随机过程的数字特征
<概率统计习题解>, 15元一本地点: 主南311
第三节随机过程的数字特征
随机变量数字特征复习:
Y X ,为随机变量, 联合概率密度),,(y x f 边沿概率密度)
(),(y f x f Y X 数学期望(均值)
⎰⎰⎰+∞∞-+∞
∞-+∞∞-==dxdy
y x xf dx x xf EX X ),()(=)],([Y X g E ⎰⎰+∞∞-+∞
∞-dxdy
y x f y x g ),(),(
二阶原点矩
⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-==dxdy
y x f x dx x f x EX X ),()(2
22方差dx
x f EX x EX X E DX X )()()(22⎰+∞
∞--=-=2
2)(EX EX -=二阶原点混合矩⎰⎰+∞∞-+∞
∞-=dxdy
y x xyf XY E ),()(
随机过程的数字特征
是参数集,T ),(+∞-∞⊂T 随机变量族}),({T t t X ∈是一个随机过程,(11.1)
（1）过程在的状态的数学期望t )(t X 对于任意给定,t T ∈的状态)(t X ，具有一维概率密度)
;(11t x f 在t 时刻dx t x xf t X E t X );()]([)(1⎰+∞
∞-==μ
对于一切,t T ∈称为随机过程)(t X 的均值函数,简称均值;
是的函数,
t ()X t μ（2）过程在
的状态的二阶原点矩t )(t X dx t x f x t X E t X );()]([)(1222
⎰+∞∞-==ψ(11.2)
称为随机过程的均方值函数,简称均方值;
)(t X
（3）二阶中心矩（方差）
2
2)]()([)]([)(t EX t X E t X D t X
-==σ2
)]()([t t X E X μ-=)()]([2
2t t X E X μ-=(11.3)
称为随机过程的方差函数,简称方差,)(t X 均方差;
)(t X σ
任选, 状态是两个随机变量,T t t ∈21,)(),(21t X t X 具有二维概率密度)
,;,(21212t t x x f （4）随机过程的自相关函数,简称相关函数,
)(t X )]
()([),(2121t X t X E t t R X ⋅=212121221),;,(dx dx t t x x f x x ⎰⎰+∞∞-+∞
∞-=(11.4)
1212(,)R t t t t 自相关函数关于和对称。

（5）随机过程的自协方差函数,)(t X 121122(,)
{[()()][()()]}X C t t E X t EX t X t EX t =-⋅-)]}
()([)]()({[2211t t X t t X E X X μμ-⋅-=(11.5)
简称协方差函数,1212(,)X C t t t t 协方差函数关于和对称。

均值、均方值、方差和均方差是刻划随机过程在各个状态的统计特性的,而自相关函数和自协方差函数是刻划随机过程的任何两个不同状态的统计特性的.这五个数字特征之间,具有如下关系.
22
()[()][()()](,)
X
X t E X t E X t X t R t t ψ==⋅=121122(,){[()()][()()]}
X C t t E X t EX t X t EX t =-⋅-)]}()([)]()({[2211t t X t t X E X X μμ-⋅-=)]
(),(cov[21t X t X =)
()()]()([2121t EX t EX t X t X E ⋅-⋅=)
()(),(2121t t t t R X X X μμ⋅-=
2
2)]
()([)]([)(t EX t X E t X D t X
-==σ2
)]
()([t t X E X μ-=2((,),)()
X
X X R t t C t t t μ==-)()]([22
t t X E X
μ-=)
()(22t t X
X
μ-ψ=通过以下例子,就可以看出随机过程数字特征的实际意义.
例1
设随机相位正弦波)cos()(Θ+=t a t X ω+∞
<<∞-t 式中是常数,
ω,a Θ是在区间)
2,0(π上服从均匀分布的随机变量.
求:
的均值函数、方差函数、自相关函数和自协方差函数. )(t X 解:依题意的概率密度为
Θ
例2: 设随机过程Yt
X t Z +=)(+∞
<<∞-t 式中服从, 服从,
X )
,(21
σa N Y ),(22
σb N 且与的相关系数,
X Y ρρ=XY 求:
的自相关函数.)(t Z 121222
1212(,)[()()]()()()()
=++=+++R t t E X Yt X Yt E X t t E Y t t E XY 解:
设随机过程的数学期望为协方差函数而是一个函数。

试求随机过程 的数学期望和协方差函数。

12{(),-}(),(,),()()()()
x X X t t m t C t t t Y t X t t ϕϕ∞<<+∞=+例4[()][()()]()
X E Y t E X t t m t ϕϕ=+=+=-==1212121212cov(,)[()()][()][()]
cov (,)(,)
X X t t E Y t Y t E Y t E Y t t t C t t 解
对于两个随机过程和,}),({1T t t X ∈}),({2T t t Y ∈和)(1t X 过程在的状态.
)(t Y 2t )(2t Y 和的二阶原点混合矩
)
(1t X )(2t Y )]
()([),(2121t Y t X E t t R XY =(11.7)
称为随机过程和的互相关函数;
)(t X )(t Y 任选1122,,
t T t T ∈∈)(t X 1t 过程
在
的状态
两个随机过程的联合分布和数字特征
和的二阶中心混合矩
)(1t X )(2t Y )]}
()()][()({[),(221121t t Y t t X E t t C Y X XY μμ--=(11.8)
称为随机过程和的互协方差函数;
)(t X )(t Y 并且有
12(,)X Y C t t =1212(,)()()
XY X Y R t t t t μμ=-1212[()()][()][()]
XY X Y E X t Y t E X t E Y t -问题：互相关函数，互协方差函数是否关于t 1, t 2对称？
定义: 如果对任意,都有
2211,T t T t ∈∈0),(21=t t C XY 亦即
)]
([)]([)]()([2121t Y E t X E t Y t X E ⋅=则称随机过程和是不相关的.)(t X )(t Y 显然,相互独立的两个随机过程必不相关.例5: 设某接收机收到周期信号电压)(t S 和噪声电压
)
(t N [()]0 E N t =，
, 且设
的均值,自相关函数与输入电压
)()()(t N t S t V +=的数字特征的关系., 互不相关.()N t 且)(t S 与()(()())()
V S u t E S t N t u t =+=121122(,)[(()())(()())] =++V R t t E S t N t S t N t 解
试导出输出电压
12121212[()()][()()]
[()()][()()]
=+++E S t S t E N t S t E S t N t E N t N t
1212121212()()[()()][()()]0.(,)(,)(,)
V N S S t N t E N t S t E S t N t R t t R t t R t t ===+由于与互不相关
所以
作业
•习题5，7，8，9，11
31。