启恩中学2013届高三数学（理）综合训练题(四)一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若集合}1|{2xy y M ==,{|1}P y y x ==-, 那么=P M A ．[0, )+∞ B ． (0, )+∞ C ．(1, )+∞ D ．[1, )+∞ 2．在等比数列{}n a 中，已知 13118a a a =，那么28a a =A ．4B ．6C ．12D ．163．在△ABC 中，90, (, 1), (2, 3)C AB k AC ∠=︒==，则k 的值是A ．23B ．－5C ．5D ．23-4．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为 x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为 y ，则从频率分布直方图中可分析出 x 和y 分别为A ．0.935，B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145，5．设βα,为互不重合的平面，n m ,为互不重合的直线，给出下列四个命题：① 若αα⊂⊥n m ,, 则n m ⊥；② 若, , //, //m n m n ααββ⊂⊂，则 βα//；③ 若, , , m n n m αβαβα⊥=⊂⊥ ，则β⊥n ；④ 若, , //m m n ααβ⊥⊥，则β//n ． 其中所有正确命题的序号是 ：A ．①③B ．②④C ．①④D ．③④ 6．已知α∈(2π，π)，sin α=53， 则)42tan(πα+等于：A ．71 B ．3117- C ． 724- D ．3117 7．设抛物线 y x 122=的焦点为F ， 经过点P (2, 1) 的直线 l 与抛物线相交于A 、B 两点且点P 恰为AB 的中点，则 |AF | + |BF | = A ．10B ．8C ．6D ．48．若直线1+=kx y 与圆 0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点, 且N M ,关于直线0=-y x 对称,动点(), P a b 在不等式组2000-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是：A ．[2, )+∞B ．(, 2]-∞-C ．[2, 2]-D ．(, 2][2, )-∞-+∞二．填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一) 必做题（9~ 13题）9．定义运算a cad bc b d=-，复数z 满足11z i i i=+，则13z i +-＝___________10．62()x x-展开式中，常数项是__________．11．=-⎰-dx x 0224 ．12．F 为 椭 圆 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若椭 圆上存在点A 使AOF ∆为正三角形，那么椭圆的离心率为__________． 13．已知函数4() 1 [, ] (, ||2f x a b a b x =-+的定义域是为整数),值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(, )a b 共有 个．(二) 选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题，若两题全做，按前一题得分计算）14．(极坐标与参数方程选做题) 极坐标方程为 2cos ρθ=的园与参数方程为 122{x ty t=-+=的直线位置关系是_____________。

15．（几何证明选讲选做题）一个等腰三角形ABC 的底边AC 的长为6，△ABC 的外接圆的半径长为5，则△ABC的面积是 __________三．解答题（本大题共有6个小题，共计80分） 16．( 本题满分13分)函数()sin() (0, 0, ||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的图像上一个最高点的坐标为(, 3)12π，与之相邻的一个最低点的坐标为 7(, 1)12π-． （Ⅰ）求()f x 的表达式； (Ⅱ) 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数)(x f 的单调递增区间和零点． 17．（本小题满分12分）某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为 21，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.(Ⅰ) 设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(Ⅱ) 设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望. 18．( 本题满分13分)如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面ABC 是正三角形，2=AB ．四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角．(1) D 在AC 上运动，当D 在何处时，有//1AB 平面1B DC ，并且说明理由； (2) 当//1AB 平面1B DC 时，求二面角D BC C --1的余弦值．19．（本小题满分14分）已知函数)0,()(≠+=a b a bax xx f 为常数且满足1)2(=f 且x x f =)(有唯一解。

