高一上学期期中数学卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={1，2，4}，B ={x |x 2-4x +m =0}．若A ∩B ={1}，则B =（ ）A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5} 2. 设函数f （x ）={x 2+1，x ≤12x，x ＞1，则f （f （3））=（ ）A. 15B. 3C. 23D. 1393. 如果幂函数y =（m 2-3m +3）x m 2−m−2的图象不过原点，则m 取值是（ ） A. −1≤m ≤2 B. m =1或m =2 C. m =2 D. m =1 4. 设a =0.80.7，b =0.80.9，c =1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a >b >cB. b >c >aC. c >a >bD. c >b >a5. 用二分法求函数f （x ）=ln x -2x 的零点时，初始的区间大致可选在（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (e,+∞)6. 函数f （x ）=√2−2x +1log 3x 的定义域为（ ）A. {x|x <1}B. {x|0<x <1}C. {x|0<x ≤1}D. {x|x >1}7. 已知函数f （x ）=a x -2，g （x ）=log a |x |（其中a ＞0且a ≠1），若f （4）g （4）＜0，则f （x ），g （x ）在同一坐标系内的大致图象是（ ）A.B.C.D.8. 方程|log a x |=（1a ）x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. (1,+∞)B. (1,10)C. (0,1)D. (10,+∞)9. 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f （2）=0，则不等式3f(−x)−2f(x)5x≤0的解集为（ ）A. (−∞,−2]∪(0，2]B. [−2,0]∪[2,+∞)C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. [−2,0)∪(0,2]10. 已知f （x ）={(a −3)x +4a,x ≥0a x ,x<0，对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则a 的取值是（ ）A. (0,3)B. (1,3]C. (0,14]D. (−∞,3)11. 定义域为D 的函数f （x ）同时满足条件①常数a ，b 满足a ＜b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f （x ）在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ]（k ∈N +），那么我们把f （x ）叫做[a ，b ]上的“k 级矩阵”函数，函数f （x ）=x 3是[a ，b ]上的“1级矩阵”函数，则满足条件的常数对（a ，b ）共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 12. 已知定义在D =[-4，4]上的函数f （x ）={|x 2+5x +4|，−4≤x ≤02|x −2|，0＜x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），则|x 1-x 2|最大与最小值之和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式|x -3|+|x -5|≥4的解集为______．14. 若函数y =x 2-4x -2的定义域为[0，m ]，值域为[-6，-2]，则m 的取值范围是______． 15. 已知偶函数f （x ）在区间（0，+∞）单调递增，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 取值范围是______．16. 已知函数f （x ）={x 2−2mx +4m,x >m |x|,x≤m，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. （1）已知x +1x =3，求x 2+1x 2的值；（2）已知a ，b ，c 为正实数，且a x =b y =c x ，1x +1y +1z =0，求abc 的值．18. 已知集合A ={x |x 2-4x -5≥0}，集合B ={x |2a ≤x ≤a +2}．（1）若a =-1，求A ∩B 和（∁R A ）∪B ； （2）若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．19. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y与t 的函数关系式为y =（116）t -a （a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．20. 已知f （x ）=x+ax 2+bx+1是定义在[-1，1]上的奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）判断并证明f （x ）的单调性； （3）解不等式：f （x ）-f （1-x ）＜0．21. 已知函数f （x ）=ax 2+bx +1（a ，b 为常数），x ∈R ．