导数综合应用复习题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
导数综合应用复习题
一、知识回顾：
1．导数与函数单调性的关系
设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内：
（1）0)(>'x f ⇒)(x f ↗，)(x f ↗⇒()0f x '≥；
（2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ⇔)(x f ↗
（单调递减也类似的结论）
2．单调区间的求解过程：已知)(x f y =
（1）分析)(x f y =的定义域；
（2）求导数)(x f y '='；
（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间
3．函数极值的求解步骤：
（1）分析)(x f y =的定义域；
（2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=；
（3）判断出函数的单调性；
（4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值；
在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。
4．函数在区间内的最值的求解步骤：
利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。
二、例题解析：
例1、已知函数321()13
f x x ax ax =+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。
（2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减，
若存在，请求a 的取值范围。
解：先求导得2()2f x x ax a '=++
（1
）()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0∆≤ ∴2
440a a -≤，解得01a ≤≤ （2）要使得()f x 在[]1,1-上单调递减
且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立，
即()()11201120
f a a f a a '-=-+≤⎧⎪⎨'=++≤⎪⎩ 解得a ∈∅ ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。
例2、已知函数321()313
f x x x x =+-+， 2()2
g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。
（2）若对[]0,2x ∈，恒有()f x a ≥成立，求a 的取值范围。
（3）若对[]0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。
（4）若对[]10,2x ∈，[]20,2x ∈，恒有()12()f x g x ≥成立，
求a 的取值范围。
解：
（1）求导得：2()23f x x x '=+-
令()0f x '> 解得 31x x <->或，此时()f x 递增，
令()0f x '< 解得 31x -<<， 此时()f x 递减， ∴当3x =-时()f x 取极大值为(3)10f -=
当1x = 时()f x 取极小值为2(1)3f =- ∴方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数就是函数()y f x =
与y k =的图象的交点个数
∴当23
k <-或10k >时方程有1个实根； 当23
k =-或10k =时方程有2个实根； 当2103
k -<<时方程有3个实根。
（2）[]0,2x ∈时，要使得()f x a ≥恒成立，则只需min ()f x a ≥
由（1）可知[]0,2x ∈时()min 2()13
f x f ==- （3）[]0,2x ∈时，要使得()()f x
g x ≥恒成立，
即()()0f x g x -≥，设()()()h x f x g x =-，
则只需[]0,2x ∈时min ()0h x ≥
令()2450h x x x '=+-=得5x =-或1x =
∴比较 ()01h a =- 得min 5()3
h x a =-- ∴ 503
a --≥ 即 53a ≤- （4）要有对[]10,2x ∈，[]20,2x ∈，恒有()12()f x g x ≥成立，
则只需在[]0,2x ∈中()min max ()f x g x ≥
由（1）可知[]0,2x ∈时()min 2()13
f x f ==- 而2()2
g x x x a =-++的对称轴为1x =且开口向下，
当[]0,2x ∈时()()max 11g x g a ==+ ∴213
a -≥+即53
a ≤- 三、课堂练习：
已知函数21()ln 4
f x x x =-， 1．求()f x 在[]0,2上的最值。
2．若对[]0,2x ∀∈，()ln 2f x m ≤+恒成立，求m 的取值范围。
3．若对[]0,2x ∀∈，()f x x m ≤+恒成立，求m 的取值范围。
4．若()g x x m =+，对[]0,2x ∀∈，使得()()f x g x ≤恒成立，求的m 取值范围。
四、作业布置：
自主收集广东近五年的高考试题中涉及导数知识的三道题并解答。