅++=∞→∞→+∞→+∞→e nnn nn n n u u nn nn nn n nn n ，故该级数发散. （7）nn n u 32=，131)1(31lim33)1(limlim22121<=+=⋅+=∞→+∞→+∞→n n nn u u n n n n nn n ， 故该级数收敛.3. 用根值判别法判定下列各级数的敛散性：（1）∑∞=+1)25(n nn n ; （2）∑∞=+12)11(n nn;（3）∑∞=+12)2(2n nnn n ; （4）131en nn ∞=+∑;（5）∑∞=1)(n nna b ，其中a b a n a a n n ,,),(∞→→均为正数；（6）∑∞=∞→>=>⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)0,lim ,0(n n n n nn a a a x a x ．解（1）由于15125lim)25(limlim<=+=+=∞→∞→∞→n n n n u n nnn nn n ，故该级数收敛. (2) 由于1)11(lim )11(limlim2>=+=+=∞→∞→∞→e nnu nn nnn nn n ，故该级数发散.(3) 由于12)21(21lim2)21(lim2)2(limlim22>=+=+=+=∞→∞→∞→∞→enn nn u nn nn nn nn nn n ，故该级数发散. (4) 由于1313limlim>=+=∞→∞→eeu nnn n nn n ，故该级数发散.(5) ab a b a b u nn nnnn nn n ===∞→∞→∞→lim)(limlim当a b a b <<即,1，该级数收敛；当a b ab >>即,1，该级数发散；当a b ab ==即,1，不能判断.(6) ax a x a x u nn nnnn nn n ===∞→∞→∞→lim)(limlim1）当0=a 时，该级数发散 2）当∞<<a 0时，有当a x ax <<即,1，该级数收敛；当a x ax >>即,1，该级数发散；当a x ax ==即,1，根值法不能判断.4. 判别下列级数的敛散性： （1）++++432)43(4)43(3)43(243; （2）∑∞=+12sin)1(n nnn π;（3） +-++-+-)1sin1()21sin21()1sin 1(nn;（4） ++++++)321ln()221ln()121ln(222; （5）222sin2sin2sin 333nnπππ⋅+⋅++⋅+ ;（6）21cos32nn n n ∞=π∑； （7）∑∞=--+111)2(n nn e e . 解（1）n n n u )43(=，14343lim )43(limlim<=⋅==∞→∞→∞→n n nn n nn n n n u ，故该级数收敛. （2）(1)sin,lim,2n n nn u n π→=+=+∞，所以发散.(3) 332211113!1sin ()11sin,lim lim 011n n n o nn nnn nu nnnn→∞→∞--++=-==，故该级数收敛.(4) )21ln(2nu n += ,因 )(2~)21ln(22∞→+n nn，故212lim 1)21ln(lim2222==+∞→∞→nn nnn n ， 而∑∞=121n n收敛，故该级数收敛.(5) nnn u 3sin2π=,因nn33sinππ<,有ππnnn)32(3sin2<,πn n )32(1∑∞=收敛， 由比较收敛法，故该级数收敛.(6) n n n n u 23cos2π=,因nnn n n 223cos2≤π，1212lim<=∞→nnn n ，而级数∑∞=12n nn 收敛，由比较收敛法，故该级数收敛.(7) 211-+=-nnn ee u , 112lim211=-+-∞→nee nn n (由罗比达法则)，故该级数收敛.习题 10.31. 求下列幂级数的收敛域：（1） +++3232x x x ; （2） -+-+-2423224321x x x x ; （3） +⋅⋅+⋅+64242232xxx ; （4）++++++3232222132122112x x x ;（5） +⋅+⋅+⋅+⋅!42!32!22!12443322xxxx ;（6）+⋅+⋅+⋅+⋅44332234333231xxxx ;（7）∑∞=-+--1121)!12()1(n n n n x; （8）∑∞=---11)1()1(n nn nx ;（9）∑∞=--122212n n nxn ; （10）∑∞=-1)5(n nnx .解 （1）n a nx u n n n ==,，11limlim1=+==∞→+∞→nn a a n nn n ρ，所以收敛半径11==ρR当1=x 时，原级数为∑∞=1n n ，0lim ≠∞=∞→n n ，该级数发散当1-=x 时，原级数为∑∞=-1)1(n n n ，0)1(lim ≠∞=-∞→n nn ，该级数发散因而该级数的收敛域为 )1,1(-.(2) ,1)1(,)1(22na nx u nn n nn -=-=1)1(limlim221=+==∞→+∞→n na a n nn n ρ,所以收敛半径11==ρR .当1=x 时，原级数为∑∞=-12)1(n nn，为交错级数，该级数收敛.当1-=x 时，原级数为∑∞=121n n，该级数也收敛,因而该级数的收敛域为 ]1,1[-.