2020届江苏省苏州中学高三上学期期初数学试题一、填空题1．已知R 为实数集，集合{}1,0,1A =-，集合{}0B x x =≤，则R A B =I ð______． 【答案】{}1【解析】利用补集的定义求出集合B R ð，然后利用交集的定义求出集合R A B I ð. 【详解】{}0B x x =≤Q ，{}0R B x x ∴=>ð，因此，{}1R A B =I ð.故答案为：{}1. 【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算，考查计算能力，属于基础题. 2．若复数122,2z i z a i =+=-（i 为虚数单位），且12z z 为实数，则实数a =______________.【答案】4【解析】根据复数的乘法运算法则，求出12z z ，由虚部为零，即可求解. 【详解】1212,22,(42)2z i i z a i z a a z =+=-=++-,12z z Q 为实数，4a =.故答案为:4. 【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题. 3．已知函数1()1xf x a e =+-为奇函数，则实数a =___________. 【答案】12【解析】根据奇函数的必要条件有(1)(1)f f -=-，求出a ，再加以验证()f x 是否为奇函数. 【详解】函数1()1xf x a e =+-为奇函数，(1)(1)f f ∴-=-， 11+111a a e e=----，解得，12a =， 此时111()212(1)x x x e f x e e +=+=--，11()()2(1)2(1)x xx xe ef x f x e e --++-===---， 所以()f x 为奇函数. 故答案为:12. 【点睛】本题考查函数奇偶性求参数，注意必要条件的应用减少计算量，但要验证，属于基础题. 4．抛物线214y x =的准线方程是___________________. 【答案】1y =- 【解析】将214y x =化成抛物线的标准方程24x y =，利用抛物线的性质求解即可． 【详解】由214y x =得：24x y =，所以24p =，即：12p = 所以抛物线214y x =的准线方程为：12py =-=-．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．5．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．【答案】12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【解析】分离参数法表达出a 的表达式，对函数配方，根据x 的范围，从而确定a 的范围． 【详解】∵满足1＜x ＜4的一切x 值，都有f （x ）=ax 2﹣2x+2＞0恒成立，可知a≠0 ∴a ＞()221x x -=2[14﹣（1x ﹣12）2]，满足1＜x ＜4的一切x 值恒成立，∵14＜1x ＜1， ∴2[14﹣（1x ﹣12）2]∈（0，12]，实数a 的取值范围为：12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 故答案为：12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查了不等式恒成立，二次函数的性质，函数的单调性，涉及了变量分离求最值得方法，属于中档题．6．已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则()0f =______．【答案】12【解析】根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈，得到ϕ的表示，根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值，最后可计算()0f 的值. 【详解】因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈，所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 所以5,6k k Z πϕπ=+∈，又因为[)0,ϕπ∈，所以56πϕ=，此时0k =， 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 【点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值.7．若曲线(1)x y ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________. 【答案】2-【解析】求出y '，并由0|1x y ='=-，建立a 的方程，即可求解.,((1)1)x x y y ax e ax a e '=+=++， 011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为__________． 【答案】2.【解析】分析：利用264,,S S S 成等差数列求出1q =-，由()222144462112a q a a q a a q q+++===可得结果. 详解：设{}n a 的首项1a ，公比为q ，1q =时，264,,S S S 成等差数列，不合题意； 1q ≠时，Q 264,,S S S 成等差数列，()()()6241112111111a q a q a q qq q---∴=+---，解得1q =-，()222144462112a q a a q a a q q+++∴===，故答案为2. 点睛：本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.9．若双曲线22219x y b-=满足9b ≥，则该双曲线离心率的取值范围是_______________.【答案】)+∞【解析】根据双曲线离心率公式，得3e =，由已知b 的范围，即可求解.双曲线22219x y b -=离心率为3e =，9,b e ≥∴Q 故答案为:)+∞ 【点睛】本题考查双曲线的性质，属于基础题.10．已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于________． 【答案】1124-【解析】不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4，由三角形的面积公式可得234a b c ==，设234a b c x ===，可得2x a =，3x b =，4xc =，可得A 为三角形的最大角，由余弦定理即可计算得解． 【详解】解：由题意，不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4， 由三角形的面积公式可得：111234222a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，解得：234a b c ==，设234a b c x ===， 则2x a =，3x b =，4xc =，可得a 为三角形最大边，A 为三角形的最大角， 由余弦定理可得：222222()()()11342cos 224234x x xb c a A x x bc +-+-===-⨯⨯．故答案为：1124-． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．已知函数2()6f x x =-，若0a b >>，且()()f a f b =，则2a b 的最大值是______________. 【答案】16【解析】根据已知求出22,a b 关系，以及b 的范围，将2a b 转化求关于b 的关系式，即可求解. 