极限与连续的62个典型习题习题1 设m i a i ,,2,1,0 =>，求 nn m nnn a a a 121)(lim +++∞→ . 解 记},,,m ax {21m a a a a =，则有a a a a a nn n nm n n =≥+++1121)()( ，a a n =∞→lim .另一方面nn nn nm n n m a ma a a a 11121)()()(⋅=≤+++ .因为 1)lim (lim 11==∞→∞→n n n n m m ，故 a m a nn =⋅∞→1lim .利用两边夹定理，知 a a a a nnm nnn =+++∞→121)(lim ，其中 },,m ax {21m a a a a =.例如 9)9531(lim 1=+++∞→nnnnn . 习题2 求 )2211(lim 222nn n nn n n n n +++++++++∞→ .解n n n n n n n n n n n n +++++++++<+++++2222221121 1212+++++<n n n, 即n n n n n n n n n n n n +++++++++<++22222211)2(2)1( )1(2)1(2+++<n n n n214211lim 421lim )2(2)1(lim 2=++=++=++∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . 2122211lim )1(2)1(lim 22=+++=+++∞→∞→nn n n n n n n n . 利用两边夹定理知21)2211(lim 222=+++++++++∞→nn n n n n n n n .习题3 求n n n n ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→ . 解 n n n n ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→ nn n n ))111()3121()211((lim +-++-+-=∞→ 1)1()111(lim )111(lim -+∞→∞→+-=+-=n n n n n n 11)111()111(lim -+∞→+-⋅+-=n n n n 11)1()111(lim ]))1(11([lim -∞→-+-∞→+-⋅+-+=n n n n n 111--=⋅=e e 习题4 求 ),(11lim 1N n m xxm nx ∈--→.解（变量替换法）令mn x t =，则当1→x 时，.1→t 于是,原式nm t t t t t t t t t t n m t n m t =++++-++++-=--=--→→)1)(1()1)(1(lim 11lim121211 . 习题5 求xx x x )1(lim -+∞→.解（变量替换法）令+∞→+∞→=t x t x ,,，原式t t t t t t t t t t )11(lim )1(lim22+⋅-=-=∞→∞→t t tt ])11()11[(lim 11--∞→-⋅+= t t t t t --∞→-⋅+=)11()11(lim 101==⋅=-e e e . 习题6 求 xx x xe sin 10)23(lim+-→ (∞1型)。
为了利用重要极限，对原式变形xx x e e x xxox xx o x x x o x x xxe x x e x x x e sin 12112sin 1sin 1])211[(lim )212(lim )23(lim ⋅+----+→→→+--+=+--++=+-122sin 1212])211[(lim --⋅+----+→==+--+=e exe x xx x x e x xx o x x习题7 求 2211lim x x x x --++→. 解 原式)211()211)(211(lim2+-+++-++--++=→x x x x x x x x)211(41211lim220+-++--+-++=→x x x x x x x)11)(211()11(2lim2220+-+-++--=→x x x x x x)11)(211(2lim20+-+-++-=→x x x x 41242-=⋅-=. 习题8 求 23564lim2-++∞→x x x x . 解 由于3223564lim 23564lim22=-++=-+++∞→+∞→xxx x x x x x . 而)23()564(lim 23564lim222xx x x x x x x x x -++=-++-∞→∞-→ 32)23()564(lim )23()564(||lim22-=-++-=-++=-∞→-∞→xxx x x x x x x x 23564lim 23564lim22-++≠-++-∞→+∞→x x x x x x x x .故 23564lim 2-++∞→x x x x 不存在。