F （x ）={−f(x)(x <0)f(x)(x>0)． （1）若f （-1）=0，且函数f （x ）的值域为[0，+∞），求F （x ）的表达式； （2）在（1）的条件下，当x ∈[-2，2]时，g （x ）=f （x ）-kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m •n ＜0，m +n ＞0，a ＞0，且f （x ）为偶函数，判断F （m ）+F （n ）能否大于零？22. 定义在D 上的函数f （x ），如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界．已知函数f （x ）=1+a •（12）x +（14）x ；g （x ）=1−m⋅x 21+m⋅x 2（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）值域并说明函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数？（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知m＞-1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1-4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2-4x+3=0}={1，3}．故选：C．由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：函数f（x）=，则f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故选：D．由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，求出f（3）=，是解题的关键，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：幂函数的图象不过原点，所以解得m=1或2，符合题意．故选：B．幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．本题主要考查了幂函数的图象及其特征，考查计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由于函数y=0.8x在R上是减函数，1＞0.9＞0.7＞0，∴0.80=1＞0.80.7＞0.80.9＞0.81，即1＞a＞b．由于函数y=1.2x在R上是增函数，0.8＞0，∴1.20.8＞1.20＞1，即c＞1．综上可得，c＞a＞b，故选：C．函数y=0.8x在R上是减函数可得1＞a＞b，再根据函数y=1.2x在R上是增函数，可得c＞1，由此可得a，b，c的大小关系．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数f（x）=lnx-在区间（2，3）上连续且单调递增，f（2）=ln2-1＜0，而f（3）=ln3-＞1-＞0，f（2）f（3）＜0，故用二分法求函数f（x）=lnx-的零点时，初始的区间大致可选在（2，3）上．故选：B．函数f（x）=lnx-在区间（2，3）上连续且单调递增，f（2）＜0，而f（3）＞1-＞0，f（2）f（3）＜0，由此可得函数的零点所在的初始区间．本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：要使函数有意义，则，即，得0＜x＜1，即函数的定义域为{x|0＜x＜1}，故选：B．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．7.【答案】B【解析】解：∵f（4）=a2＞0，∴由f（4）g（4）＜0，得g（4）＜0，即g（x）=log a4＜0，得0＜a＜1，即f（x）是减函数，排除A，C函数g（x）是偶函数，当x＞0时，g（x）是减函数，排除D，则对应的图象为B，故选：B．结合指数函数的性质，得到f（4）＞0，g（4）＜0，得到0＜a＜1，结合指数函数和对数的单调性和奇偶性进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数，对数函数的性质是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：函数y=|log a x|与函数y=（）x的图象如下：由图象可知：a＞1．故选：A．根据两个函数y=（）x与y=|lpg a x|的图象可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．9.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0∴函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负当x＞0时，不等式等价于3f（-x）-2f（x）≤0又奇函数f（x），所以有f（x）≥0所以有0＜x≤2同理当x＜0时，可解得-2≤x＜0综上，不等式的解集为[-2，0）∪（0，2]故选：D．由题设条件，可得出函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负，再利用函数奇函数的性质对不等式进行化简，解出不等式的解集，选正确选项本题考查函数单调性与奇偶性的综合，解题的关键是综合利用函数的奇偶性与单调性对函数值的符号作出正确判断，对不等式的分类化简也很重要．本题考查了转化的思想及推理判断的能力，有一定的综合性，是高考考查的重点．10.【答案】C【解析】解：∵f（x）=，对任意x1≠x2都有＜0成立，∴f（x）=为R上的减函数，∴，解得0＜a≤．故选：C．由题意可知，f（x）=为减函数，从而可得不等式组，由此可求得a的取值范围．