2013届高三第一学期理科数学综合训练题一一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知集合{}是虚数单位 , , )1(|2i R a i a a x x A ∈-+==，若R A ⊆，则=aA ．1B ．1-C ．1±D ．0⒉若四边形ABCD 满足 0=+CD AB ，0)(=⋅-AC AD AB ，则该四边形一定是 A ．直角梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形⒊某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为A ．20B ．24C ．30D ．36 ⒋直线3π=x ，2π=x 都是函数) , 0)(sin()(πϕπωϕω≤<->+=x x f 的对称轴，且函数)(x f 在区间]2, 3[ππ上单调递减，则A ．6=ω，2πϕ= B ．6=ω，2πϕ-= C ．3=ω，2πϕ=D ．3=ω，2πϕ-=⒌一个底部水平放置的几何体，下半部分是圆柱， 上半部分是正四棱锥，其三视图如图1所示， 则这个几何体的体积=V A ．3054+π B ．π69C ．π66D ．2454+π⒍a 、b 、0>c ，“a ln 、b ln 、c ln 成等差数列”是“a2A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件⒎在平面直角坐标系xOy 中，0=++c by ax 与c by ax =+22所 表示的曲线如图2所示，则常数a 、b 、c 之间的关系可能是 A ．0<<a c 且0>b B ．0<<a c 且0<b C ．0>>c a 且0<b D ．A 或C⒏已知平面区域{}21 , 21|) , (≤≤-≤≤-=y x y x D ，y ax z +=（a 是常数），D y x P ∈∀) , (00，记2500≥+=y ax z 为事件A ，则使81)(=A p 的常数a 有D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）⒐已知) , (~2σμN X ，68.0)(=+≤<-σμσμX P ，95.0)22(=+≤<-σμσμX P ，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布)100 , 100(N ， 则本次考试120分以上的学生约有 人． ⒑图3是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入)( 11sin+∈=N i i a i π，则输出=i ．⒒设抛物线C ：x y 42=的准线与对称轴相交于点P ， 过点P 作抛物线C 的切线，切线方程是 ．⒓在平面直角坐标系中，四边形ABCD 在映射f ：)1 , 2() , (x y y x -→作用下的象集为四边形////D C B A ，若ABCD 的面积1=S ，则////D C B A 的面积=/S ． ⒔以下命题中，真命题的序号是 （请填写所有真命题的序号）．①回归方程x y5.12ˆ+-=表示变量x 增加一个单位时，y 平均增加5.1个单位． ②已知平面α、β和直线m ，若α//m 且βα⊥，则β⊥m ．③“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是“若1-<x 或1>x ，则12>x ”．④若函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象关于直线x y =对称，b a f =)(，若2)(/=a f ，则21)(/=b g ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（坐标系与参数方程选做题）若直线⎩⎨⎧=-=t y t x 21（Rt ∈为参数）与圆⎩⎨⎧+==a y x θθsin cos （πθ20<≤，θ为参数，a 为常数且0>a ）相切，则=a ．⒖（几何证明选讲选做题）如图4，P 是圆O 外 一点，直线PO 与圆O 相交于C 、D ，PA 、PB 是圆O 的切线，切点为A 、B ．若1==CD PC ， 则四边形PADB 的面积=S ．ABCDEF1A 1B 1C 1D三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分14分）如图5，一架飞机原计划从空中A 处直飞相距km 680的空中B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A 处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C 处转向与原方向线成o 45角的方向直飞到达B 处．已知135sin =θ．⑴在飞行路径ABC ∆中，求C tan ； ⑵求新的飞行路程比原路程多多少km ．（参考数据：414.12=，732.13=）⒘（本小题满分12分）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为91． ⑴求选手甲可进入决赛的概率；⑵设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．⒙（本小题满分14分）如图6，1111D C B A ABCD -是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC上的动点，且BF AE =．⑴求证：E C F A 11⊥；⑵当1A 、E 、F 、1C 共面时，求： ①1D 到直线E C 1的距离；②面DE A 1与面DF C 1所成二面角的余弦值．⒚（本小题满分14分）已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点)0 , 1(1-F 、)0 , 1(2F 的距离之和为常数，曲线C 的离心率21=e ．⑴求圆锥曲线C 的方程；⑵设经过点2F 的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A 、B ，试证明在x 轴上存在一个定点⒛（本小题满分12分）已知数列{})(+∈N n a n ，01=a ，n n n n a a 221⨯+=+)1(≥n ． ⑴求数列{}n a 的通项；⑵设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试用数学归纳法证明2)43(221-+-⨯=-n n S n n ．21（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间) , (b a （a b >）上的函数，若对1x ∀、) , (2b a x ∈，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-，则称)(x f y =是区间) , (b a 上的平缓函数．⑴试证明对R k ∈∀，1)(2++=kx x x f 都不是区间)1 , 1(-上的平缓函数；⑵若)(x f 是定义在实数集R 上的、周期为2=T 的平缓函数，试证明对1x ∀、R x ∈2，1|)()(|21≤-x f x f ．2013届高三第一学期理科数学训练题一答题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．______________；10．______________；11．______________；12．