习题9 研究下列极限 （1）xxx sin lim∞→. ∵ 原式x x x sin 1lim ⋅=∞→，其中01lim =∞→x x ，1|sin |≤x . ∴ 上式极限等于0，即0sin lim=∞→x x x .（2）xx x 1sin lim 0⋅→.因为 1|1sin |≤x，0lim 0=→x x , 所以 01sin lim 0=⋅→xx x . （3）x x x 1sin lim ⋅∞→. 原式111sinlim 11sin lim01===→∞→xx x x xx . 习题10 计算)1,0(,)(lim 10≠>+→a a a x xx x . 解 原式x x x xa a 10)1(lim -→+=xxa xa x x xa a --⋅-→+=10)1(limxx xa xa xx xa a -→--→+⋅=0lim 1])1(lim [ae e a =⋅=1.习题11 1ln ln 1lim 11lim 11lim ln 1ln 11-⋅-=--=--→→→x xx e x e x x x x x x x ααααα αααααα=⨯⨯=--+⋅-=→-→111)]1(1ln[lim ln 1lim 0)1(ln 0ln x x x e x x x . 习题12 已知 51lim 21=-++→xcbx x x ，求c b ,的值。
解 首先01lim 21=++=++→c b c bx x x ，∴c b --=1 原式51)]([lim )1())(1(lim 11=-=--=----=→→c c x x c x x x x， ∴ 6=c ，而 7)61()1(-=+-=+-=c b . 习题13 下列演算是否正确？01sin sin 1lim sin 1sinlim202201=⋅⋅=↓↓→→有界x xx x x x x x x .习题14 求)sin 1(sin lim x x x -++∞→. 解 原式21cos 21sin 2lim xx x x x ++⋅-+=+∞→21cos )1(21sinlim 2xx x x x ++⋅++=+∞→0=.习题15 求 1sin lim232+⋅∞→x x x x .解 ∵0111lim 1lim332=+=+∞→∞→xx x xx x ，1|sin |2≤x ，原式 = 0. 习题16 证明 )()(lim n m k bx k x e nx m x -+∞→=++（b k n m ,,,为常数）。
证 bx k x b x k x nx n m n x n x m x +∞→+∞→+-++=++))((lim )(lim （令y n x 11=+） bn y k y b kx y yn m n x m x +-∞→+∞→-+=++=)()1(lim )(lim bn k n m yn m k y yn m +--⋅-∞→-+=)()1(lim b n k y n m k n m yy yn m y n m +-∞→--∞→-+⋅-+=)1(lim ])1[(lim )()()(1n m k n m k e e --=⋅=.习题17 求 xx x 30)sin 1(lim-→. 解 原式3sin 3sin 10))sin (1(lim -⋅-⋅-→=-+=e x x xx x .习题18 求 ax ax ax --→ln ln lim. 解 (连续性法) 原式a x a x a x axa x a x -→→=-=1)ln(lim ln 1lima a x aa x a a x aa x a a x a a x 11])1(lim ln[]1ln[lim -→⋅-→-+=-+= ae a e a 1ln 1ln 1===.习题19 试证方程 b x a x +=sin （其中0,0>>b a ）至少有一个正根，并且它不大于b a +.证 设x b x a x f -+=sin )(，此初等函数在数轴上连续，∴)(x f 在],0[b a +上必连续。
∵,0)0(>=b f 而0]1)[sin()()sin()(≤-+=++-+=+b a a b b a b a a b a f 若0)(=+b a f ，则b a +就是方程b x a x +=sin 的一个正根。
若0)(<+b a f ，则由零点存在定理可知在),0(b a +内至少存在一点),0(b a +∈ξ，使0)(=ξf .即.sin b a +=ξξ故方程 b x a x +=sin 至少有一正根，且不大于b a +. 习题21 求xx x cos 110)(cos lim -→.解 原式111cos 1})]1(cos 1{[lim ---→=-+=e x x x .习题20 设}{n x 满足0>n x 且 .1lim 1<=-∞→r x x n nn试证.0lim =∞→n n x证 ,1lim 1<=-∞→r x x n n n 取,,021N r ∃>-=ε使得当N n >时有 ,211r r x x n n -=<--ε即,212101+=-+<<-r r r x x n n 亦即,1210-+<<n n x r x 于是递推得 N Nn n n n x r x r x r x -<<--++<+<<)21()21(210...221 ,0)21(lim ,121=+∴<+-∞→N Nn n x r r从而由两边夹准则有 .0lim =∞→n n x 习题22 用定义研究函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=0011)(x x xx x f 的连续性。