A． a b c
B． c b a
C． c a b
D． b c a
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 3页 共 8 页
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试
数学试卷（理工类）
第Ⅱ卷 （非选择题， 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
有一项是符合题目要求的．)
1．设
i
是虚数单位，则复数
1 2
i i
在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知集合 M x x 2 4 ， N a,a ，若 M N N ，则 a 的取值范围是
A． 2, C．2, 0 0, 2
B． , 2 2, D． 2,2
否定为：“ x R ，均有 x2 3x 2 0 ”．
5．欧拉公式 eix cos x i sin x （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将
指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论
里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉的公式可知，e2i 表示的复
B．为调查高三年级的 240 名学生完成作业所需的时间,由教务处对高三年级的学生进
行编号，从 001 到 240 抽取学号最后一位为 3 的学生进行调查,则这种抽样方法为分
层抽样；
C．“ x 1 ”是“ x 2 3x 2 0 ”的必要不充分条件；
D．命题 p ：“ x0 R ，使得 x02 3x0 2 0 ”的
且 cos(
)
1
，
cos(
)
3 ，则
2
2
4
3
42 3
cos( ) 2
3
A．
3
B． 3 3
53
C．
9
D． 6 9
9．设数列 an 是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若 S7 S2 10 ，且
a1 ， a3 ， a6 成等比数列，则前 n 项和 Sn 等于
A． n2 7n 88
ABC 120 ，且三棱锥 O ABC 的体积为 3 ，则球 O 的表面积为
32
A．
3
B．16
C． 52
D． 64
12．定义方程 f x f x的实根 x0 叫做函数 f x 的“新驻点”，若函数 gx e2x 1，
hx ln(x 1) ，x x3 1的“新驻点”分别为 a,b, c ，则 a,b, c 的大小关系为
A1
B1
C1
E A
B
F
C
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 5页 共 8 页
19．（本小题满分 12 分）
某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中 茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下： （1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数； （2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定； （3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不
2
2
3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，
2 主视图
其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为
A． 3 2
B． 3 3 2
C． 3
D． 5 3 2
俯视图
3
1 左视图
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 1页 共 8 页
4．下列说法正确的是：
A．在频率分布直方图中, 众数左边和右边的直方图的面积相等；
字笔书写，字体工整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第 I 卷 （选择题，共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
1(a
0,b
0)
的左、右焦点分别为 F1、F2 ,且抛物线 C2 ：
y2 2 px( p 0) 的焦点与双曲线 C1 的焦点重合，若双曲线 C1 与抛物线 C2 的交点 P
满足 PF2 F1F2 ，则双曲线 C1 的离心率 e =_______. 16．已知南北回归线的纬度为 2326 , 设地球表面某地正午太阳高度角为 , 为此时太
(3) 求证: ln 3n 1 n ( 1 1 2 ) ln 3 .
n 1 i1 3i 2 3i 1 3i
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程是 1 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直
23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知关于 x 的不等式 x a2 x 2a 5 5 . (1) 当 a 1 时，求不等式的解集； (2) 若不等式有实数解，求实数 a 的取值范围．
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 8页 共 8 页
哈三中 2020 届高三 综合题(一) 数学试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试 时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 4页 共 8 页
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 4sin2 A B cos 2C 7 ．
低于 90 分的次数为 ，求 的分布列及均值．
甲
89 934 3
40
乙
75 8 0224 9 250
20．（本小题满分 12 分）
已知过圆
C1
:
x2
y2
1
上一点
E(1 2
,
3 ) 的切线，交坐标轴于 A、B 两点，且 A、B 2
恰好分别为椭圆 C2
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的上顶点和右顶点.
x
的
取值范围是
A． 1，2 C． ，1 2，
B． 2，1 D． ，1 2，
开始
输入 x
x [2,2]? 是 f (x) 2x
否 f (x) 2
输出 f ( x)
结束
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 2页 共 8 页
8．已知 (0,
) ， (
, 0) ，
B． n 2 7n 44
C． n2 3n 24
D． n2 n
10．若函数
f
x
log a
(2 x 2
x)a
0且a
1
在区间
0，1 2
内恒有
f
x
0 ，则
f
x
的单调递增区间是
A． , 1 B． , 1
4
2
C． 1 , 4
D． 0,
11．已知三棱锥 O ABC 中， A, B,C 三点在以 O 为球心的球面上，若 AB BC 2 ,
2
2
（1）求角 C ；
（2）若 SABC
33 2
,c
Байду номын сангаас
7 ，求 a ， b 的值．
18．（本小题满分 12 分）
已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面， BAC 90 ， AB AC AA1 1 ， E 、 F 分别是棱 C1C 、 BC 的中点． （1）求证： B1F 平面 AEF ； （2）求直线 B1F 与平面 AB1E 所成的角的正弦值．
13．已知向量 a, b 满足 a 3 ， b 2 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，则 2a b _______．
x y 4 0
14．实数
x,
y
满足条件
x x
2y 2 0, y 0
0
，则
log
4
(
1 2
x
y
1)
的最大值为_______．
15．双曲线 C1 ：
x2 a2
y2 b2
(1)求椭圆 C2 的方程；
(2)已知 P 为椭圆的左顶点，过点 P 作直线 PM、PN 分别交椭圆于 M、N 两点，若 直线 MN 过定点 Q(1, 0) ，求证: PM PN .
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 6页 共 8 页
21．（本小题满分 12 分）
已知
S1
1 2
阳直射纬度, 为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是 90 . 当
地夏半年 取正值, 冬半年 取负值, 如果在北半球某地 (纬度为 0 )的一幢高为 h0
的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距
离应不小于________________(结果用含有 h0 和0 的式子表示).
1 3
1 n
,
S2
1 1 2
1
,
n 1
直线 x 1,
xn,
y 0 与曲
线 y 1 所围成的曲边梯形的面积为 S . 其中 n N , 且 n 2 . x