______________；13．______________；14．______________；15．______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分14分）18．（本小题满分14分）20．（本小题满分12分）理科数学评分参考一、选择题 CBBA DDAC二、填空题 ⒐500 ⒑22 ⒒01=+±y x （对一个3分，全对5分） ⒓2⒔①④（正确选项一个3分，全对5分；错误选项一个扣3分，2个扣5分，扣完为止） ⒕52+（答52±给3分，其他0分） ⒖322三、解答题 ⒗⑴135sin =θ，θ是锐角，所以125tan =θ，)45tan()]45(tan[tan 0+-=+-=θθπC ，0045tan tan 145tan tan ⋅-+-=θθ，717112511125-=⨯-+-=．⑵26217)45sin(sin 0=+=θC ，由正弦定理θsin 45sin sin 0BC AC CAB ==，得52045sin sin 0=⨯=CAB AC ，2200=BC ，新的飞行路程比原路程多)(8.1226802200520km AB BC AC =-+=-+． ⒘⑴设选手甲任答一题，正确的概率为p ，依题意91)1(2=-p ，32=p ，甲选答3道题目后进入决赛的概率为278)32(3=，甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为27831)32(323=⋅C 、8116)31()32(2324=C ，所以选手甲可进入决赛的概率81648116278278=++=P ．⑵ξ可取3，4，5，依题意31271278)3(=+==ξP ，27103132)31(3231)32()4(223223=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ，27831)32()31(32)31()32()5(22242224=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ，所以，ξ的分布列为：27107278527104313=⨯+⨯+⨯=ξE ．⒙⑴以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)6 , 0 , 6(1A 、)6 , 6 , 0(1C ，设m AE =，则)0 , , 6(m E ，)0 , 6 , 6(m F -，从而、，直接计算知，所以．⑵①当1A 、E 、F 、1C 共面时，因为底面1111//D C B A ABCD ，所以EF C A //11，所以AC EF //，从而E 、F 分别是AB 、BC 的中点，设1D 到直线E C 1的距离为h ，在E D C 11∆中，93662221=++=E C ，221111BC D C hE C ⨯=⨯，解得24=h ．②由①得，)0 , 3 , 6(E 、 )0 , 6 , 3(F ，设平面DE A 1的一个法向量为) , , (1c b a n =，依题意⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅066036111c a DA n b a DE n ，所以)1 , 2 , 1(1-=n ，同理平面DF C 1的一个法向量为)1 , 1 , 2(2-=n ，由图，面DE A 1与面DF C 1所成二面角的余弦值21||cos 21=⋅=n n θ．⒚⑴依题意，设曲线C 的方程为12222=+b y a x （0>>b a ），1=c ，21==a c e ，2=a ，322=-=c a b ，所求方程为13422=+yx．⑵当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为)1(-=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y yx ，得0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k ，从而22438kkx x B A +=+，2243)3(4kkx x B A +-=⋅，设)0 , (t P ，则B A B A y y t x t x PB PA +--=⋅))((2222222243)485(123)())(()1(kkt t t t kx x k t x x kB A B A ++--+-=++++-+=，当4485312322tt t +--=-，811=t 时，对R k ∈∀，64135-=⋅PB PA ；当x AB ⊥轴时，直线AB 的方程为1=x ，1==B A x x ，23)(±=B A y y ，对811=t ，6413549649))((-=-=+--=⋅B A B A y y t x t x PB PA ，即存在x 轴上的点)0 , 811(P ，使PBPA ⋅的值为常数64135-．⒛⑴由nn n n a a 221⨯+=+得n a a n n nn =--+1122，122211-=----n a a n n n n ，所以101232212111)22()22()22(2a a a a a a a a n n n n n n n n n n +-++-+-=-------- 1)2()1(++-+-= n n 2)1(-=n n ，高三理科数学综合训练题一（第 11 页 共 11 页）⑵1=n 时，左边011==a S ，右边02)431(12)43(221=-+-⨯=-+-⨯-n n n ，左边=右边，命题成立；设)(+∈=N k k n 时，命题成立，即2)43(221-+-⨯=-k k S k k ，则11+++=k k k a S S ，2)2(2)1(22)43(22121-+-=+⨯+-+-⨯=--k kk k k kk k k2]4)1(3)1[(22-++-+⨯k k k ，从而1+=k n 时，命题成立．综上所述，数列{}n a 的前n 项和2)43(221-+-⨯=-n n S n n ．21.⑴1x ∀、)1 , 1(2-∈x ，|||||)()(|212121x x k x x x f x f -⨯++=-．若0≥k ，则当1x 、)1 , 21(2∈x 时，121>++k x x ……2分，从而|||)()(|2121x x x f x f ->-；若0<k ，则当1x 、)21, 1(2--∈x 时，121-<++k x x ，1||21>++k x x ，从而|||)()(|2121x x x f x f ->-，所以对任意常数k ，1)(2++=kx x x f 都不是区间)1 , 1(-上的平缓函数．⑵若1x 、]2 , 0[2∈x ，①当1||21≤-x x 时，1|||)()(|2121≤-≤-x x x f x f ；②当1||21>-x x 时， 不妨设2021≤<≤x x ，根据)(x f 的周期性，)2()0(f f =，|)()2(||)0()(||)()2()0()(||)()(|212121x f f f x f x f f f x f x f x f -+-≤-+-=- 1)(22|2|||122121<--=-+=-+≤x x x x x x ，所以对1x ∀、]2 , 0[2∈x ，都有1|)()(|21≤-x f x f ．对1x ∀、R x ∈2，根据)(x f 的周期性（且2=T ），存在1p 、]2 , 0[2∈p ，使)()(11p f x f =、)()(22p f x f =，从而1|)()(||)()(|2121≤-=-p f p f x f x f ．。