2014.1一、填空题：1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ▲ ． 2．已知命题:p “若b a =，则||||=”，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 ▲ ．3. 已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这7个数据的中位数，且y x -,,2,12这四个数据的平均数为1，则x y 1-的最小值为 ▲ ．4. 已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为 ▲ ． 5. 已知向量),cos 6,9(),3,5(α--=-= α是第二象限角，)2//(-，则αtan = ▲ ．6. 已知直线 ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒ ⊥m ；②α⊥β⇒ ∥m ；③ ∥m ⇒α⊥β；④ ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题序号是 ▲ ． 7. 已知数列{}n a 中，n a *N ∈，对于任意*n N ∈，1n n a a +≤，若对于任意正整数K ，在数列中恰有K 个K 出现，求50a ＝▲ ．8. 设y x ,均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为 ▲ ．9.已知方程2x +θtan x －θsin 1=0有两个不等实根a 和b ，那么过点),(),,(22b b B a a A 的直线与圆122=+y x 的位置关系是 ▲ ． 10．若动直线)(R a a x ∈=与函数())()cos()66f x x g x x ππ=+=+与的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为 ▲ ．11. 各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，且2(2)nS n =≥，若11n nn n n a a b a a ++=+，且数列{}n b 的前n 项的和为n T ，则n T = ▲ ．12.若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ,且11(=f x x ）则关于x 的方程213())2()0f x af x b ++=（的不同实根个数是 ▲ ．13．已知椭圆与x 轴相切，左、右两个焦点分别为)25(1,1(21，），F F ，则原点O 到其左准线的距离为 ▲ ．14. 设13521A ,,,,2482n nn -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，A n 的所有非空子集中的最小元素的和为S ，则S = ▲ ． 二、解答题：15．(本小题满分14分)设向量),cos ,(sin x x a =),sin 3,(sin x x b =x ∈R ，函数)2()(b a a x f +⋅=. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点．（1）求证：DM PB ⊥； （2）求点B 到平面PAC 的距离．17．(本小题满分14分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求 用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分，栏栅与矩形区域的边界交 于点M 、N ，切曲线于点P ，设(,())P t f t ．( I)将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成f 的函数S(t)；(II)若12t =，S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值．18．(本小题满分16分)如图：在平面直角坐标系xOy 中，已知12,F F 分别是椭圆E:()222210y x a b a b +=>> 的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且225AF BF +=0． （1）求椭圆E 的离心率；（2）已知点D （1,0）为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．19. (本小题满分16分) 已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当na 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N)时，都有0n a =.20. (本小题满分16分)设0a >，两个函数()axf x e =，g()ln x b x =的图像关于直线y x =对称.（1）求实数b a ,满足的关系式；（2）当a 取何值时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点；（3）当1=a 时，在),21(+∞上解不等式2)()1(x x g x f <+-．一、填空题1. ()+∞,0 2．2 3. 323 4. 32 5.4-3 6. ①③ 7.9 8.169. 相切 10．2 11.24621n nn ++ 12.3 13．1714.⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=*2,3,212,47N n n n n二、解答题15．解：(1))2()(x f +⋅=222sin cos 2(sin cos )x x x x x =+++111cos 2222(sin 2cos 2)2x x x x =+-+=+-⋅22(sin 2coscos 2sin )22sin(2)666x x x πππ=+-=+-. …………5′由222262k x k πππππ-≤-≤+，得63k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+()k ∈Z . …………8′(2) 由()22sin(2)6f x x π=+-，得()4cos(2)6f x x π'=-. 由()2f x '≥，得1cos(2)62x π-≥，则222363k x k πππππ-≤-≤+， 即124k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z . ∴使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合为,124x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z .……14′16．解：（1）因为N 是PB 的中点，PA=AB ，所以AN ⊥PB,因为AD ⊥面PAB ，所以AD ⊥PB,又因为AD∩AN=A 从而PB ⊥平面ADMN,因为平面ADMN ，所以PB ⊥DM. …………7′(2) 连接AC ，过B 作BH ⊥AC ，因为PA ⊥底面ABCD ， 所以平面PAB ⊥底面ABCD ，所以BH 是点B 到平面PAC 的距离.