2π 0
1 cos (ω t1 +θ)cos (ω t2 +θ) dθ 2π
，
a2 a2 cos ωτ = cos ω (t2 −t1) 2 2
又∵
CX (t1,t2 ) = RX (t1,t2 ) −mX (t1)MX (t2 )
CX (t,t) = E{[X(t) −mX (t)]2} = D [X(t)] a = RX (t,t) − M (t) = 2
2 σX (t) = D[X(t)] = E{[X(t) − mX (t)]2}
2 2 ψX (t),σX (t) 是关于t的函数，且为非负函数。 显然
定义随机过程的标准离差： 定义随机过程的标准离差
σX (t) = σ (t) = D X(t)] [
2 X
注：随机过程的标准差是表示了随机过程在t时刻偏 离均值的程度大小，如图2.2所示。
RXY (t1,t2 ) = m (t1)m (t2 ) Y Y
推论：若两个随机独立，则它们必不相关。反之， 两 个随机过程不相关，还不能断言它们的相互独立。（除 非是正态过程）。 注：自相关函数、互相关函数、协议差函数其结果是数， 而不再是一个过程。
习题二
1. 若随机过程X(t)为X(t)=At −∞< t <+∞ ，式中
2 X 2
当令 t1 = t2 = t
例2.3 给定随机过程 X(t) = Acosω t + Bsinω t，式中 ω是常数，A和B是两个独立的正态随机变量，而 E(A) = E(B) = 0, E(A2 ) = E(B2 ) =σ2 ，试求X(t)的均值 且 和自相关函数。 解 ∵
X(t) = Acosωt + Bsinωt ，且A，B独立
A为（0,1）上均匀分布的随机变量，求
E [X(t)], RX (t1,t2 ) 2. 给定一随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的相 关函数表示随机过程的自相关函数
Y(t) = X(t + a) − X(t)
3. 已知随机过程X(t)的均值mX ( t)和协方差函数 CX (t1,t2 ) , ϕ(t)是普通函数，试求随机过程 Y(t) = X(t) +ϕ(t) 是普通函数，试求随机过程 Y(t) = X(t) +ϕ(t) 的均值和协方差函数。 4. 设 X(t) = Acos at + Bsin at ，其中A，B是相互独 立且服从同一高斯（正态）分布 N(0,σ2) 的随 机变量，a为常数，试求X(t)的值与相关函数。
性质2.1 性质 证∵
CX (t1,t2 ) = RX (t1,t2 ) −mX (t1)mX (t2 )
CX (t1,t2 ) = E{[X(t1) −mX (t1)] [X(t2 ) −mX (t2 )]}
= E [X(t1)X(t2 ) − X(t1)mX (t2 )] −mX (t1)X(t2 ) + mX (t1)MX (t2 ) = E [X(t1)X(t2 )] − E[X(t1)]mX (t2 ) −mX (t1)E [X(t2 )]+ mX (t1)mX (t2 ) = RX (t1,t2 ) −2mX (t1)mX (t2 ) + mX (t1)mX (t2 ) = RX (t1,t2 ) −mX (t1)mX (t2 )
图2.2
§2.3 随机过程的自相关函数
随机过程的数学期望、方差描述了随机过程在各个 孤立时刻的重要数字特征值，但它们不能反映随机 过程的内在联系，这一点可以通过下图的两个随机 过程X(t)、Y(t)来说明。
对于这两个随机过程，从直观上讲，它们都具有大 致相同的数学期望和方差，但两个过程的内部结构 却有着非常明显的差别，其中X(t)随机时间变化缓 慢，这个过程在两个不同的时刻的状态之间有着较 强的相关性，而过程Y(t)的变化要急剧得多，其不 同时刻的状态之间的相关性，显然很弱。怎样去研 究和反映一个随机过程在不同时刻的内在联系呢？ 为此我们引入自相关函数（简称相关函数）来描述 随机过程在两个不同时刻状态之间的内在联系。
定义随机过程的自相关函数： 定义随机过程的自相关函数：
RX (t1, t2 ) = E[X(t1)X(t2 )]
=∫
+∞ −∞
∫
+∞ −∞
x1x2 fX (x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
这就是随机过程X(t)在两个不同时刻 t1,t2 的状态 X(t1), X(t2 ) 之间的混合原点矩，自相关函数就反映了 X(t)在两个不同时刻的状态之间的相关程度。若在 定义式中取 t = t1 = t2 ，则有
−1 0 0 1
∴ ∴
E(X ) = ∫
2
0
1