【详解】22()(),|6||6|,0f a f b a b a b =∴-=->>Q ，22260,066b b a b -<<<-=-+，222312,12a b a b b b ∴=-∴=-+，设3()12,0f x x x x =-+<<2()3123(2)(2)f x x x x '=-+=-+-，当(0,2),()0,()x f x f x '∈>单调递增，当()0,()x f x f x '∈<单调递减，2x ∴=时，()f x 取得极大值16，也是最大值，2a b ∴的最大值是16.故答案为:16. 【点睛】本题以二次函数为背景，考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.12． 若直线y ＝x ＋m 与曲线x 则实数m 的取值范围是______.【答案】{m |－1＜m ≤1或m }【解析】由x 2+y 2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m 的取值范围． 【详解】由x 2+y 2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆， 且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点， 从图上看出其三个极端情况分别是：①直线在第四象限与曲线相切， ②交曲线于（0，﹣1）和另一个点， ③与曲线交于点（0，1）．直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣2， 当直线y=x+m 经过点（0，1）时，m=1．当直线y=x+m 经过点（0，﹣1）时，m=﹣1，所以此时﹣1＜m≤1． 综上满足只有一个公共点的实数m 的取值范围是： ﹣1＜m≤1或m=﹣2．故答案为：{m |－1＜m ≤1或m ＝－2}． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．13．如图，已知AC 与BD 交于点E ，//AB CD ，310AC =，26AB CD ==，则当tan 3A =时，BE CD ⋅=u u u r u u u r_____________.【答案】12【解析】根据已知条件可得2210AE EC ==,AB AE u u u r u u u r 为基底，将BE u u u r用基底表示，根据向量的数量积公式，即可求解. 【详解】21tan 3,0,sin 3cos ,cos 210A A A A A π=∴<<==，6cos /,10,210/AB C AB CD D A ∴===， 2,2210AE ABAE EC EC DC∴==∴==， 2111()||222BE CD AE AB AB AE AB AB ⎛⎫⋅=--=-⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r21101621061222=-⨯⨯⨯+⨯=.故答案为:12. 【点睛】本题考查向量的线性关系、向量基本定理、向量的数量积，考查计算求解能力，属于中档题.14．已知圆C 的方程为：（x －3）2＋（y －2）2＝r 2（r >0），若直线3x ＋y ＝3上存在一点P ，在圆C 上总存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围是________． 【答案】410[,)+∞. 【解析】通过已知条件，求出点P 的轨迹方程，而点P 又在直线3x ＋y ＝3上，问题转化为直线与圆有公共点，即可求出r 的取值范围． 【详解】如图，连结PC ，依次交圆于E ，F 两点，连结MF ，EN ，因为∠PNE 和∠PFM 都是弧¼ME的圆周角，由圆周角定理可得∠PNE ＝∠PFM ，又∠NPE ＝∠FPM ，所以△PNE ∽△PFM ，所以PN PE PFPM=，即PE PF PN PM ⋅=⋅，而,PE PC r PF PC r =-=+，所以有22PC r PM PN -=⋅，因为M 是线段PN 的中点，所以2222PC r MN -=， 又因为M ，N 是圆上的任意两点，则有0<MN ≤2r ，即0<22PC r -≤8r 2.设动点P （x ，y ），圆心C 坐标为（3，2），则有0<（x －3）2＋（y －2）2－r 2≤8r 2，即r 2<（x －3）2＋（y －2）2≤9r 2，在一个圆环内，又因为P 在直线3x ＋y ＝3上，所以直线3x ＋y ＝3与圆环有公共点，即直线与圆（x －3）2＋（y －2）2＝9r 2有公共点，则有3d r =≤，解得r ≥，所以圆C 的半径r的取值范围是)+∞.故答案为：)+∞ 【点睛】此题考查通过中点关系，求出动点轨迹，转化成求直线与圆的位置关系.二、解答题15．已知集合{}2|3100A x x x =--≤，（1）若集合{21,1}B m m =---+，且A B A ⋃=，求实数m 的取值范围； （2）若集合{|211}B x m x m =--≤≤-+，且A B A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）132m -≤≤（2）1,2m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）由已知可得B A ⊆，B 的两个元素在集合A 中，建立关于m 的不等式关系，即可求解；（2）由已知可得B A ⊆，对B 是否为空集分类讨论，若B 是空集，满足条件，若B 不是空集，由集合的关系确定集合B 端点位置，建立关于m 的不等式关系，即可求出结论. 【详解】解：{}2|3100[2,5]A x x x =--≤=-（1）A B A B A ⋃=⇒⊆，所以2215215m m -≤--≤⎧⎨-≤-+≤⎩，即13243m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得132m -≤≤，实数m 的取值范围132m -≤≤；（2）A B A B A ⋃=⇒⊆，①若B =∅， 则211,2m m m -->-+∴<-， ②若B =∅，则2m ≥-，又B A ⊆，则221215m m m ≥-⎧⎪--≥-⎨⎪-+≤⎩，解得122m -≤≤，综上实数m 的取值范围1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查集合间的关系，要注意空集不要遗漏，属于基础题. 16．已知cos 7α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()sin4απ+的值； （2）若()11cos 14αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值. 【答案】;(2)6πβ=.【解析】分析：（1）根据同角三角函数可得sin α，再根据正弦的两角和公式，即可求得sin()4πα+的值.（2）根据同角三角函数可得sin()αβ+，另sin sin()βαβα=+-，再根据正弦的两角差公式，即可求得sin β，然后求出β值.详解：解：（1）由cos 7α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得17sin α===， 所以sin cos cos sin 444sin πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭17=+=（2）因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,αβπ+∈，又()11cos 14αβ+=，则()sin αβ+===， 所以()sin sin βαβα=+- ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+11111471472=⨯-⨯=， 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πβ=.点睛：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧以及特殊角的三角函数值。