本题考查函数单调性的性质，判断出f（x）=为R上的减函数是关键，得到4a≤1是难点，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由题意，函数f（x）=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]∵函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数∴，∴满足条件的常数对（a，b）为（-1，0），（-1，1），（0，1）故选：C．函数f（x）=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，利用函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数，即可求得满足条件的常数对．本题考查了新定义型函数的理解和运用能力，函数单调性的应用，转化化归的思想方法12.【答案】B【解析】解：画函数f（x）的图象如图：从图象上看，要满足对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立：∵f （-4）=0，f （4）=4，∴任意x ∈D ，f （-4）≤f （x ）≤f （4），故满足|x 1-x 2|最大值为8， 而对于任意x ∈D ，f （x ）≤f （x ）≤f （x ），故满足|x 1-x 2|最小值为0， 则|x 1-x 2|最大与最小值之和为8+0=8， 故选：B ．先画函数f （x ）的图象如图，从图象上看，求适合使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立的|x 1-x 2|最大值与最小值．本题主要考查函数求最值的方法，特别是分段函数的最值求法，对于较复杂的函数可以考虑画函数的图象，结合图形解题． 13.【答案】{x |x ≤2或x ≥6}【解析】解：|x-3|+|x-5|≥4⇔或或，解得x≤2或x≥6， 故答案为{x|x≤2或x≥6}分三段去绝对值解不等式组，在相并可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． 14.【答案】[2，4]【解析】解：∵函数y=x 2-4x-2=（x-2）2-6 的定义域为[0，m]，值域为[-6，-2]， f （0）=-2，f （2）=-6，可得2∈[0，m]，且 2≤m≤2+2=4， 故m 的范围为[2，4]， 故答案为：[2，4]．由题意可得2∈[0，m]，且 2≤m≤2+2=4，由此求得m 的取值范围． 本题主要考查二次函数的性质的应用，属于基础题． 15.【答案】（13，23）【解析】解：根据题意，偶函数f （x ）在区间（0，+∞）单调递增， 则⇒|2x-1|＜，解可得：＜x＜，即x的取值范围为（，）；故答案为：（，）．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得|2x-1|＜，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性得到关于x的不等式．16.【答案】（3，+∞）【解析】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2-2mx+4m=（x-m）2+4m-m2＞4m-m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m-m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m-m2＜m（m＞0），解之即可．本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m-m2＜m是难点，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵x +1x =3，∴x 2+1x 2=(x +1x )2−2=7（2）∵a ，b ，c 为正实数，设a x =b y =c x =k ， ∴x =log a k ，y =log b k ，z =log c k ， ∴1x +1y +1z =log k a +log k b +log k c =log k abc =0， ∴abc =1 【解析】（1）由x 2+=代入即可求解（2）由a x =b y =c x =k ，利用指数与对数的互化及对数的换底公式可求本题主要考查了指数的运算及指数与对数的相互转化，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题18.【答案】解：（1）A ={x |x ≤-1或x ≥5}，B ={x |-2≤x ≤1}…（2分）∴A ∩B ={x |-2≤x ≤-1}…（4分） ∁R A ={x |-1＜x ＜5}…（5分）∴（∁R A ）∪B ={x |-2≤x ＜5}…（7分） （2）∵A ∩B =B ，∴B ⊆A …（8分）①若B =φ，则2a ＞a +2，∴a ＞2…（10分）②若B ≠φ，则{a +2≤−1a≤2或{2a ≥5a≤2，∴a ≤-3…（13分） 综上a ＞2，或a ≤-3…（14分） 【解析】（1）由此能求出集合A={x|x 2-4x-5≥0}={x|x≤-1或x≥5}，从而能求出（∁R A ）∪B ． （2）由A∩B=B ，得B ⊆A ，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查交集和并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．19.