(3),)2(6421,)2(642n a n xu n nn ⋅⋅=⋅⋅=0221lim)22()2(642)2(642limlim1=+=+⋅⋅⋅⋅⋅==∞→∞→+∞→n n n n a a n n nn n ρ,故收敛半径+∞==ρ1R ，因而该级数的收敛域为 ),(+∞-∞.(4) ,12,1222+=+=n a x n u nn nnn21)1()1(2lim211)1(2limlim222211=+++=+⋅++==∞→+∞→+∞→n n n n a a n nn n nn n ρ,所以收敛半径211==ρR .当21=x 时，原级数为∑∑∞=∞=+=⋅+121211)21(12n nn nn n ，该级数收敛.当21-=x 时，原级数为∑∞=-12)1(n nn，该级数也收敛,因而该级数的收敛域为 ]21,21[-. (5),,!21,!2n a n xu nn n nn ⋅=⋅=0)1(21lim)!1(2!2limlim11=+=+⋅⋅==∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n nn n ρ,故收敛半径+∞==ρ1R ，因而该级数的收敛域为 ),(+∞-∞.(6) ,31,31nn nnn n a x n u ⋅=⋅=313)1(3limlim11=⋅+⋅==+∞→+∞→n n n nn n n n a a ρ,所以收敛半径31==ρR .当3=x 时，原级数为∑∞=11n n，该级数发散.当3-=x 时，原级数为∑∞=-1)1(n nn，该级数为交错级数，收敛,因而该级数的收敛域为 )3,3[-.(7) 因为该级数缺少偶次幂，我们根据比值审敛法来求收敛半径 0)12(2lim)!12()!12(lim lim212121=+⋅=-⋅+⋅=∞→-+∞→+∞→n n xxn n xu u n n n n nn n ,因而该级数的收敛域为 ),(+∞-∞.(8) ,)1()1(1nx u nn n --=-令1-=x t ，则na ntu n n nn n 1)1(,)1(11---=-=,11limlim1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ,收敛半径11==ρR ，有 11<-x ，即20<<x当0=x 时，原级数为∑∑∞=∞=--=-1112)1()1(n n n nn，该级数发散.当2=x 时，原级数为∑∞=--11)1(n n n，该级数为交错级数，收敛.因而该级数的收敛域为 ]2,0((9) 因为该级数缺少奇次幂，我们根据比值审敛法来求收敛半径 2)12(2)12(lim)12(22)12(lim lim2222121xn xn xn xn u u n n nn nn nn n =-⋅+=-⋅+⋅=∞→-+∞→+∞→.当122<x，即22<<-x 时，该级数收敛.当122>x，即2>x 时，该级数发散.当 2=x 时，原级数为∑∞=-1212n n ，该级数发散.当 2-=x 时，原级数也为∑∞=-1212n n ，该级数发散.因而该级数的收敛域为 )2,2(-.(10) ,)5(nx u nn -=令5-=x t ，则na ntu n nn 1,==11limlim1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ,收敛半径11==ρR ，有 15<-x ，即64<<x当4=x 时，原级数为∑∞=-1)1(n nn，该级数为交错级数，收敛.当6=x 时，原级数为∑∞=11n n，该级数发散.因而该级数的收敛域为 )6,4[.本章复习题A 一、选择题1.A2.C3.D4.A5.B6.D7.D 二、填空题 1.12；2. [0,2)3.3(1)nn n x∞+=-∑4. 12α>；12α<5.236.22(1)xx -二、判断题 1．√ 2．× 3．× 4．× 5．× 6．×四、计算题1.判断下列级数的敛散性：（1）1(1cos)pn n∞=π-∑ (0)p >; （2）∑∞=-⋅1232n nnn n ；（3）∑∞=-+-121)1(n n nn k （0k >）; （4）∑∞=13πsinn nn；（5）∑∞=--1sin )1(n nnn ； (6) ∑∞=1!2n nnnn .（7）∑∞=---11ln )1(n n nn ； （8）∑∞=⋅12πtann nn .2. 求下列级数的收敛域:（1）nn nx x n)11()1(12+--∑∞=; （2）32221)1(-∞=∑-n nn nxn.3. 求下列级数的收敛区间： （1）∑∞=-12)2)(12(n nn n x; （2）∑∞=-+12)11(n nnxn.4. 求下列幂级数的收敛区间和收敛半径:（1）∑∞=--1223)1(n nnn x ; （3）nn nnx n)1()2(31+-+∑∞=;5. 将函数x x xx x f -+-+=arctan 2111ln41)(展成为关于x 的幂级数.6. 将函数29)(xxx f +=展成x 的幂级数.7. 求下列幂级数的收敛域及和函数.（1）∑∞=+1)1(n nx n n ; （2）n n x n n∑∞=12!.四．计算题解答1．判断下列级数的敛散性： （1）因为nn2sin2cos12ππ=-，而∞→n 时，nn2~2sinππ，当21>p 时，该级数收敛，当210≤<p 时，该级数发散。