在直角三角形ABC 中，BH ＝AB BC 25AC 5⋅＝……………14′17．解：（Ⅰ）2y ax '=-，直线MN 的斜率为2at -，∴直线MN 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at --++=+== 21(,0)2at M at +∴ ………3分令0x =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+, MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at ++=⋅+=, ………6分 （Ⅱ）2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at +-+-'==,因为0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,3at t a -==得………9分当2310,3at t a ->>即时, ()0S t '>,当2310,03at t a -<<<即, ()0S t '<,()3t S t a ∴=当有最小值.已知在12t =处, ()S t 取得最小值,14,233a a =∴=，故当41,32a t ==时,2min41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅18．（1）2250AF BF +=，225AF F B ∴=.()5a c a c ∴+=-，化简得23a c =，故椭圆E 的离心率为23.（2）存在满足条件的常数λ，47=-.点()1,0D 为线段2OF 的中点，2c ∴=，从而3a =，b =，左焦点()12,0F -，椭圆E 的方程为22195x y +=.设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线MD 的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=， 整理得，2112115140x x y y y y --+-=.()1113115y x y y x -+=-，13145y y x ∴=-.从而131595x x x -=-，故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.同理，点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.三点M 、1F 、N 共线，121222y y x x ∴=++，从而()1221122x y x y y y -=-.从而()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --+-----=====--------故21407k k -=，从而存在满足条件的常数λ74-=． 19.解：（1）∵1a 为偶数，∴可设12()Z a n n =∈，故122a a n ==，若n 为偶数，则32na =，由123,,a a a 成等差数列，可知2132a a a =+，即522n n=，解得0n =，故10a =； （2分） 若n 为奇数，则312n a -=，由123,,a a a 成等差数列，可知2132a a a =+，即51222n n =-，解得1n =，故12a =； ∴1a 的值为0或2． （4分）（2）∵123(3,)N ma m m =+>∈是奇数，∴1121212m a a --==+，223122m a a --==，33422m a a -==，依此类推，可知341,,,m a a a +成等比数列，且有12m n n a -+=(31)n m ≤≤+，又0121m a +==，21102m a +-==，30m a +=，…∴当1n m ≤+时，0n a >；当2n m ≥+时，都有0n a =． （3分） 故对于给定的m ，n S 的最大值为121m m a a a a +++++123010(23)(21)222(222)4m m m m m m ----=+++++++=++++112142321m m ++-=+=+-，所以123m n S +≤+． （6分） （3）当1a 为正整数时，n a 必为非负整数．证明如下：当1n =时，由已知1a 为正整数， 可知1a 为非负整数，故结论成立； 假设当n k =时，n a 为非负整数，若0n a =，则10n a +=；若n a 为正偶数，则12n n a a +=必为正整数；若n a 为正奇数，则112nn a a +-=必为非负整数．故总有n a 为非负整数． （3分）当n a 为奇数时，1122n n n a a a +-=<；当n a 为偶数时，12n n aa +=．故总有12n n a a +≤，所以12121222n n n n a a a a ---≤≤≤≤，当211log n a >+时，n a ≤21log 1111111()()122a n a a a a -<==，即1n a <．（ 6分）又n a 必为非负整数，故必有0n a =． （8分）【另法提示：先证“若k a 为整数，且122(*)N t t k a t +≤<∈，则1k a +也为整数，且1122t t k a -+≤<”，然后由1a 是正整数，可知存在正整数s ，使得1122s sa -≤<，由此推得1s a =，10s a +=，2s a +及其以后的项均为０，可得当211log n a >+()N n ∈时，都有0n a =】20.解：（1）设P()axx e ，是函数()ax f x e =图像上任一点，则它关于直线y x =对称的点P ()ax e x ，，在函数g()ln x b x =的图像上，ln ax x b e abx ∴==，1ab ∴=.（2）当0a >时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线y x =对称，∴两个函数图像的交点就是函数()axf x e =，的图像与直线y x =的切点. 设切点为00A()ax x e ，，00=ax x e ()ax f x ae =，，0=1ax ae ∴，0=1ax ∴，00==ax x e e ∴,∴当011a x e ==时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点x e =；（3）当a =1时，设 ()2()(1)+g r x f x x x =--1x e -=2ln x x +-，则()r x ，112x e x x -=-－＋，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112211,1x x e x --<-=<-－，()0r x ，＜，当[)1,+x ∈∞时，112121,0xx e x --≤-=<－－，()0r x ，＜． ()r x ∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.又(1)r＝0，∴不等式()2(1)+gf x x x-<解集是()1,+∞．。