【答案】解：（1）由于图中直线的斜率为k =10.1=10，所以图象中线段的方程为y =10t （0≤t ≤0.1），又点（0.1，1）在曲线y =(116)t−a 上，所以1=(116)0.1−a ，所以a =0.1，因此含药量y （毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为y ={10t (0≤t ≤0.1)(116)t−0.1(t ＞0.1)（5分）（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以，只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即(116)t−0.1＜0.25，解得t ＞0.6所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室．（10分） 【解析】（1）利用函数图象，借助于待定系数法，求出函数解析法，进而发现函数性质； （2）根据函数解析式，挖掘其性质解决实际问题．根据题意，利用函数的图象，求得分段函数的解析式，利用解析式进一步解决具体实际问题．20.【答案】解：（1）∵f （x ）=x+ax 2+bx+1是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f （0）=0，即0+a0+0+1=0，∴a =0． 又∵f （-1）=-f （1），∴−12−b =-12+b ， ∴b =0， ∴f （x ）=xx 2+1．（2）函数f （x ）在[-1，1]上为增函数． 证明如下，任取-1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1-x 2＜0，-1＜x 1x 2＜1， ∴1-x 1x 2＞0．f （x 1）-f （x 2）=x 1x 12+1-x 2x 22+1=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)＜0，∴f （x 1）＜f （x 2），∴f （x ）为[-1，1]上的增函数． （3）∵f （x ）-f （1-x ）＜0， 即f （x ）＜f （1-x ）， ∴{−1≤x ≤1−1≤1−x ≤1x ＜1−x 解得0≤x ≤12， ∴解集为：{x |0≤x ＜12} 【解析】（1）根据奇函数的性质f （-x ）=-f （x ），列出方程求出a 、b 的值，代入解析式； （2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论．（3）根据函数的单调性即可得到关于x 的不等式组，解得即可．本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论． 21.【答案】解：（1）∵f （-1）=0，∴a -b +1=0①，又x ∈R ，f （x ）的值域为[0，+∞）， ∴{△=b 2−4a =0a>0②，由①②消掉a 得，b 2-4（b -1）=0， ∴b =2，a =1，∴f （x ）=x 2+2x +1=（x +1）2．∴F （x ）={−(x +1)2,(x <0)(x+1)2,(x>0)；（2）由（1）知，g （x ）=f （x ）-kx =x 2+2x +1-kx =x 2+（2-k ）x +1=（x +2−k 2）2+1-(2−k)24，当2−k 2≥2或2−k 2≤-2时，即k ≥6或k ≤-2时，g （x ）是单调函数． （3）∵f （x ）是偶函数，∴f （x ）=ax 2+1，F （x ）={−ax 2−1,(x <0)ax 2+1,(x>0)，∵m •n ＜0，设m ＞n ，则n ＜0． 又m +n ＞0， ∴m ＞-n ＞0， ∴|m |＞|-n |，F （m ）+F （n ）=f （m ）-f （n ）=（am 2+1）-an 2-1=a （m 2-n 2）＞0， ∴F （m ）+F （n ）能大于零 【解析】（1）由f （-1）=0得a-b+1=0①，由x ∈R ，f （x ）的值域为[0，+∞）得：②，联立①②可解a ，b ；（2）由（1）表示出g （x ），根据抛物线对称轴与区间[-2，2]位置可得不等式，解出即可；（3）由f （x ）为偶函数可得b=0，从而可表示出F （x ），由mn ＜0，不妨设m ＞0，n ＜0，则m ＞-n ＞0，即|m|＞|-n|，由此刻判断F （m ）+F （n ）的符号．本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合应用，考查二次函数的有关性质，考查学生分析解决问题的能力．22.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）=1+a •（12）x +（14）x ，∴当a =1时，f(x)=1+(12)x +(14)x ， ∵y =(14)x 和y =(12)x 在R 上是单调递减函数，∴f （x ）在R 上是单调递减函数，∴f （x ）在（-∞，0）上是单调递减函数， ∴f （x ）＞f （0）=3，∴f （x ）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）， ∴|f （x ）|＞3，故不存在常数M ＞0，使|f （x ）|≤M 成立， ∴函数f （x ）在（-∞，0）上不是有界函数；（Ⅱ）∵函数f （x ）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数， ∴由题意知，|f （x ）|≤3在[0，+∞）上恒成立， ∴-3≤f （x ）≤3在[1，+∞）上恒成立，∴−4−(14)x ≤a ⋅(12)x ≤2−(14)x 在[0，+∞）上恒成立， ∴−4⋅2x −(12)x ≤a ≤2⋅2x −(12)x 在[0，+∞）上恒成立， ∴[−4⋅2x −(12)x ]max ≤a ≤[2⋅2x −(12)x ]min ， 令t =2x ，由x ∈[0，+∞），可得t ≥1， ∴ℎ(t)=−4t −1t ，p(t)=2t −1t ，下面判断函数h （t ）和p （t ）的单调性：设1≤t 1＜t 2，则t 2-t 1＞0，4t 1t 2-1＞0，t 1t 2＞0，2t 1t 2+1＞0， ∴ℎ(t 1)−ℎ(t 2)=(t 2−t 