（1）求)(x f 的表达式 ；（2）记)1)((1>∈=-n N n x f x n n 且，且1x ＝()f 1，求数列{}n x 的通项公式。

C 1B 1D CBA（3）记 1n y +⋅=n n x x ，数列｛n y ｝的前 n 项和为 n S ，求证 34<n S20．（本题满分14分）已知函数)1l n()l n(1)l n()(++-+=x ax x ax x f , ),0(R a a ∈≠ （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当a >0时，若存在x 使得()l n(2)f x a ≥成立，求a 的取值范围．21．( 本题满分14分)已知双曲线 22221x y -=的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若21PF PF += 4．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）求12cos F PF ∠的最小值； （Ⅲ）设点M （－2，0），过点N （27-，0）作直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，判断AMB ∠的大小是否为定值？并证明你的结论．启恩中学高三数学（理）综合训练题(七)一．选择题：B A C A A B B D二．填空题：9、 5 10、60 11、 π 12、13- 13、5 14 相离 15、3或27 三．填空题：16． 解：（Ⅰ）依题意的2121272πππ=-=T ，所以 π=T ，于是22==Tπω……………2分 由⎩⎨⎧-=+-=+13B A B A 解得⎩⎨⎧==12B A ……………………………………………4分把)3,12(π代入()2sin(2)1f x x ϕ=++，可得1)6si n(=+ϕπ，所以226ππϕπ+=+k ,所以32ππϕ+=k ，因为 2||πϕ<，所以3πϕ=综上所述，1)32si n(2)(++=πx x f ………………………………7分（Ⅱ）令0)(=x f ，得21)32si n(-=+πx ，又 ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦373234πππ≤+≤∴x 61132ππ=+∴x 故43π=x 函数)(x f 的零点是43π=x ……………10分 373234πππ≤+≤x ∴由373223πππ≤+≤x 得ππ≤≤x 127∴函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,127 ……………13分 17．解：(Ⅰ)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4.…………………………1分411(0)()216P ξ===， 144141(1)()2164P C ξ====，244163(2)()2168P C ξ====, 344141(3)()2164P C ξ====，44411(4)()216P C ξ===. ………………4分其分布列为：ξ 0 1 2 3 4P16141 83 41 161C 1B 1DC BAOyxz…………………………6分(Ⅱ)1~(4,)2B ξ ，1422E ξ∴=⨯=. …………………………8分 由题意可知 ξη1002300-=， …………………………10分230010023002002100E E ηξ∴=-=-=元. …………………………12分18． 解：（Ⅰ）当D 为 AC 中点时,有//1AB 平面1B DC ………2分证明:连结1B C 交1BC 于O ,连结DO ∵ 四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点 又D 为AC 中点,从而1//DO AB ………4分 ∵1AB ⊄平面1B DC ,DO ⊂平面1B DC ∴//1AB 平面1B DC ……………………6分（Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -如图所示,则(0,0,0)B ,(3,1,0)A ,(0,2,0)C ,33(,,0)22D ,1(0,2,23)C …………7分 所以33(,,0)22BD = ,1(0,2,23)BC = ． ………………………………8分 设),,(1z y x n =为平面1B DC 的法向量,则有330222230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，,即 33x zy z=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 令1=z ,可得平面1B DC 的一个法向量为1(3,3,1)n =-, 而平面1B CC 的一个法向量为2(1,0,0)n =……………11分 所以1212123313cos ,13||||13n n n n n n ⋅<>===，所以二面角D BC C --1的余弦值为13133 ……13分 19．解：(1) 由()xf x x ax b==+ 即 ()210ax b x +-= 有唯一解，1b ∴=又()22211f ax ==+ 12a ∴=， ()21212x xf x x x ∴==++ …………4分 (2) 由 ()111112n n n n x x f x x ---==+ 11112n n x x -∴=+ …………6分 又 ()1213x f == 1132x ∴=∴数列 1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为 32，公差为 12的等差数列 …………8 分()13121222n n n x +∴=+-⨯= 22n x n ∴=+ ………10分 (3) 由)3121(432221+-+=+⨯+=⋅=+n n n n x x y n n n …………12分 123...n n S y y y y ∴=++++=13221++++n n x x x x x x1111114...344523n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1144333n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ ………14分20．解：（Ⅰ）当 0>a 时，由⎪⎩⎪⎨⎧>+>>0100x ax a 得0>x ；当0<a 时由⎪⎩⎪⎨⎧>+><0100x ax a 得01<<-x综上：当 0>a 时函数()f x 的定义域为 (0, )+∞；当 0<a 时函数()f x 的定义域为 (1, 0)-…3分（Ⅱ）111)1()ln(1)(2++-+-+='x x x ax x x x f 222)1()ln()1()1()1()ln()1(+-=++++--+=x ax x x x x x ax x x …………5分 令()0f x '=时，得ln 0ax =，即1x a=， ① 当 0a >时，1(0, )x a ∈时()0f x '>，当1(, )x a∈+∞时，()0f x '<，故当 0a > 时，函数的递增区间为 1(0,)a ，递减区间为 1(,)a+∞ ② 当10a -≤<时，10ax -<<，所以()0f x '>， 故当10a -≤<时，()f x 在(1,0)x ∈-上单调递增．③ 当1a <-时，若1(1,)x a ∈-，()0f x '<;若1(,0)x a∈，()0f x '>，故当1a <-时，()f x 的单调递增区间为1(,0)a;单调递减区间为1(1,)a-． 综上：当 0a >时，()f x 的单调递增区间为 1(0,)a ;单调递减区间为 1(,)a+∞当10a -≤<时，()f x 的单调递增区间为 (1,0)-;当 1a <-时，()f x 的单调递增区间为 1(,0)a ;单调递减区间为 1(1,)a-; …10分（Ⅲ）因为当0a >时，函数的递增区间为 1(0,)a ; 单调递减区间为 1(,)a+∞若存在x 使得()ln(2)f x a ≥成立，只须1()ln(2)f a a ≥，即 011ln()ln 2201112a a a a a a a a a >⎧++⎪≤⇒≥⇒⇒<≤⎨-≤≤⎪⎩ ………14分 21、解：．（Ⅰ）依题意双曲线方程可化为 1212122=-y x ，则221=F F ，∴21PF PF += 4>221=F F可知点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆，其方程可设为 22221(0)x y a b a b+=>>由22,42==c a 得1,2==c a 3142=-=∴b 则所求椭圆方程为13422=+y x ， 故动点P 的轨迹E 的方程为 13422=+y x ；………………3分 （Ⅱ）设0,021>=>=n PF m PF ,θ=∠21PF F ，则由4=+n m ，221=F F 可知在21PF F ∆中162212242)(24cos 222-=-=--+=-+=mnmn mn mn mn n m mn n m θ 又mn n m n m 24,0,0≥+=>> 4≤∴mn ，即 411≥mn 21146cos =-≥∴θ当且仅当2==n m 时等号成立．故12cos F PF ∠的最小值为 21………………6分 （Ⅲ）当 l 与x 轴重合时，构不成角AMB ，不合题意．当 l x ⊥轴时，直线 l 的方程为 27x =-，代入22143x y +=解得A ．B 的坐标分别为212(, )77-，212(, )77--，而127MN =，∴90AMB ∠= ， 猜测 90AMB ∠=为定值．………8分证明：设直线l 的方程为 27my x =+，由 22273412x my x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ ，得2212576(34)0749m y my +--= ∴122127(34)m y y m +=+ ，12257649(34)y y m =-+ ………10分 ∴11221212(2,)(2,)(2)(2)MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++11121212()()77my my y y =+++2121212144(1)()749m y y y y =++++2225761212144(1)49(34)77(34)49m m m m m -=++⋅+++49144)43(49)34(14422+++-=m m 0=∴ 90AMB ∠=为定值。