当 n 2 时， Tn 1 4 3 20 7 3 21 10 3 22
1 3 4 20 7 21 10 22
3n 2 2 n 2
3n 2 3 2 n 2
令 Gn 4 2 0 7 21 10 2 2
3n 2 2 n 2
利用错位相减法解得 Gn 3n 5 2n 1 2
所以 Tn 3 3n 5 2 n 1 7 21 ．（Ⅰ）即 k1 1 或 k 2 1 。设直线为 x y m 则由圆心到直线距离公式得：
2
2a c cos B bcosC ，求函数 f A 的取值范围 .
. 18. （本小题满分 12 分）
设函数 f x ax3 bx 2 cx d a 0 为奇函数 , 其图象在点 1, f 1 处的切线与直
线 x 6 y 21 0 垂直 , 导函数 f x 的最小值为 12 .
（ I）求函数 f x 的解析式；
l1 ： x 2 y 4 0 的交点为 M ，线段 QR 的中点为 N ，若 A 1,0 ，求证： AM AN 为定值 .
22. （本小题满分 12 分）
已知函数 f n x
x
1
1
n N.
n
1
( Ⅰ)
比较
fn
0
与 的大小；
n
( Ⅱ ) 求证： f 1 1 2
f2 2 3
f3 3 4
fn n 3 . n1
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m 7 4 2 ， P 点轨迹由 y k x 1 得： M 2k 4 , 5k
x 2y 4 0
2k 1 2k 1
x
由
y
2
3y kx 1
2
4
16 得： N
k 2 4k k2 1
3
,
4k 2 k2
2k 1
又由 A 1,0 则由两点间距离公式可得：
AM AN 10 为定值。
3,OE 1, PO
2 2, 则 sin PEO
22
；
3
（Ⅲ） VC PBD V P BCD ，解得 h 2 2 .
20．解：
( Ⅰ ) 当 n 1 时， a1 1
当 n 2 时， a n Sn Sn 1 3 2 n 1 2 3 2 n 2 2 3 2 n 2
即 an
1n 1
；
3 2n 2 n 2
( Ⅱ ) 当 n 1 时， T1 1
P
（Ⅰ）求证 : PD BC ；
（Ⅱ）求二面角 P DB C 的正弦值；
D
O
C
（Ⅲ）求点 C 到平面 PBD 的距离 .
A
B
20. （本小题满分 12 分）
已知数列 a n 的前 n 项和为 Sn，且 Sn 3 2n 1 2 . （Ⅰ）求数列 a n 的通项公式； （Ⅱ）令 bn 3n 2 an ，求数列 bn 的前 n 项和为 Tn .
21. （本小题满分 12 分）
已知圆 C ： x 3 2 y 4 2 16 . （Ⅰ）由动点 P 引圆 C 的两条切线 PA 、PB ，若直线 PA 、 PB 的斜率分别为 k1、k2 且
满足 k1 k 2 k1 k 2 1 ，求动点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）另作直线 l ： kx y k 0 ，若直线 l 与圆 C 交于 Q 、 R 两点，且直线 l 与直线
（ II）若方程 f x 3x2 m 有两个不同的实数根 , 求实数 m 的值 .
19. （本小题满分 12 分）
如图 , 矩形 ABCD 中 , AB 6, BC 2 3 , 沿对角线 BD 将 ABD 向上折起 , 使点 A 移
至点 P , 且点 P 在平面 BCD 内的射影 O 在 CD 上 .
哈三中 2018-2018 学年度上学期高三学年期末考试
数学试题（理工类）
审核：李茂生 王伟 考试说明： 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时
间 120 分钟． （ 1）答题前，考生先将自己的班级、姓名、考号和序号填写清楚； （ 2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂在机读卡上 , 请在各题目的答题区域内作答 ; （ 3）只交答题卡 .
n
n
n1
n
1
1
因为
n
1
C
1 n
1
n
C
2 n
1 n2
n
1 1
n. nn 1
C
n n
1 nn
11 11
12 23
1
1
3
3
n 1n
n
则 f1 1 2
f2 2 3
f3 3 4
fn n n1
11 3
12 23
则原结论成立 .
1
1
31
3
n 1n
n
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收藏，并且被保存得很好） ；
情境 C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度；
情境 D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润； 其中情境 A、 B、 C、 D 分别对应的图象是
（ A）①③④②
（ B）①④②③
（C）④③①②
（D）④③②①
12. 已知三棱柱 ABC A1B1C1 , 底面是正三角形 , 侧棱和底面垂直 , 直线 B1C 和平面
则 m 7, m 20 .
19．解：
（Ⅰ）因为 BC CD , BC OP , 则 BC 平面 PCD ，则 PD BC ； （Ⅱ）过 P 作 PE BD 于点 E ，连接 OE
因为 BD OP ，则 BD 平面 OPE ，则 BD OE ， 所以 PEO 为二面角 P BD C 的平面角，
在 ΔPOE 中， PE
是乙的
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
5． 已知 y
sin x , x 0, . 当 y 2 时 , x 等于
1 cos x
(A)
3
2
(B)
3
(C)
4
(D)
6
6． 直线 x y 1与圆 x2 y2 2ay 0(a 0) 没有公共点，则 a 的取值范围是
2． 函数 f x （ A） 0 个
x 1 ln x 2 的零点有 x3 （ B） 1个
（ C） 2 个
（ D） 3个
3． 已知两条直线 y ax 2 和 3x a 2 y 1 0 互相平行，则 a 等于
（ A） 1或 3
（ B） 1或 3
（C） 1或 3
（ D） 1或 3
x
4． 命题甲 : 1 ,21 x ,2 x2 成等比数列 ; 命题乙 : lg x, lg x 1 , lg x 3 成等差数列 , 则甲 2
(B)
,
63
（ C）
,
43
(D)
,3
64
11. 下图是一组函数图象，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：
y
y
y
y
O
tO
tO
tO
t
①
②
③
④
情境 A：一份 30 分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上
的食物的温度（将 0 时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻） ；
情境 B：一个 1970 年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者
63
14. 现有五种股票和三种基金，欲购买其中任意三种，至少有一种基金的概率为
____
15. 设 f x , g x 分 别 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 且 g x 0 ， 当 x 0
时, f x g x f x g x 0, 且 f 2 0, 则不等式 f x g x 0 的解集为
ACC 1A1 成角为 30 , 则异面直线 BC1 和 AB1所成的角为
（ A）
6
（ B）
4
（ C）
3
2π
（ D）
3
第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分）
二、 填空题 ( 本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡的相应位置 )
13. 已知 tan
1 ， tan
62
71 ，则 tan
22．解：
（Ⅰ） f n x
x
1
1
1
ln 1
n
n
1
则 fn 0
ln 1
，设函数 φx
n
ln 1 x
x, x
0,1
则φx
11
x 0 ，则 φx 单调递减，
1x
1x
所以 ln 1 x x φ0 0 ，所以 ln 1 x x
则 ln 1 1 n
1
1
，即 f n 0
；
n
n
（Ⅱ） f n n n1
n
1
1
1
ln 1
3 ，所以 cos x π 1 2 sin 2 x π
1
；
26 2
3
26
2
（Ⅱ） f x
1
xπ
mn
sin
2
26
则 f A sin A π 26
因为 2a c cosB b cosC ，则 2 sin A sin C cosB sin B cosC 即 2 sin AcosB sin A ，则 B π