1)(4t 1t 2−1)t 1t 2＞0，p(t 1)−p(t 2)=(t 1−t 2)(2t 1t 2+1)t 1t 2＜0，∴h （t 1）＞h （t 2），p （t 1）＜p （t 2），∴h （t ）在[1，+∞）上递减，p （t ）在[1，+∞）上递增 ∴h （t ）在[1，+∞）上的最大值为h （1）=-5， p （t ）在[1，+∞）上的最小值为p （1）=1， ∴-5≤a ≤1，∴实数a 的取值范围为[-5，1]； （Ⅲ）g （x ）=1−m⋅x 21+m⋅x2=-1+2m⋅x +1， ①当m ＞0时，x ∈[0，1]，∵y =m •x 2+1在[0，1]上单调递增， ∴g （x ）在[0，1]上递减，≤g(x)≤1，∴g（1）≤g（x）≤g（0），即1−m1+m|＜1，∵|1−m1+m∴|g（x）|＜1，∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，∴T（m）≥1；②当m=0时，g（x）=1，|g（x）|=1，∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，∴T（m）≥1；③当-1＜m＜0时，x∈[0，1]，∵y=m•x2+1在[0，1]上单调递减，∴g（x）在[0，1]上递增，∴g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤g(x)≤1−m，1+m∴|g(x)|＜1−m，1+m∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，∴T(m)≥1−m．1+m综合①②③，当m≥0时，T（m）的取值范围是[1，+∞），，+∞)．当-1＜m＜0时，T（m）的取值范围是[1−m1+m【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）可得，利用指数函数的单调性判断出f（x）在（-∞，0）上是单调递减函数，即可求得f（x）＞f（0），从而得到f（x）的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出f（x）不是有界函数；（Ⅱ）根据有界函数的定义，可得|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，利用参变量分离转化为在[0，+∞）上恒成立，令t=2x，则，，问题转化为求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函数单调性的定义，分别判断出函数h（t）和p（t）的单调性，即可求得最值，从容求得a的取值范围．（Ⅲ）将函数g（x）=变形为g（x）=-1+，对参数m进行分类讨论，当m＞0时，确定函数g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的取值范围，从而确定|g（x）|的范围，利用有界函数的定义，转化为|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，利用所求得的g（x）的范围，即可求得T（m）的取值范围，同理研究当m=0和当-1＜m＜0时的情况，综上所求范围，即可求得T（m）的取值范围．本题考查了函数的恒成立问题，函数的最值的应用．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成求最值问题．本题涉及了函数的求最值和值域问题，解题中主要运用了函数的单调性求解最值和值域．对于本题中的新定义问题，要严格按照题中所给定义分析，将陌生的问题转化为所熟悉的问题，本题转化为恒成立问题．属于难题．高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. {1，2}_____{∅，1，2，{1，2}}横线上可以填入的符号有（ ）A. 只有∈B. 只有⊆C. ⊆与∈都可以D. ⊆与∈都不可以2. 若函数f （x ）的定义域为[-1，4]，则函数f （2x -1）的定义域为（ ）A. [0,52] B. [−7,3] C. [−12,2] D. [−1,4] 3. 设a =log 3π，b =log 2√3，c =log 3√2，则（ ）A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a4. 设a ，b ∈R ，集合{1，a +b ，a }={0，ba ，b }，则b -a =（ ）A. 1B. −1C. 2D. −25. 如图，设a ，b ，c ，d ＞0，且不等于1，y =a x ，y =b x ，y =c x ，y =d x 在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小顺序（ ）A. a <b <c <dB. a <b <d <cC. b <a <d <cD. b <a <c <d6. 设函数f （x ）=4x 3+x -8，用二分法求方程4x 3+x -8=0的解，则其解在区间（ ）A. (1,1.5)B. (1.5,2)C. (2,2.5)D. (2.5,3)7. 若函数f （x ）=x−4mx 2+4mx+3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A. (−∞,34)B. [0,34)C. (34,+∞)D. (−34,34)8. 2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A. f(x)=ax 2+bx +cB. f(x)=ae x +bC. f(x)=e ax+bD. f(x)=alnx +b9. 函数f （x ）=x a 满足f （2）=4，那么函数g （x ）=|log a （x +1）|的图象大致为（ ）A.B.C.D.10. 