必修5 数列 单元测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)1.S n 是数列{a n }的前n 项和,log 2S n =n (n =1,2,3,…),那么数列{a n }( )A .是公比为2的等比数列B .是公差为2的等差数列C .是公比为12的等比数列 D .既非等差数列也非等比数列2.一个数列{a n },其中a 1=3,a 2=6,a n +2=a n +1-a n ,则a 5=( )A .6B .-3C .-12D .-63.首项为a 的数列{a n }既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n 项和为( )A .a n -1B .NaC .a nD .(n -1)a4.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{a n }的前7项和为( )A .63B .64C .127D .1285.已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则b 2(a 2-a 1)的值等于( )A .-8B .8C .-98D.986.在-12和8之间插入n 个数,使这n +2个数组成和为-10的等差数列,则n 的值为( )A .2B .3C .4D .57.已知{a n }是等差数列,a 4=15,S 5=55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线的斜率为( )A .4 B.14C .-4D .-148.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19=( )A .55B .95C .100D .1909.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数,则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A .S 7B .S 4C .S 13D .S 1610.等比数列{a n }中,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62,则通项是( )A .2n -1B .2nC .2n +1D .2n +211.已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在12.若a ,b ,c 成等比数列,则方程ax 2+bx +c =0( )A .有两个不等实根B .有两相等的实根C .无实数根D .无法确定二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.2,x ,y ,z,18成等比数列,则x =________.14.若数列{a n }满足a n +1=⎩⎨⎧2a n ,0≤a n ≤1,a n-1,a n >1,且a 1=67,则a 2013=________.15.一个数列的前n 项和为S n =1-2+3-4+…+(-1)n +1n ,则S 17+S 33+S 50=____________. 16.设等比数列{a n }的公比q =12,前n 项和为S n ,则S 4a 4=________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分.)17.(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n -a 1=S 1·S n ,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.18.(12分)已知等比数列{a n },首项为81,数列{b n }满足b n =log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列;(2)若S 11≠S 12,且S 11最大,求{b n }的公差d 的范围.19.(12分)等差数列{a n}的各项均为正数,a1=3,前n项和为S n,{b n}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.(1)求a n与b n;(2)证明:1S1+1S2+…+1S n<34.20.(12分)等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.21.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N*,数列{b n}满足a n=4log2b n +3,n∈N*.(1)求a n,b n;(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.22.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n-2a n-1-2n-1=0(n∈N*,n≥2).(1)求证:数列{a n2n}是等差数列;(2)若数列{a n}的前n项和为S n,求S n.必修5 数列 单元测试题 答案一、选择题1.解析 由log 2S n =n ,得S n =2n ,a 1=S 1=2,a 2=S 2-S 1=22-2=2,a 3=S 3-S 2=23-22=4,…由此可知,数列{a n }既不是等差数列,也不是等比数列. 答案 D2.解析 a 3=a 2-a 1=6-3=3,a 4=a 3-a 2=3-6=-3,a 5=a 4-a 3=-3-3=-6. 答案 D 3解析 由题意,知a n =a (a ≠0),∴S n =na . 答案 B4解析 a 5=a 1q 4=q 4=16,∴q =2.∴S 7=1-271-2=128-1=127. 答案 C5解析 a 2-a 1=-1--93=83,b 22=(-1)×(-9)=9,∴b 2=-3,∴b 2(a 2-a 1)=-3×83=-8. 答案 A6解析 依题意,得-10=-12+82(n +2),∴n =3. 答案 B7解析由a 4=15,S 5=55,得⎩⎨⎧a 1+3d =15,5a 1+5×42d =55.解得⎩⎨⎧a 1=3,d =4.∴a 3=a 4-d =11.∴P (3,11),Q (4,15).k PQ =15-114-3=4. 答案 A8解析 S 19=a 1+a 192×19=a 3+a 172×19=102×19=95. 答案 B9解析 a 2+a 4+a 15=a 1+d +a 1+3d +a 1+14d =3a 1+18d =3(a 1+6d )=3a 7,∴a 7为常数.∴S 13=a 1+a 132×13=13a 7为常数. 