注意：随机变量的数字特征计算结果是一个确定的数。而 随机过程的数字特征不是数，是一个关于时间的确定函数。
1 D(X) = E(X ) −[E(X) ] = 6
2 2
1 x(1+ x)dx + ∫ x(1− x)dx = 0 6
1
§2.1 随机过程X(t)的数学期望
对于某一固定的时刻，随机过程X(t)就成为一个随 机变量，由此可给出随机过程均方值定义。定义随 机过程X(t)的均方值：
ψ (t) = E[X (t)] = ∫−∞ x2 fX (x;t)dx
2 X 2
+∞
X 式中，P (x;t)为 (t)的一维概率密度函数。 X 定义随机过程的方差（又可称二阶中心矩）： 定义随机过程的方差（又可称二阶中心矩）：
从上式分析可知，随机过程的协方差函数 CX (t1,t2) 与 其自相关函数 RX (t1,t2) 只差一个统计平均值，特别 当随机过程的任意时刻数学期望 E [X(t)] = 0 时，二者 完全相同。
§2.4 两个随机过程之间的互相关函数
随机过程的自相关函数描述了一个随机过程本身的 内在联系，而要描述两个过程在不同时刻 t1,t2 之 间的相互关系，我们引入了互相关函数的定义。 定义互相关函数：称 定义互相关函数
有时为了描述随机过程在任意两个不同时刻t1、t2间 内在联系，我们还可以用协方差函数中心化自相关函 数来定义。
定义协方差函数： 定义协方差函数：称
CX ( t1,t2 ) = E{[ X(t1) −mX (t1)] [ X(t2 ) −mX (t2 )]} =∫
+∞+∞ −∞−∞
∫ [ x −m (t )][ x −m (t )] f
怎么办呢？事实上，在许多实际应用中，当 随机过程的“函数关系”不好确定时，我们 往往可以退而求其次，像引入随机变量的数 字特征一样，引入随机过程的数字特征。 用这些数字特征我们认为基本上能刻划随机 过程变化的重要统计规律，而且用随机过程 的X(t)的数字特征，又便于运算和实际测量。 显然，对于随机变量X，它的的数字特征我们 主要介绍了数学期望、方差、相关函数来描 述随机过程X(t)的主要统计特性。
CXY (t1,t2 ) = E{[X(t1) −mX (t1) ][ຫໍສະໝຸດ (t2 ) −m (t2 )]} Y
=∫
+∞ −∞
∫
+∞ −∞
[x −mX (t1)][ y −m (t2 )] Y
fXY (x, y,t1,t2 )dxdy
为两个随机过程的互协方差函数。 为两个随机过程的互协方差函数。 性质2.2 性质
0 其 它
, 解： 当取定 t ∈T时 X(t) = acos(ωt +θ)是一个随机变 量，且该随机变量X(t)显然是随机变量 θ 的函数。 由求随机变量函数的数学期望定理，
E( y) = E[g(X)] = ∫
+∞ −∞
g(x) f (x)dx
有
E[X(t)] = mX (t) = ∫
=∫
2π 0
1 X 1 2 X 2
X
(x1, x2;t1, t2 )dX1 dX2
为随机过程X(t)的协方差函数。 由定义可知，当取 t1 = t2 = t
2 CX (t1, t2 ) = E{[X(t) −mX (t)]2} = D X(t)] =σX (t) [
∴ 此时的协方差就是方差。
C 注意，实际上自相关函数 RX (t1,t2)与 X (t1,t2) 所描述的 特性是几乎一致的。
RXY (t1,t2 ) = E [X(t1) Y(t2 )] =∫
+∞ −∞ +∞ −∞
∫
xyfXY (x, y ;t1,t2 ) dxdy
为两个随机过程的互相关函数。式中： P (x, y ; t1,t2) XY Y 为在两个不同时刻随机变量 X(t1) 、(t2 ) 的联合概率 密度函数。
定义互协方差函数： 定义互协方差函数：称
第二章 随机过程的数字特征
从上面的分析可知，对于一个随机过程X(t)，要 研究它的变化规律，常常需要建立起它的“函数 关系”，也就是建立随机过程的多维分布。因为 随机过程X(t)的多维分布可以比较全面地描述随 机过程的整个变化规律的统计特性，但要建立过 程的分布函数一般比较复杂，使用也不便，甚至 不可能。
设随机变量X具有概率密度 例2.1 设随机变量 具有概率密度
f (x) ={
解：∵
1+x, −1 x≤ ≤ 0 1−x, 0≤ ≤ x 1
+∞ −∞
求
E(x), D(x)
E(X) = ∫
xf (x)dx
D(X) = E(X 2 ) −[E(X)]2
E(X) = ∫ x(1+ x)dx + ∫ x(1− x) = 0
RX (t1, t2 ) = RX (t,t) = E[Xt)X(t)] = E[X 2 (t)] 此时自相关函数即为均方值。 式中，fX (x1, x2;t1,t2) 为过程X(t)的二维概率密度函数。