若f （x ）符合：对定义域内的任意的x 1，x 2，都有f （x 1）•f （x 2）=f （x 1+x 2），且当x ＞1时，f （x ）＜1，则称f （x ）为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A. f(x)=2xB. f(x)=(12)xC. f(x)=log 12x D. f(x)=log 2x11. f （x ）=2x -log12x ，f （x ）的零点为a ，g （x ）=（12）x -log 2x ，g （x ）的零点为b ，h（x ）=（12）x -log12x ，h （x ）的零点为c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c12. f （x ）=|-x 2+2|x ||的图象与g （x ）=kx +12的图象有6个交点，则k 的取值范围是（ ）A. (−14,14)B. (−12,12)C. (−35,35)D. [−35,35]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f （log 2x ）=x 2，则f （x ）=______．14. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 2-2x +3，则当x ＜0时，函数f （x ）的解析式是______．15. 函数f （x ）=x a 2−2a−3（常数a ∈Z ）为偶函数且在（0，+∞）是减函数，则f （2）=______． 16. 已知f （x ）={−(x −1)2+1，x ＜2(12)x−3，x ≥2，f （x ）在区间[m ，m +1]上的最大值记为g （m ），m ∈R ，则g （m ）的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 设a =2×100023+6423+lg4+2lg5．（1）化简上式，求a 的值；（2）设集合A ={x |x ＞a }，全集为R ，B =∁R A ∩N ，求集合B 中的元素个数．18.已知函数f（x）=log21+x．1−x（1）判断f（x）奇偶性并证明你的结论；（2）解方程f（x）＜-1．19.幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即x n．（1）使用五点作图法，画出f（x）=x23的图象，并注明定义域；（2）求函数h（x）=x43-2x23-3的值域．20.已知函数f（x）=x+a为奇函数．x2+1（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明．21.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一段时间t后的温度是T，则有T-Tα=（T0-Tα）•（1）tℎ，其中Tα表示环境温度，2h称为半衰期且h=10．现有一杯用89℃热水冲的速溶咖啡，放置在25℃的房间中20分钟，求此时咖啡的温度是多少度？如果要降温到35℃，共需要多长时间？（lg2≈0.301，结果精确到0.1）22.设二次函数f（x）=x2+bx+c，b，c∈R．（1）若f（x）满足：对任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），求c的取值范围；（2）若f（x）在（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求c2+（1+b）c的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：{1，2}⊆{∅，1，2，{1，2}}，或{1，2}∈{∅，1，2，{1，2}}．故选：C．利用元素与集合的关系、集合与集合的关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵f（x）的定义域为[-1，4]；∴f（2x-1）满足-1≤2x-1≤4；解得0≤x≤；∴f（2x-1）的定义域为．故选：A．根据f（x）的定义域即可得出f（2x-1）需满足：-1≤2x-1≤4，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域的方法．3.【答案】A【解析】解：∵∵，故选：A．利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．4.【答案】C【解析】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=-b，∴，b=1；故a=-1，b=1，则b-a=2，故选：C．根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．5.【答案】C【解析】解：作辅助直线x=1，当x=1时，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x的函数值正好是底数a、b、c、d直线x=1与y=a x，y=b x，y=c x，y=d x交点的纵坐标就是a、b、c、d观察图形即可判定大小：b＜a＜d＜c故选：C．要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=a x，y=b x，y=c x，y=d x交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．本题主要考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵f（1）=-3＜0，f（1.5）=7＞0，∴根据零点存在定理，可得方程的根落在区间（1，1.5）内．故选：A．根据二分法求区间根的方法只须找到满足f（a）•f（b）＜0即可．