江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=2．若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为3．如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图，则其平均得分为4．已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a +=6．一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为7．右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为NY18．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 9．已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 11．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为12．函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是13．如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为14．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝b cos A ． （1）求ba的值；（2）若sin A ＝13，求sin(C －π4)的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱PA 的中点． （1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥PA ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分14分）某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5．已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍． （1）写出新建道路交叉口的总造价y （万元）与x 的函数关系式；（2）设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3．问：P 能否大于120，说明理由．18．（本小题满分16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．P A BCDE（第16题图）19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x －b ，b ∈R ．（1）若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求b 的值； （2）设T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求函数T (x )的单调增区间；（3）设h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1．若存在x 1，x 2∈[0，1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16． （1）求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）设T n ＝i =1∑n (－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，说明理由．（第18题图）江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试 数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题．．纸指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知点P (3，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1变换下得到点P ′(5，－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x=m+2cos α，y=2sin α（α为参数，m 为常数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ（第21题（A ）图）－π4)=2．若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围．D ．选修4－5：不等式选讲设实数x ，y ，z 满足x ＋5y ＋z ＝9，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）假定某射手射击一次命中目标的概率为23．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求： （1）X 的概率分布； （2）数学期望E (X )．23．（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB ＝2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ． （1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角A －DF －B 的大小．ABCDEF（第23题图）江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=【答案】3π 【解析】试题分析：由题意得：1cos =2θ，又因为θ为锐角，所以.3πθ=考点：集合相等2．若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 【答案】-2 【解析】 试题分析：12=(a+2i)(1-i)=(a+2)-(a-2)i z z 为纯虚数，所以a+2=0a-20a=-2.≠，，考点：纯虚数3．如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图，则其平均得分为【答案】31 【解析】试题分析：由题意得平均得分为18+28+30+32+38+40=31.6考点：茎叶图 4．已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 【答案】1 【解析】试题分析：由奇函数得：()()22+--log =-log 11-a x a x f x f x x x -=+，，1-=1a x xx a x-++，21a =，因为1a ≠-，所以 1.a = 考点：奇函数5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a +=【答案】3 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q,则36311,.82a q q a ===因此645321 3.a a a a q q+=+=+= 考点：等比数列6．一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为【答案】0.6 【解析】试题分析：从中一次性随机摸出2只球共有2510C =种基本事件, 恰好有1只是白球包含11326C C =种基本事件，因此所求概率为6=0.6.10考点：古典概型概率7．右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为【答案】14 【解析】试题分析：第一次循环：11;T S ==，第二次循环：23;T S ==，第三次循环：36;T S ==，第四次循环：410;T S ==，结束循环，输出14.W = 考点：循环结构流程图8．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为【答案】y x = N14Y1试题分析：由题意得：3,4m ==，而双曲线的渐近线方程为y x=，即y 2x =± 考点：双曲线的渐近线9．已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为【答案】84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题意得：262,16,48T A T T ππω==-===, 又sin 21,2()842k k Z πππϕϕπ⎛⎫⨯+=+=+∈ ⎪⎝⎭，2πϕ<，所以=4πϕ考点：三角函数解析式10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅= 考点：球的表面积11．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为【答案】【解析】试题分析：因为CPQ ∆的面积等于1sin 2PCQ ∠,所以当=90PCQ ∠时CPQ ∆的面积最大，此时圆心到直线3y x =，因此22a = 考点：直线与圆位置关系12．函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是【答案】63516a -<<-试题分析：由()220f x ax ax a '=+-=得：1,x =或2x =-，结合图像可知函数的图象经过四个象限的充要条件是()0,10,(2)0a f f <>-<，即63516a -<<-考点：利用导数研究函数图像13．如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为【答案】24 【解析】试题分析：因为211()33AQ AB AP AP PB AP ⋅=⋅+=,所以2=12AP ，因此222=)361224.B Q B P B P P Q B P B P A B A P ⋅+⋅==-=-=（ 考点：向量表示14．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为 【答案】4【解析】试题分析：由题意得24,a b =又由2=c x ax b ++得：12||AB x x =-==，同理CD =因为四边形ABCD 为梯形，所以1255,2=⨯解得 4.c = 考点：二次函数二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）由a cos B ＝b cos A ，得sin A cos B ＝sin B cos A ， …………………………3分 即sin(A －B )＝0．因为A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(－π，π)，所以A －B ＝0，所以a ＝b ，即b a＝1． ………………………………………………………………6分 （2）因为sin A ＝13，且A 为锐角，所以cos A ＝223． ………………………………8分所以sin C ＝sin(π－2A )＝sin2A ＝2sin A cos A ＝429， ……………………………10分cos C ＝cos(π－2A )＝－cos2A ＝－1＋2sin 2A ＝－79．…………………………………12分所以sin(C －π4)＝sin C cos π4－cos C sin π4＝8＋7218．………………………………14分16．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ．…………………………………………………2分 因为 E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ．…………………………………………………4分 因为PC /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC // 平面BDE ．……………………………6分 （2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．………………………………………8分 因为PC ⊥PA ，OE ∥PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ， 所以PA ⊥平面BDE ．………………………………12分 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ． ………………………………14分17．解：（1）依题意得 y ＝mkn ＝mk (ax ＋5)，x ∈N *． …………………………………4分 （2）方法一 依题意x ＝0.2a ． ……………………………………………6分PABCDEO所以P ＝mx y ＝x k (ax ＋5)＝0.2a k (0.2a 2＋5)＝ak (a 2＋25) ……………………………8分≤a3(a 2＋25)＝13(a ＋25a )≤13×(2 a ×25a)＝130＜120． …………………………13分 答：P 不可能大于120． …………………………………………14分 方法二 依题意x ＝0.2a ． …………………………………………6分 所以P ＝mx y ＝x k (ax ＋5)＝0.2a k (0.2a 2＋5)＝a k (a 2＋25)．……………………………8分 假设P ＞120，得ka 2－20a ＋25k ＜0． …………………………………10分 因为k ≥3，所以△＝100(4－k 2)＜0，不等式ka 2－20a ＋25k ＜0无解．……………13分 答：P 不可能大于120． ……………………………………14分 18．解： ⑴因为c a ＝22，a 2c= 2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝１．故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． ………………………………………4分⑵解法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1， – y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y = 0，解得m ＝－x 1y 1－1. ……………………………………8分因为k AQ ＝ －y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1．令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1． ……………………………………12分所以mn ＝－x 1y 1－1 x 1y 1＋1＝x 211－y 21． ………………………………………14分又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22+ y 2 = 1上，所以x 212 + y 21= 1，即1－y 21= x 212，所以x 211 – y 21＝2，即mn ＝2．所以mn 为常数，且常数为2． ………………………………16分解法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y = kx +1，令y = 0，得m ＝－1k． ………………………………6分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y = kx + 1，x 22 + y 2＝1，[来源:学。