江苏省苏州中学2008－2009学年度第一学期中考试高三数学本试卷文科满分160分，考试时间120分钟．理科满分200分，考试时间150分钟解答直接做在答案专页上．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分1．已知集合231{|},{|log }M x x N x x =<=>，则MN = ▲2．命题“若a b =-，则22a b =”否命题的真假为 ▲3．函数()f x =的定义域为A ，若2A ∉，则a 的取值范围为 ▲4．已知等差数列{}n a 的公差为2，若245,,a a a 成等比数列，则2a 的值为 ▲5．等差数列{}n a 的公差0d <，且22111a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时n = ▲6．等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，333S a =，则公比q = ▲7．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a = ▲8．若函数()lg(42)x f x k =-⋅在(],2-∞上有意义，则实数k 的取值范围是 ▲ 9． 函数2sin(2),,662y x x πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的值域为 ▲ 10．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 ▲ 平移▲ 个单位长度11．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 ▲ _12．①存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a ②存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③x y tan =在其定义域内为增函数 ④)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π以上命题正确的为 ▲13．若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 ▲ 14．函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２），则()12f x x 的最小值为 ▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分15分）)33sin(32)(πω+=x x f （ω＞0）（1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值 （2）f (x )在（0，3π）上是增函数，求ω最大值.16．（本题满分20分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且点1(,)n n S S +在直线1y kx =+上（1）求k 的值；（2）求证{}n a 是等比数列；（3）记n T 为数列{}n S 的前n 项和，求10T 的值.17．（本题满分20分）设函数2()1f x ax bx =++（a ,b 为实数），()(0)()()(0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.（1）若(1)f -=0且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 表达式；（2）在（1）的条件下，当[]3,3x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；18．（本题满分15分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14(1)2(na nn n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．19．（本题满分10分）已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数.（I ）求)(x f 、)(x g 的表达式；（II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.20．（本题满分10分）已知32()(,0]f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,2]上是减函数，且()0,2,(2)f x αβαβ=≤≤有三个根. （Ⅰ）求c 的值，并求出b 和d 的取值范围; （Ⅱ）求证：(1)2f ≥；（Ⅲ）求||βα-的取值范围，并写出当||βα-取最小值时的()f x 的解析式.理科附加题21．（本题满分10分）计算由223,3y x x y x =-+=+所围成的封闭图形的面积拟稿：朱威 张中华 校对：张中华 审阅：王思俭22．（本题满分10分）周长为12的矩形围成圆柱（无底），当矩形的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？23．（本题满分20分）如图，111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y （120n y y y <<<<）是曲线C ：23y x =（0y ≥）上的n 个点，点(,0)i i A a （1,2,3,,i n =）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是正三角形（0A 是坐标原点）．（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；（Ⅱ）求出点(,0)n n A a （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式； （Ⅲ）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++，若对任意的正整数n ，当[1,1]m∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围．拟稿：朱威 张中华 校对：张中华 审阅：王思俭江苏省苏州中学2008－2009学年度第一学期中考试高三数学答案一、填空题（每小题5分，共70分）1. (2,3)2. 假命题3. （1，3）4. －85. 5或66. 12-或1 7. 8. 1(,)-∞9. 21[,]-- 10. 右，3π11. 4 12. ④ 13. [2,)-+∞ 14.23二、解答题（共6小题 共90分）15. （1）13ω=， 6,()k k Z πθπ=+∈.(2) ω最大值为16.16. （1）2k =（2）{}n a 是公比为2的等比数列（3）21n n S =-， 11102122036T =-=. 17. 解：（1）∵ (1)0f -=， ∴1b a =+.由()0f x ≥恒成立，知2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤， ∴ a =1. 从而2()21f x x x =++.∴ 22(1)(0)()(1)(0)x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩.（2）由（1）可知2()21f x x x =++，∴2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+.由于()g x 在[]3,3-上是单调函数，知232k --≤-或232k--≥，解得4k ≤-或8k ≥.18. 解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=． ∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． ∴1n a n =+．（2）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．19. 解: （I ）,2)(xax x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ①又x ax g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .∵上式恒成立,∴.2≥a ② 由①②得2=a .∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=（II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xx x x h +--='则令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, 当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解.（III ）设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x xϕϕ=--+=---<则, ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >-所以：11≤<-b 为所求范围.20. 解（1）](]((),0f x -∞在上是增函数,在0,2上是减函数20'()0'()32'(0)0x f x f x x bx c f ∴===++∴=是的根又0c ∴=()0,2,(2)0840'(2)01240384f x f b d f b b d b αβ=∴=∴++=≤∴+≤∴≤-=--又的根为又又4d ∴≥（2）(1)1(2)0f b d f =++=843(1)18473d b b f b b b∴=--≤-∴=+--=--且2≥（3）()0f x αβ=有三根,2,32()()(2)()(2)222f x x x x x x b d αβαβαβαβαβ∴=---=-++⋅-++=-⎧⎪∴⎨=-⎪⎩222222||()4(2)244168412(2)163||3b d b b bb b b b βααβαββα∴-=+-=++=++--=--=--≤-∴-≥又当且仅当b=-3时取最小值,此时d=432()34f x x x ∴=-+.理科附加题答案 21. 92S = 22. 1:223. 解：（Ⅰ）12a =，26a =，312a =；（2）依题意，得12n n n a a x -+=，12n n n a a y --，由此及23nn y x =得2113()22n n n n a a a a ---⎫=+⎪⎭， 即211()2()n n n n a a a a ---=+． 由（Ⅰ）可猜想：(1)n a n n =+（n *∈N ）． 下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及211()2()k k k k a a a a ++-=+得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=，解之得1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去）， 即当1n k =+时，命题成立．由（1）、（2）知：命题成立． （Ⅲ）12321111n n n n nb a a a a +++=++++111(1)(2)(2)(3)2(21)n n n n n n =++++++++2111112123123n n n n n n n =-==++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 令1()2f x x x =+（1x ≥），则21()2210f x x'=-≥->，所以()f x 在[1,)+∞上是增函数，故当1x =时，()f x 取得最小值3，即当1n =时，max 1()6n b =．2126n t mt b -+>（n *∀∈N ，[1,1]m ∀∈-）2max 112()66n t mt b ⇔-+>=，即220t mt ->（[1,1]m ∀∈-）222020t t t t ⎧->⎪⇔⎨+>⎪⎩． 解之得，实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．。