本题主要考查利用二分法求方程的近似解，函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：依题意，函数的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立．①当m=0时，得3≠0，故m=0适合②当m≠0时，△=16m2-12m＜0，得0＜m＜，综上可知0≤m故选：B．由题意知，函数的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立．①分m=0；②m≠0，△＜0，求出m的范围即可．考查学生理解函数恒成立时所取的条件，以及会求函数的定义域，要注意分类讨论思想的应用．8.【答案】D【解析】解：由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．对于A．f（x）=ax2+bx+c，取a＞0，＜0，可得满足条件的函数；对于B．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于C．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于D．a＞0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a＜0时，为单调递减函数，不符合图象的特征．故选：D．由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．根据函数的单调性与图象的特征即可判断出结论．本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当-1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选：C．利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当-1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．10.【答案】B【解析】解：对定义域内的任意的x1，x2，都有f（x1）•f（x2）=f（x1+x2），说明函数是指数函数，排除选项C，D；又因为：x＞1时，f（x）＜1，所以排除选项A；故选：B．利用好函数的定义，判断选项的正误即可．本题考查好函数的定义的应用，指数函数的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】B【解析】解：在坐标系中画出：y=2x，y=，y=log2x，y=的图象．如图：∵f（x）=2x-log x，的函数的零点a在（0，1）且靠近0，g（x）=（）x-log2x函数的零点b在（1，2）之间，h（x）=（）x-log x，函数的零点c在（0，1）之间且靠近1，∴a、b、c的大小关系为a＜c＜b．故选：B．根据三个函数等于0，得到两个函数的交点的位置得到三个函数的零点的位置，根据零点所在的区间和区间的位置，得到大小关系．本题考查函数的零点，本题解题的关键是把函数的零点的问题转化为两个函数的交点的问题，注意基本初等函数的图形的应用．12.【答案】A【解析】解：f（x）=|-x2+2|x||是偶函数，g（x）=kx+恒过（0，），在平面直角坐标系值画出函数的图象，如图：可知直线经过（2，0）与（-2，0）时，两个函数的图象有5个交点，所以，k的取值范围是：（-，）．故选：A．画出两个函数的图象，利用数形结合转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力．13.【答案】4x【解析】解：f（log2x）=x2，令log2x=t∈R，解得x=2t则f（t）=（2t）2=22t=4t．把t换成x，可得f（x）=4x．故答案为：4x．f（log2x）=x2，令log2x=t∈R，解得x=2t，代入化简即可得出．本题考查了换元法求函数解析式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】f（x）=-x2-2x-3【解析】解：设x＜0，则-x＞0，又因为函数f（x）是奇函数，所以f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-2（-x）+3]=-x2-2x-3．故答案为f（x）=-x2-2x-3．设x＜0，则-x＞0，然后将-x代入x＞0时的解析式，结合奇函数的性质易求得此时函数的解析式．本题考查了函数的奇偶性在求解析式时的作用，主要是体现了转化思想的应用．15.【答案】116【解析】解：∵函数f（x）=（常数a∈Z）在（0，+∞）是减函数，∴a2-2a-3＜0，解得-1＜a＜3，∵a∈Z，∴a=0，1，2，若a=0，则f（x）=x-3，为奇函数，不满足条件．若a=1，则f（x）=x-4，为偶函数，满足条件．若a=2，则f（x）=x-3，为奇函数，不满足条件．故a=1，f（x）=x-4=，则f（2）=，故答案为：根据幂函数的定义求出a的值，即可．本题主要考查函数值的计算，根据幂函数的定义和性质求出a是解决本题的关键．16.【答案】2【解析】解：作出函数f（x）的图象如图：当x＜2时，f（x）≤1，当x≥2时，0＜f（x）≤2，即函数f（x）的最大值为2，∵f（x）在区间[m，m+1]上的最大值记为g（m），∴当m在变换中，g（m）的最大值即为f（x）的最大值2，故答案为：2结合分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数最值的应用，结合分段函数的解析式作出条件，利用数形结合是解决本题的关键．本题看似难度很大，其实比较简单．17.【答案】解：（1）原式=2×100023+6423+lg4+2lg5=2×100+16+lg4+lg25=216+lg100=218（2）A={x|x＞218}，∁R A={x|x≤218}，B={x|0≤x≤218，x∈N}，所以B中元素个数为219．