复数的概念及运算
一． 知识回顾
1. 复数的有关概念
形如______________的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足_________,
a 叫做_________，
b 叫做________，复数集记作_______________________。

2. 复数的分类
复数),(R b a bi a ∈+是实数的充要条件是_________；是纯虚数的充要条件是__________.
3. 复数相等
两个复数)(2,1R d c b a di c z bi a z ∈+=+=、、、，若21z z =，则____________。

4. 共轭复数
如果两个复数实部________，而虚部___________，则这两个复数互为_____________，即复数bi a z +=的共轭复数为z =_________。

5. 复数的几何意义
(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x 轴叫做 ，y 轴叫做 ，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示 ；除原点以外，虚轴上的点都表示 。

(2)复数z ＝a ＋b i 、有序实数对(a ，b )、点Z (a ，b )是一一对应的．
(3)设OZ
→＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数a ＋b i 的 (或 )，记作|a ＋b i|，且|a ＋b i|＝ .
(4)复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．
6. 复数的代数运算
对于i 有i 4n ＝______，i 4n ＋1＝_____，i 4n ＋2＝_____，i 4n ＋3＝_____(n ∈Z)．
已知两个复数z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a 、b 、c 、d ∈R)，则
z1±z2＝______________，
z1·z2＝_______________ ，
z1z2＝a ＋bi
c ＋di ＝________________．
特别地，若z ＝a ＋bi ，则z·z ＝a 2＋b 2.
二． 例题讲解
已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1
＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)．求实数a 分别取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解答】 (1)当z 为实数时，则⎩
⎨⎧
a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，
∴⎩⎨⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.
故当a ＝6时，z 为实数．
(2)当z 为虚数时，则有⎩⎨⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，
∴⎩⎨⎧ a ≠－1且a ≠6，
a ≠±1，∴a ≠±1且a ≠6.
∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．
(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎨⎧ a 2－5a －6≠0，
a 2－7a ＋6a 2－1＝0. ∴⎩⎨⎧ a ≠－1且a ≠6，
a ＝6且a ≠±1.
∴不存在实数a 使z 为纯虚数．
若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．－1或1
计算：
(1)2－i 31－2i ； (2)－2
3＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2011
.
【解答】 (1)2－i 3
1－2i ＝2＋i 1－2i ＝(2＋i)(1＋2i)
(1－2i)(1＋2i)＝2i ＋i
1＋2＝i.
(2)－23＋i
1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
21－i 2011
＝i(1＋23i)
1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫
21－i 21005
·2
1－i
＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1005·21－i ＝i ＋i 1005·21－i
＝i ＋i·2
1－i ＝－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
22＋1i.
i 是虚数单位，若1＋7i
2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则乘积ab 的值是(
) A ．－15 B ．－3 C ．3 D ．15
复数综合练习题
一.选择题
1.湖南 复数
21i
=- ( ) A1+i B 1-i C-1+i D-1-i
2.全国23()1i i
-=+ （ ） A -3-4i B-3+4i C3-4i D3+4i
3.陕西 复数Z= 1i i
+在复平面内对应的点在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
4.辽宁 设a,b,c R ∈若121i i a bi
+=++则 （ ） A a= 32 b= 12 B a=3 b=1 C a=12 b=32 D a=1 b=3 5.江西 已知)()(1,x i i y x y +-=则分别为 （ ）
A x=-1 y=1
B x=-1 y=2
C x=1 y=1
D x=1 y=2
6.安徽 ()
21i i =-=已知则 （ ）
A i =
B i =
C i =
D i =
7.浙江 已知i 为虚数单位则
51i i
-=+ （ ） 23A i -- B 23i -+ C 23i - D 23i +
8.山东 已知2a i b i i
+=+ ，a,b R ∈ 则a+b= ( ) A-1 B1 C2 D3
9.北京在复平面内，复数6+5i 与 -2+3i 对应的点分别为A , B.若C 为AB 的中点，则点C 对应的复数为 （ ）
A 4+8i
B 8+2i
C 2+4i
D 4+i 10.四川，设i 是虚数单位，计算23i i i ++= （ ） A-1 B1 C-i Di
11.天津，复数31i i
+=- （ ） A1+2i B2+4i C-1-4i D2-i
12.复数a+bi 与c+di 的积是实数的充要条件是 （ ）
A ad+bc=0
B ac+bd=0
C ac=bd
D ad=bc
13.当213
m ﹤﹤时，复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
二．计算题
1.一直复数Z 与)(228Z i +-都是纯虚数，求Z
2.已知i 是虚数单位21mi m R i -∈+且
是纯虚数,求20112()2mi mi
-+
3. 设为共轭复数，且 ，求的值。

,a b 2()3412a b abi i +-=-,a b。