答案 C10解析 ∵a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=q (a 1+a 2+a 3+a 4+a 5),∴62=q ×31,∴q =2.∴S 5=a 11-251-2=31.∴a 1=1,∴a n =2n -1. 答案 A11解析 由d <0知,{a n }是递减数列,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,即a 3+a 9=0.又2a 6=a 3+a 9=0,∴a 6=0. ∴S 5=S 6且最大. 答案 B12解析 a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac >0. 而Δ=b 2-4ac =ac -4ac =-3ac <0.∴方程ax 2+bx +c =0无实数根. 答案 C二、填空题13.解析设公比为q,则由2,x,y,z,18成等比数列.得18=2q4,∴q=± 3.∴x=2q=±2 3. 答案±2 314. 解析由题意,得a1=67,a2=127,a3=57,a4=107,a5=37,a6=67,a7=127,…,∴a2013=a3=57. 答案5715.解析S17=-8+17=9,S33=-16+33=17,S50=-25,∴S17+S33+S50=1. 答案 116.解析S4a4=a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1-12a1⎝⎛⎭⎪⎫123=15. 答案15三、解答题17.解(1)令n=1,得2a1-a1=a21,即a1=a21,∵a1≠0,∴a1=1,令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.当n≥2时,由2a n-1=S n,2a n-1=S n-1两式相减得2a n-2a n-1=a n,即a n=2a n-1,于是数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列,即a n=2n-1.∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)知,na n=n·2n-1.记数列{n·2n-1}的前n项和为B n,于是B n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2B n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②①-②得-B n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n. 从而B n=1+(n-1)·2n.18.解(1)证明:设{a n}的公比为q,则a1=81,a n+1a n=q,由a n>0,可知q>0,∵b n+1-b n=log3a n+1-log3a n=log3a n+1a n=log3q(为常数),∴{b n}是公差为log3q的等差数列.(2)由(1)知,b1=log3a1=log381=4,∵S 11≠S 12,且S 11最大,∴⎩⎨⎧ b 11≥0,b 12<0,即⎩⎨⎧b 1+10d ≥0,b 1+11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥-b 110=-25,d <-b 111=-411.∴-25≤d <-411.19.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d >0,q ≠0,a n =3+(n -1)d ,b n =q n -1,依题意有⎩⎨⎧ b 2S 2=6+d q =64,b 3S 3=9+3d q 2=960.解得⎩⎨⎧d =2,q =8,或⎩⎪⎨⎪⎧d =-65,q =403,(舍去).故a n =2n +1,b n =8n -1.(2)证明:由(1)知S n =3+2n +12×n =n (n +2),1S n =1n n +2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2, ∴1S 1+1S 2+…+1S n =11×3+12×4+13×5+…+1n n +2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+12-14+13-15+…+1n -1n +2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12-1n +1-1n +2=34-2n +32n +1n +2∵2n +32n +1n +2>0 ∴1S 1+1S 2+…+1S n <34.20.解 (1)设{a n }的公比为q ,由已知,得16=2q 3,解得q =2,∴a n =a 1q n -1=2n .(2)由(1)得a 3=8,a 5=32,则b 3=8,b 5=32.设{b n }的公差为d ,则有⎩⎨⎧b 1+2d =8,b 1+4d =32,解得⎩⎨⎧b 1=-16,d =12.从而b n =-16+12(n -1)=12n -28. 所以数列{b n }的前n 项和S n =n -16+12n -282=6n 2-22n .21.解 (1)由S n =2n 2+n ,得当n =1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=4n -1.∴a n =4n -1(n ∈N *). 由a n =4log 2b n +3=4n -1,得b n =2n -1(n ∈N *).(2)由(1)知a n ·b n =(4n -1)·2n -1,n ∈N *, ∴T n =3+7×2+11×22+…+(4n -1)×2n -1,2T n =3×2+7×22+…+(4n -5)×2n -1+(4n -1)×2n .∴2T n -T n =(4n -1)×2n -[3+4(2+22+…+2n -1]=(4n -5)2n +5. 故T n =(4n -5)2n +5.22.解 (1)∵a n -2a n -1-2n -1=0,∴a n 2n -a n -12n -1=12,∴{a n2n }是以12为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1),得a n 2n =12+(n -1)×12,∴a n =n ·2n -1,∴S n =1·20+2·21+3·22+…+n ·2n -1① 则2S n =1·21+2·22+3·23+…+n ·2n ② ①-②,得-S n =1+21+22+…+2n -1-n ·2n =1·1-2n1-2-n ·2n =2n -1-n ·2n ,∴S n =(n -1)·2n +1.。