【解析】（1）根据根式和对数化简求出a的值（2）求出集合A，B结合元素个数进行判断即可本题主要考查根式与指数幂的化简，以及集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键18.【答案】解：（1）根据题意，f（x）为奇函数；＞0⇒−1＜x＜1，所以f（x）定义为（-1，1），关于原点对称；证明：1+x1−x任取x∈（-1，1），则f(−x)+f(x)=log21−x1+x +log21+x1−x=log2(1−x1+x⋅1+x1−x)=log21=0．则有f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数；（2）由（1）知-1＜x＜1，f（x）＜-1⇒log2(1+x)(1−x)＜−1，即1+x1−x＜2−1=12，1+x 1−x −12=(2+2x)−(1−x)2(1−x)=3x+12(1−x)＜0，即3x+1x−1＞0，∴x＜−13或x＞1，又由-1＜x＜1，则有-1＜x＜-13，综上，不等式解集为(−1，−13)【解析】（1）根据题意，先求出函数的定义域，再分析f（-x）与f（x）的关系，结合奇偶性的定义分析可得结论；（2）根据题意，f（x）＜-1⇒，求出x的取值范围，结合函数的定义域分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，注意分析函数的定义域．19.【答案】解：（1）f（x）=x23=√x23的图象，如图：函数的定义域为R．（2）设x23=t≥0，则h（x）=m（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4≥-4，当t=1∈（0，+∞）时取等号，故h（x）值域为[-4，+∞）．【解析】（1）由题意利用幂函数的图象和性质，画出f（x）=x的图象，并注明定义域．（2）换元，利用二次函数的性质，求得函数h （x ）的值域．本题主要考查幂函数的图象和性质，二次函数的性质，属于基础题． 20.【答案】解：（1）根据题意，f （x ）=x+a x 2+1为奇函数，则f （-x ）+f （x ）=0， 即（−x+a x 2+1）+（x+a x 2+1）=0，解可得a =0；（2）由（1）的结论，f （x ）=x x 2+1，在（-1，1）上为增函数；证明：任取x 1，x 2∈（-1，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)x 1x 22+x 1−x 2x 12−x 2(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 2(x 2−x 1)−(x 2−x 1)(x 12+1)(x 22+1)=(x 1x 2−1)(x 2−x 1)(x 12+1)(x 22+1)，又由x 1，x 2∈（-1，1），且x 1＜x 2，则x 1x 2−1＜0，x 2−x 1＞0，x 12+1＞0，x 22+1＞0，则有f （x 1）-f （x 2）＜0，所以函数f （x ） 在（-1，1）上单调递增．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f （-x ）+f （x ）=0，即（）+（）=0，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，任取x 1，x 2∈（-1，1），且x 1＜x 2，由作差法分析f （x 1）-f （x 2）的符号，由函数单调性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出a 的值，属于基础题．21.【答案】解：由条件知，T 0=89，T α=25，t =20．代入T -T α=（T 0-T α）•（12）t ℎ，得T −25=(89−25)⋅(12)2010， 解得T =41℃；如果要降温到35℃，则35−25=(89−25)⋅(12)t 10． 解得t ≈26.8．答：此时咖啡的温度41℃，要降温到35℃，共需要约26.8分钟．【解析】直接把题中公差的相应条件代入函数解析式求解．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查利用待定系数法求函数解析式，训练了函数值的求法，是中档题．第31页，共31页 22.【答案】解：（1）∵f （-x ）+f （x ）=（-x ）2+b （-x ）+c +x 2+bx +c =2（x 2+c ）≠0恒成立，……………（3分）所以，方程x 2+c =0无实数解……………………（5分）所以，c 取值范围为（0，+∞） ………………（6分）（2）设 f （x ）=0 的两根为 x 1，x 2，且 0＜x 1＜x 2＜1，则 f （x ）=（x -x 1）（x -x 2），………………（7分）所以c 2+（1+b ）c =c （1+b +c ）=f （0）f （1）……………（8分）=（0-x 1）（0-x 2）（1-x 1）（1-x 2）=x 1x 2（1-x 1）（1-x 2）(−x 12+x 1)(−x 22+x 2)………………（9分）[−(x 1−12)2+14][−(x 2−12)2+14] ≤116………………（11分）又因为 x 1，x 2 不能同时取到 12，所以 c 2+（1+b ）c 取值范围为(0，116)．……………（12分）【解析】（1）由f （-x ）+f （x ）≠0恒成立可知方程x 2+c=0，结合二次方程根的存在条件可求（2）由题意可设 f （x ）=（x-x 1）（x-x 2），而c 2+（1+b ）c=c （1+b+c ）=f （0）f （1），结合方程的根与系数关系及完全平方数的关系可求本题主要考查了二次函数的性质及方程的根与系数关系的简单应用，属于中档试题。